Exercice 1 4037

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ .

Calculer

E (\frac{1}{X + 1}) .

Exercice 2 4045 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ .
Déterminer la probabilité que la valeur de $X$ soit pair.

Solution

L’évènement $X$ est pair est la réunion dénombrable des évènements $(X = 2 k)$ pour $k \in ℕ$ . Sa probabilité vaut

\sum_{k = 0}^{+ \infty} P (X = 2 k) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} e^{- λ} \frac{λ^{2 k}}{(2 k)!} = e^{- λ} ch (λ) = \frac{1 + e^{- 2 λ}}{2} .

Exercice 3 4112

Le nombre quotidien de clients entrant dans une boulangerie suit une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ . Chaque client a la probabilité $p \in] 0; 1 [$ d’acheter des croissants. Sur une journée, on note $X$ le nombre de clients ayant acheté des croissants et $Y$ le nombre de ceux qui n’en ont pas achetés.

(a)

Déterminer la loi de $X$ .
(b)

Calculer la covariance de $X$ et $Y$ .
(c)

Justifier que les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Exercice 4 6042 CENTRALE (MP)Correction

Soit $(Ω, 𝒜, P)$ un espace probabilisé sur lequel une variable aléatoire $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ .

Soit $Y$ une variable aléatoire telle que $0 \leq Y \leq X$ et dont la loi conditionnée à $(X = n)$ est, pour tout $n \in ℕ$ , la loi binomiale de paramètre $(n, p)$ avec $p \in] 0; 1 [$ .

(a)

Énoncer les propriétés des lois de Poisson: $X (Ω)$ , $E (X)$ , $V (X)$ (avec démonstration), $G_{X} (t)$ , interprétation avec la loi binomiale.
(b)

Quelle loi suit $Y$ ?
(c)

Déterminer la loi de $Z = X - Y$ . Les variables $Y$ et $Z$ sont-elles indépendantes?

Solution

(a)

$X (Ω) = ℕ$ , $E (X) = V (X) = λ$ et $G_{X} (t) = e^{λ (t - 1)}$ .

Si ${(X_{n})}_{n \geq 1}$ est une suite de loi binomiale de paramètre $(n, p_{n})$ avec $n p_{n} \to_{n \to + \infty}^{} λ$ alors

$\forall k \in ℕ, P (X_{n} = k) \to_{n \to + \infty}^{} e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!} = P (X = k) .$
(b)

La variable $Y$ prend ses valeurs dans $ℕ$ . Pour $k \in ℕ$ ,

$P (Y = k) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (Y = k, X = n) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (Y = k ∣ X = n) P (X = n) .$

Les termes pour $n < k$ sont nuls car $Y \leq X$ . On les simplifie

$P (Y = k) = \sum_{n = k}^{+ \infty} P (Y = k ∣ X = n) P (X = n) = \sum_{n = k}^{+ \infty} (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} e^{- λ} \frac{λ^{n}}{n!} .$

Par glissement d’indice et simplification des factorielles,

$P (Y = k) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{p^{k} {(1 - p)}^{n}}{k! n!} e^{- λ} λ^{n + k} = e^{- λ} \frac{{(p λ)}^{k}}{k!} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(1 - p)}^{n} λ^{n}}{n!} = e^{- p λ} \frac{{(p λ)}^{k}}{k!} .$

La variable $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $p λ$ .
(c)

La variable $Z$ vérifie $0 \leq Z \leq X$ et la loi de $Z$ conditionnée à $(X = n)$ est la loi de $n - Y$ conditionnée à $(X = n)$ c’est-à-dire une loi binomiale de paramètre $(n, 1 - p)$ . Par les calculs qui précèdent, $Z$ suit une loi de Poisson de paramètre $(1 - p) λ$ .

