[<] Calcul d'intégrales [>] Changement de variable
Soient et . Calculer
Soit . En procédant au changement de variable , calculer
Solution
La fonction est définie et continue par morceaux sur .
Cette fonction est intégrable car
L’intégrale définissant est donc bien définie.
Par le changement de variable bijectif proposé
Pour , on obtient et donc
Pour réel, on pose
Pour quelles valeurs de , l’intégrale définissant existe-t-elle?
En procédant au changement de variable , montrer .
Soient et deux réels tels que . Calculer
Existence et calcul éventuel de
Solution
On peut écrire
Si la fonction n’est pas intégrable sur à cause d’une singularité en 0.
Si alors la fonction est continue par morceaux sur et quand donc est intégrable sur .
En procédant à une décomposition en éléments simples:
Si alors
Si alors
Pour , étudier l’existence et déterminer l’éventuelle valeur de
Solution
Le discriminant du trinôme vaut .
Cas: . On a , le trinôme ne s’annule pas et la fonction est définie et continue par morceaux sur . La fonction est intégrable car équivalente à en .
Cas: . Le trinôme ne s’annule pas sur car il est somme de termes positifs. À nouveau la fonction est intégrable sur .
Cas: . le trinôme présente deux racines positives et la fonction n’est pas définie sur l’intégralité de l’intervalle . Même en découpant l’intégrale aux points singuliers, on peut observer que les intégrales introduites ne sont pas définies. On ne parvient donc pas à donner un sens à l’intégrale étudiée dans ce cas.
Reste à calculer l’intégrale pour .
Cas: . Le trinôme s’écrit peut se réécrire
On a alors
puis
Cas: .
Cas: . Le trinôme à deux racines distinctes strictement négatives.
Par décomposition en éléments simples,
avec
On a alors
Pour , calculer
Solution
La fonction est définie et continue par morceaux sur .
Quand , donc est intégrable sur .
Quand , donc est intégrable sur .
On remarque
Cas: .
avec convergence des deux intégrales introduites. Sachant
on obtient
Cas: .
Par intégration par parties généralisée,
On conclut
Pour , calculer
Solution
La fonction est définie et continue par morceaux sur .
Quand , donc est intégrable sur .
Quand ,
Pour quelles valeurs de et l’intégrale suivante est-elle définie?
La calculer lorsque c’est le cas.
Solution
La fonction est définie et continue par morceaux sur .
Par développements limités
Si alors ou et l’intégrale n’est assurément pas convergente.
Si et alors avec . Par équivalence de fonction de signe constant au voisinage de , on peut affirmer que l’intégrale diverge.
Si et c’est-à-dire alors et donc est intégrable.
Finalement, l’intégrale étudiée converge si, et seulement si, .
Supposons que tel soit le cas.
Par développements limités
et donc
Soit une fonction continue et croissante sur telle que .
Pour , montrer que l’intégrale
est définie et la calculer.
Calculer
Solution
est continue et positive (car est croissante).
Or donc
et alors
donc
puis
On peut conclure que est définie et
Comme ci-dessus, mais en faisant , on établie
avec . Par conséquent, est définie par application du théorème de Chasles et
Soit continue telle que l’intégrale suivante converge:
On se donne deux réels .
Établir que pour tout
En déduire convergence et valeur de
Solution
L’intégrale en premier membre existe et définit une fonction dérivable de avec
L’intégrale en second membre définit aussi une fonction dérivable de avec
On en déduit que les deux membres de l’égalité voulue sont égaux à une constante près.
Or ces deux fonctions de sont de limite nulle quand et la constante précédente est alors nulle.
Par continuité de en 0, on peut écrire
On a alors
Or
On conclut à la convergence de l’intégrale et à la valeur
Trouver une expression simple de
où .
Solution
Par le changement de variable on parvient à l’intégrale
On peut réaliser une décomposition en éléments simples réelles de la fraction rationnelle intégrée qui pour des raisons de parité sera de la forme
avec
sous réserve que et .
Puisque
on parvient à
Les cas exclus et peuvent être récupérés par continuité.
Il m’a peut-être échappé une démarche plus simple…
Pour réel strictement positif, on pose
Montrer l’existence de l’intégrale définissant .
Justifier l’identité
En déduire la valeur de connaissant l’intégrale de Gauss11 1 L’intégrale de Gauss est une intégrale fameuse que l’on rencontre dans la résolution de nombreux sujets. Son existence a été acquise dans le sujet 4701 et son calcul sera mené dans le sujet 535.
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Édité le 29-08-2023
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