Soit $\epsilon >0$. Par uniforme continuité, il existe $\eta >0$ tel que

$$\forall x,y\in [0;+\mathrm{\infty }[,,|x-y|\le \eta ⟹|f(x)-f(y)|\le \epsilon \text{.}$$

En particulier, pour $x\in [0;+\mathrm{\infty }[$,

$$\forall t\in [x;x+\eta ],\left|f(x)-f(t)\right|\le \epsilon$$

et alors

$$\left|{\int }_x^{x+\eta }\left(f(x)-f(t)\right)dt\right|\le {\int }_x^{x+\eta }\left|f(x)-f(t)\right|dt\le {\int }_x^{x+\eta }\epsilon dt=\epsilon \eta \text{.}$$

Or

$${\int }_x^{x+\eta }\left(f(x)-f(t)\right)dt=\eta f(x)-{\int }_x^{x+\eta }f(t)dt$$

et donc

$$\left|f(x)\right|\le \epsilon +\frac{1}{\eta }\left|{\int }_x^{x+\eta }f(t)dt\right|\text{.}$$

Par convergence de l’intégrale de $f$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$,

$${\int }_x^{x+\eta }f(t)dt={\int }_0^{x+\eta }f(t)dt-{\int }_0^{x}f(t)dt\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)dt-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)dt=0$$

et donc, pour $x$ assez grand,

$$\left|{\int }_x^{x+\eta }f(t)dt\right|\le \eta \epsilon$$

ce qui entraîne

$$\left|f(x)\right|\le \epsilon +\epsilon =2\epsilon \text{.}$$

On peut conclure que $f$ tend vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$.

• (a)

  Par convergence de l’intégrale,

  $$\underset{M\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^M\left|g(t)\right|dt={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\left|g(t)\right|dt$$

  d’où le résultat.

• (b)

  Soit $f$ une primitive de $g$. On peut écrire

  $$f(x)={\int }_0^{x}g(t)dt+C\text{.}$$

  Pour tous $x\le y\in ℝ$,

  $$\left|f(y)-f(x)\right|\le {\int }_x^y\left|g(t)\right|dt\text{.}$$

  Soient $\epsilon >0$ et $M$ tel qu’introduit ci-dessus. Si $x\ge M$ alors

  $$\left|f(y)-f(x)\right|\le {\int }_M^{+\mathrm{\infty }}\left|g(t)\right|dt\le \epsilon \text{.}$$

  De plus, la fonction $t\mapsto \left|g(t)\right|$ étant continue sur le segment $[0;M+1]$, elle y est bornée par un certain $A$ et l’on a donc

  $$\left|f(y)-f(x)\right|\le A|y-x|$$

  pour tous $x\le y\in [0;M+1]$. Par suite, pour $\alpha =\min (1,\epsilon /A)>0$, on a pour tous $x\le y\in ℝ$,

  $$|y-x|\le \alpha ⟹\left|f(y)-f(x)\right|\le \epsilon \text{.}$$

  La fonction $f$ est donc uniformément continue.

  Plus généralement, une fonction continue sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ présentant une limite finie en $+\mathrm{\infty }$ est nécessairement continue.

• (a)

  Puisque $f$ est de classe ${𝒞}^2$, on peut écrire

  $$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)+{\int }_0^x{f}^{\prime \prime }(t)dt\text{.}$$

  Par intégrabilité de $f^{\prime \prime }$, la fonction $f^{\prime }$ admet une limite finie $\mathrm{\ell }$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.
  Si $\mathrm{\ell }>0$ alors, pour $x$ assez grand $f^{\prime }(x)\ge \mathrm{\ell }/2$. Notons $A\ge 0$ tel que ce qui précède soit vrai pour $x\ge A$. On a alors

  $$f(x)=f(0)+{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt\ge f(0)+{\int }_0^A{f}^{\prime }(t)dt+{\int }_A^x\frac{\mathrm{\ell }}{2}dt$$

  et donc $f(x)\ge \mathrm{\ell }x/2+C^{te}$ ce qui empêche la convergence de ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)dt$.
  Si $\mathrm{\ell }<0$ on obtient aussi une absurdité. Il reste donc $\mathrm{\ell }=0$.
  Posons

  $$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt\text{.}$$

  Par l’égalité de Taylor avec reste intégrale

  $$F(x+1)=F(x)+f(x)+{\int }_x^{x+1}(x+1-t)f^{\prime }(t)dt\text{.}$$

  Quand $x\to +\mathrm{\infty }$,

  $$F(x),F(x+1)\to {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)dt\text{.}$$

  Aussi $f^{\prime }(x)\to 0$ et

  $$\left|{\int }_x^{x+1}(x+1-t)f^{\prime }(t)dt\right|\le \underset{t\in [x;x+1]}{\max }\left|f^{\prime }(t)\right|\to 0$$

  donc par opération $f(x)\to 0$.

• (b)

  Par l’égalité de Taylor avec reste intégrale

  $$f(n+1)=f(n)+f^{\prime }(n)+{\int }_n^{n+1}((n+1)-t)f^{\prime \prime }(t)dt$$

  donc

  $$f^{\prime }(n)=f(n+1)-f(n)+{\int }_n^{n+1}(n+1-t)f^{\prime \prime }(t)dt\text{.}$$

  La série de terme général $f(n+1)-f(n)$ est convergente car de même nature que la suite $(f(n))$ qui converge en $+\mathrm{\infty }$. La série de terme général ${\int }_n^{n+1}(n+1-t)f^{\prime \prime }(t)dt$ est absolument convergente car

  $$\left|{\int }_n^{n+1}(n+1-t)f^{\prime \prime }(t)dt\right|\le {\int }_n^{n+1}\left|f^{\prime \prime }(t)\right|dt$$

  et le terme majorant est sommable par intégrabilité de $f^{\prime \prime }$.
  Par conséquent, la série $\sum f^{\prime }(n)$ est convergente.
  Aussi

  $$F(n+1)=F(n)+f(n)+\frac{1}{2}{f}^{\prime }(n)+{\int }_n^{n+1}\frac{{(n+1-t)}^2}{2}{f}^{\prime \prime }(t)dt\text{.}$$

  On peut alors mener le même raisonnement et conclure que $\sum f(n)$ converge.

Montrons pour commencer

$$\forall \epsilon >0,\forall A\in {ℝ}_{+},\exists x\ge A,\left|xf(x)\right|\le \epsilon \text{.}$$

Par l’absurde, supposons qu’il existe $\epsilon >0$ et $A\in {ℝ}_{+}$ vérifiant

$$\forall x\ge A,\left|xf(x)\right|\ge \epsilon \text{.}$$

Au voisinage de $+\mathrm{\infty }$,

$$\left|f(x)\right|\ge \frac{\epsilon }{x}\text{.}$$

Cette comparaisons contredit l’intégrabilité de $f$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

Sachant

$$\forall \epsilon >0,\forall A\in {ℝ}_{+},\exists x\ge A,\left|xf(x)\right|\le \epsilon$$

on peut construire une suite $(x_n)$ solution en prenant $\epsilon =1/(n+1)>0$, $A=n$ et en choisissant $x_n$ vérifiant

$$x_n\ge n\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\left|x_{n}f(x_n)\right|\le 1/(n+1)\text{.}$$