Pour $(k, ℓ) \in ℕ^{2}$ ,

$P (Y = k, Z = ℓ) = P (Y = k, X = k + ℓ) = P (Y = k ∣ X = k + ℓ) P (X = k + ℓ)$

et donc

$P (Y = k, Z = ℓ) = (\binom{k + ℓ}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{ℓ} e^{- λ} \frac{λ^{k + ℓ}}{(k + ℓ)!} = e^{- λ} \frac{p^{k} {(1 - p)}^{ℓ} λ^{k + ℓ}}{k! ℓ!} .$

On remarque

$\forall (k, ℓ) \in ℕ^{2}, P (Y = k, Z = ℓ) = P (Y = k) P (Z = ℓ) .$

Les variables $Y$ et $Z$ sont indépendantes.

Exercice 5 4034 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire de Poisson de paramètre $λ > 0$ .

(a)

Pour quelle valeur de $n \in ℕ$ , la probabilité de l’évènement $(X = n)$ est-elle maximale?
(b)

Inversement, $n$ étant fixé, pour quelle valeur du paramètre $λ$ , la probabilité de $(X = n)$ est-elle maximale?

Solution

(a)

Posons

$u_{n} = P (X = n) = e^{- λ} \frac{λ^{n}}{n!} .$

On a

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{λ}{n + 1}$

donc si $n + 1 \leq λ$ alors $u_{n + 1} \geq u_{n}$ et si $n + 1 > λ$ alors $u_{n + 1} < u_{n}$ .
La valeur maximale de $u_{n}$ est donc obtenue pour $n = ⌊ λ ⌋$ .
(b)

Il suffit d’étudier les variations de la fonction $λ \mapsto e^{- λ} λ^{n}$ . La probabilité sera maximale si $λ = n$ .

Exercice 6 4020

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres $λ$ et $μ$ strictement positifs.

(a)

Déterminer la loi suivie par $S = X + Y$ .
(b)

Soit $n \in ℕ$ . Identifier la loi de $X$ pour la probabilité conditionnelle $P_{(S = n)}$ .

Exercice 7 4029

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres $λ$ et $μ$ . Pour $n \in ℕ$ , identifier la loi de $X$ sachant $(X + Y = n)$ .

Exercice 8 4129 Correction

On souhaite modéliser le nombre d’arrivées de « clients » dans un « service » durant un laps de temps $T$ .
Pour $n \in ℕ$ et $s, t \in ℝ$ avec $0 \leq s \leq t$ , on note $A (n, s, t)$ l’événement

« il arrive $n$ clients dans l’intervalle de temps de $[s; t [$ »

On admet l’existence d’un espace probabilisé permettant d’étudier la probabilité de cet événement en supposant:

(H1)

pour tous $m, n \in ℕ$ et tous réels $0 \leq r \leq s \leq t$ , les événements $A (m, r, s)$ et $A (n, s, t)$ sont indépendants;
(H2)

la probabilité de l’événement $A (n, s, t)$ ne dépend que de $n$ et du réel $t - s$ . On note

$p_{n} (t) = P (A (n,0, t)) .$
(H3)

la fonction $p_{0}$ est continue et $p_{0} (0) = 1$ ;
(H4)

pour tout $t \in ℝ_{+}$ ,

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} p_{n} (t) = 1 .$
(H5)

on a le développement asymptotique

$1 - p_{0} (t) - p_{1} (t) \underset{t \to 0^{+}}{=} o (p_{1} (t)) .$

Cette dernière hypothèse signifie que, durant un laps de temps minime, la probabilité d’arrivée d’au moins deux clients est négligeable devant la probabilité d’arrivée d’un seul client.

