[<] Sommes de Riemann impropres

 
Exercice 1  4707  

Déterminer un équivalent simple de:

  • (a)

    x1dtet-1 quand x0+

  • (b)

    x+dtt3+1 quand x+.

 
Exercice 2  3892   

Déterminer un équivalent quand x+ de

x+e-t2dt.
 
Exercice 3  3893   Correction  

Déterminer un équivalent quand x+ du terme

x+e-ttdt.

Solution

L’intégrale étudiée est convergente puisque t2e-t/tt+0.
Procédons à une intégration par parties avec u(t)=-e-t et v(t)=1/t.
Les fonctions u et v sont de classe 𝒞1 et le produit uv converge en +. On a donc

x+e-ttdt=e-xx-x+e-tt2dt.

Or

e-tt2=t+o(e-tt)

donc, par intégration de relation de comparaison

x+e-tt2dt=o(x+e-ttdt)

et donc

x+e-ttdtx+e-xx.
 
Exercice 4  5052   Correction  

Montrer

0xet2dtx+12xex2.

Solution

Commençons par noter que l’on ne sait pas calculer l’intégrale étudiée.

Méthode: On transforme le terme intégral par une intégration par parties.

On commence par écrire

0xet2dt=0x2t2tet2dt

afin de voir apparaître la dérivée de tet2, quitte à considérer la nouvelle intégrale comme généralisée en 0.

Considérons ensuite les fonctions u et v de classe 𝒞1 sur ]0;x] définies par

u(t)=et2-1etv(t)=12t

où la constante introduite pour la fonction u a été choisie de sorte que u soit de limite nulle en 0. Le produit uv tend alors vers 0 en 0+ car et2-1 équivaut à t2 lorsque t tend vers 0+. Par le théorème d’intégration par parties généralisée,

0xet2dt=[et2-12t]0x+0xet2-12t2dt=ex2-12x+0xet2-12t2dt.

On a

et2-12t2=t+o(et2) avec et20et0+et2dt divergente

donc, par intégration de relation de comparaison,

0xet2-12t2dt=x+o(0xet2dt)

puis

0xet2dt=x+ex2-12x+o(0xet2dt)x+ex22x.
 
Exercice 5  4067   

Déterminer un équivalent quand x+ de

exdtln(t).
 
Exercice 6  3894   Correction  

Déterminer un développement asymptotique à trois termes quand x+ de

1xettdt.

Solution

Par intégration par parties,

1xettdt=[ett]1x+1xett2dt

et en répétant celle-ci

1xettdt=[ett+ett2]1x+1x2ett3dt.

Or, toujours par intégration par parties

1x2ett3dt=[2ett3]1x+1x6ett4dt.

Mais

ett4=t+o(ett3) et tett est positive non intégrable sur [1;+[

donc, par intégration de relation de comparaison

1xett4dt=o(1xett3).

Ceci donne

1x2ett3dt=x+2exx3-2e+o(1xett3dt)2exx3

puis, dans le calcul initial

1xettdt=x+exx+exx2+2exx3+o(2exx3)

en ayant intégré le terme constant dans le terme négligeable.

 
Exercice 7  4068   
  • (a)

    Justifier

    1xln(1+t)tdtx+12(ln(x))2.
  • (b)

    Établir qu’il existe un réel C tel que, pour tout x1,

    1xln(1+t)tdt=12(ln(x))2+C+ε(x) avec ε(x)x+0.
  • (c)

    Déterminer un équivalent de la fonction ε en +.

 
Exercice 8  5372   Correction  

Déterminer un équivalent lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures de

π2-arcsin(x).

Solution

Pour x[0;1[,

π2-arcsin(x)=arcsin(1)-arcsin(x)=x1dt1-t2.

Or

11-t2=11+t11-tt1-1211-t.

Par comparaison de restes d’intégrales convergentes de fonctions positives,

x1dt1-t2x1-x11211-tdt=[-2(1-t)]x1.

On conclut

π2-arcsin(x)x1-2(1-x).
 
Exercice 9  4075   Correction  

Soit f:[0;+[+* de classe 𝒞1 et non intégrable. On suppose

f(x)=x+o(f(x)).

Montrer

f(x)=x+o(0xf(t)dt).

On raisonnera par les ε sans employer un résultat de comparaison du cours.

Solution

Puisque f est positive et non intégrable, on sait

0xf(t)dtx++.

Soit ε>0. Il existe A0 tel que

xA,|f(x)|ε|f(x)|

et alors

xA,f(x)=f(A)+Axf(t)dtf(A)+ε0xf(t)dt.

Puisque f(A) est une constante et 0xf(t)dtx++, il existe A0 tel que

xA,f(A)ε0xf(t)dt.

Pour xmax(A,A), on obtient

0f(x)2ε0xf(t)dt

et l’on peut alors conclure.

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Édité le 08-11-2019

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