Supposons $f$ intégrable sur $]0;1]$.
Par la décroissance de $f$, on remarque

$${\int }_{k/n}^{(k+1)/n}f(t)dt\le \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\le {\int }_{(k-1)/n}^{k/n}f(t)dt\text{.}$$

En sommant pour $k$ allant de 1 à $n-1$, on obtient

$${\int }_{1/n}^{1}f(t)dt\le S_n-\frac{1}{n}f(1)\le {\int }_0^{1-1/n}f(t)dt\text{.}$$

Par théorème d’encadrement, on obtient

$$S_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_0^{1}f(t)dt\text{.}$$

Inversement, supposons la suite $(S_n)$ convergente.
Par la décroissance de $f$, on a

$${\int }_{k/n}^{(k+1)/n}f(t)dt\le f\left(\frac{k}{n}\right)\text{.}$$

En sommant pour $k$ allant de 1 à $n-1$, on obtient

$${\int }_{1/n}^{1}f(t)dt\le S_n-\frac{1}{n}f(1)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{S}_n\text{.}$$

On en déduit que la suite des intégrales précédente est majorée et puisque la fonction $f$ est positive, cela suffit pour conclure que l’intégrale de $f$ converge.