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Exercice 1  3630  Correction  

Soit f:]0;1] continue, décroissante et positive. On pose pour n*

Sn=1nk=1nf(kn).

Montrer que f est intégrable sur ]0;1] si, et seulement si, la suite (Sn) est convergente et que si tel est le cas

]0;1]f(t)dt=limn+Sn.

Solution

Supposons f intégrable sur ]0;1].
Par la décroissance de f, on remarque

k/n(k+1)/nf(t)dt1nf(kn)(k-1)/nk/nf(t)dt.

En sommant pour k allant de 1 à n-1, on obtient

1/n1f(t)dtSn-1nf(1)01-1/nf(t)dt.

Par théorème d’encadrement, on obtient

Snn+01f(t)dt.

Inversement, supposons la suite (Sn) convergente.
Par la décroissance de f, on a

k/n(k+1)/nf(t)dtf(kn).

En sommant pour k allant de 1 à n-1, on obtient

1/n1f(t)dtSn-1nf(1)n+limn+Sn.

On en déduit que la suite des intégrales précédente est majorée et puisque la fonction f est positive, cela suffit pour conclure que l’intégrale de f converge.

 
Exercice 2  5031   

Soit f:]0;1[ une fonction continue par morceaux, monotone et intégrable.

  • (a)

    Étudier

    limn+1n(f(1n)+f(2n)++f(n-1n)).
  • (b)

    Application: Déterminer

    limn+sin(π2n)sin(2π2n)××sin((n-1)π2n)n.

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Édité le 08-11-2019

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