[<] Loi géométrique [>] Loi conjointes, Loi marginales
Soit une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre .
Calculer
Soit une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre .
Déterminer la probabilité que la valeur de soit pair.
Solution
L’évènement est pair est la réunion dénombrable des évènements pour . Sa probabilité vaut
Le nombre quotidien de clients entrant dans une boulangerie suit une loi de Poisson de paramètre . Chaque client a la probabilité d’acheter des croissants. Sur une journée, on note le nombre de clients ayant acheté des croissants et le nombre de ceux qui n’en ont pas achetés.
Déterminer la loi de .
Calculer la covariance de et .
Justifier que les variables aléatoires et sont indépendantes.
Soit un espace probabilisé sur lequel une variable aléatoire suit une loi de Poisson de paramètre .
Soit une variable aléatoire telle que et dont la loi conditionnée à est, pour tout , la loi binomiale de paramètre avec .
Énoncer les propriétés des lois de Poisson: , , (avec démonstration), , interprétation avec la loi binomiale.
Quelle loi suit ?
Déterminer la loi de . Les variables et sont-elles indépendantes?
Solution
, et .
Si est une suite de loi binomiale de paramètre avec alors
La variable prend ses valeurs dans . Pour ,
Les termes pour sont nuls car . On les simplifie
Par glissement d’indice et simplification des factorielles,
La variable suit une loi de Poisson de paramètre .
La variable vérifie et la loi de conditionnée à est la loi de conditionnée à c’est-à-dire une loi binomiale de paramètre . Par les calculs qui précèdent, suit une loi de Poisson de paramètre .
Pour ,
et donc
On remarque
Les variables et sont indépendantes.
Soit une variable aléatoire de Poisson de paramètre .
Pour quelle valeur de , la probabilité de l’évènement est-elle maximale?
Inversement, étant fixé, pour quelle valeur du paramètre , la probabilité de est-elle maximale?
Solution
Posons
On a
donc si alors et si alors .
La valeur maximale de est donc obtenue pour .
Il suffit d’étudier les variations de la fonction . La probabilité sera maximale si .
Soient et deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres et strictement positifs.
Déterminer la loi suivie par .
Soit . Identifier la loi de pour la probabilité conditionnelle .
Soient et deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres et . Pour , identifier la loi de sachant .
On souhaite modéliser le nombre d’arrivées de « clients » dans un « service » durant un laps de temps .
Pour et avec , on note l’événement
« il arrive clients dans l’intervalle de temps de »
On admet l’existence d’un espace probabilisé permettant d’étudier la probabilité de cet événement en supposant:
pour tous et tous réels , les événements et sont indépendants;
la probabilité de l’événement ne dépend que de et du réel . On note
la fonction est continue et ;
pour tout ,
on a le développement asymptotique
Cette dernière hypothèse signifie que, durant un laps de temps minime, la probabilité d’arrivée d’au moins deux clients est négligeable devant la probabilité d’arrivée d’un seul client.
Justifier que la fonction est décroissante et que
Montrer que est à valeurs strictement positives et qu’il existe un réel vérifiant
Justifier
Soit . Montrer
En déduire que la fonction est dérivable et
Obtenir l’expression de (on pourra étudier ).
On note la variable aléatoire déterminant le nombre de « clients » arrivant durant le laps de temps . Déterminer la loi de . Comment interpréter le paramètre ?
Solution
Pour , l’événement contient l’événement et donc .
Pour , l’événement est la conjonction des événements et . Par conséquent,
Par indépendance (hypothèse H1)
Or, l’hypothèse H2 donne et donc
Par l’hypothèse H3, la fonction prend la valeur 1 en 0 et est continue. Si par l’absurde cette fonction prend une valeur négative, elle s’annule en un certain . L’équation fonctionnelle obtenue ci-dessus donne par une récurrence rapide
En prenant , on obtient
En passant à limite quand tend vers l’infini, on obtient l’absurdité !
Puisqu’il est maintenant acquis que la fonction est à valeurs strictement positives, on peut introduire la fonction définie par
L’équation fonctionnelle obtenue en a) se traduit
Sachant la fonction continue, on peut affirmer que celle-ci est linéaire: il existe tel que
Ainsi,
Enfin, puisque la fonction est décroissante, le réel est nécessairement négatif ce qui permet de l’écrire avec .
Par l’hypothèse H5 avec , on obtient
Ainsi, ce qui peut encore s’écrire
Aussi, l’hypothèse H4 permet d’affirmer
et donc pour tout .
L’événement est la réunion des événements deux à deux disjoints
On en déduit par additivité et les hypothèses H1 et H2 l’identité
Cette identité fournit le développement asymptotique
car
On obtient alors
On en déduit que la fonction est dérivable et
En introduisant , on constate
Par récurrence
puis
L’événement a la probabilité de l’événement et donc
La variable suit une loi de Poisson de paramètre . L’espérance de vaut alors et le paramètre se comprend comme le nombre moyen de clients entrant par unité de temps.
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Édité le 09-06-2025
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