(a)

Justifier que la fonction $p_{0}$ est décroissante et que

$\forall s, t \in ℝ_{+}, p_{0} (s + t) = p_{0} (s) p_{0} (t) .$
(b)

Montrer que $p_{0}$ est à valeurs strictement positives et qu’il existe un réel $λ \geq 0$ vérifiant

$\forall t \in ℝ_{+}, p_{0} (t) = e^{- λ t} .$
(c)

Justifier

$p_{1} (t) \underset{t \to 0^{+}}{=} λ t + o (t) et \forall n \geq 2, p_{n} (t) \underset{t \to 0^{+}}{=} o (t) .$
(d)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Montrer

$\forall s, t \geq 0, p_{n} (s + t) = \sum_{k = 0}^{n} p_{k} (s) p_{n - k} (t) .$

En déduire que la fonction $p_{n}$ est dérivable et

$\forall t \geq 0, p_{n}^{'} (t) = λ (p_{n - 1} (t) - p_{n} (t)) .$
(e)

Obtenir l’expression de $p_{n} (t)$ (on pourra étudier $q_{n} (t) = e^{λ t} p_{n} (t)$ ).
(f)

On note $X$ la variable aléatoire déterminant le nombre de « clients » arrivant durant le laps de temps $T > 0$ . Déterminer la loi de $X$ . Comment interpréter le paramètre $λ$ ?

Solution

(a)

Pour $s \leq t$ , l’événement $A (0,0, s)$ contient l’événement $A (0,0, t)$ et donc $p_{0} (s) \geq p_{0} (t)$ .
Pour $s, t \geq 0$ , l’événement $A (0,0, s + t)$ est la conjonction des événements $A (0,0, s)$ et $A (0, s, s + t)$ . Par conséquent,

$P (A (0,0, s + t) = P (A (0,0, s) \cap A (0, s, s + t)) .$

Par indépendance (hypothèse H1)

$P (A (0,0, s + t)) = P (A (0,0, s)) P (A (0, s, s + t)) .$

Or, l’hypothèse H2 donne $P (A (0, s, s + t)) = P (A (0,0, t))$ et donc

$p_{0} (s + t) = p_{0} (s) p_{0} (t) .$
(b)

Par l’hypothèse H3, la fonction $p_{0}$ prend la valeur 1 en 0 et est continue. Si par l’absurde cette fonction prend une valeur négative, elle s’annule en un certain $t_{0} > 0$ . L’équation fonctionnelle obtenue ci-dessus donne par une récurrence rapide

$\forall k \in ℕ, \forall t \in ℝ, p_{0} (k t) = p_{0} {(t)}^{k} .$

En prenant $t = t_{0} / k$ , on obtient

$\forall k \in ℕ^{*}, p_{0} (t_{0} / k) = 0 .$

En passant à limite quand $k$ tend vers l’infini, on obtient l’absurdité $p_{0} (0) = 0$ !
Puisqu’il est maintenant acquis que la fonction $p_{0}$ est à valeurs strictement positives, on peut introduire la fonction $f : ℝ_{+} \to ℝ$ définie par

$\forall t \in ℝ_{+}, f (t) = \ln (p_{0} (t)) .$

L’équation fonctionnelle obtenue en a) se traduit

$\forall s, t \in ℝ_{+}, f (s + t) = f (s) + f (t) .$

Sachant la fonction $f$ continue, on peut affirmer que celle-ci est linéaire: il existe $a \in ℝ$ tel que

$\forall t \in ℝ_{+}, f (t) = a t .$

Ainsi,

$\forall t \in ℝ_{+}, p_{0} (t) = e^{a t} .$

Enfin, puisque la fonction $p_{0}$ est décroissante, le réel $a$ est nécessairement négatif ce qui permet de l’écrire $- λ$ avec $λ \in ℝ_{+}$ .
(c)

Par l’hypothèse H5 avec $p_{0} (t) \underset{t \to 0^{+}}{=} 1 - λ t + o (t)$ , on obtient

$p_{1} (t) + o (p_{1} (t)) \underset{t \to 0^{+}}{=} λ t + o (t) .$

Ainsi, $p_{1} (t) \underset{t \to 0^{+}}{\sim} λ t$ ce qui peut encore s’écrire

$p_{1} (t) \underset{t \to 0^{+}}{=} λ t + o (t) .$

Aussi, l’hypothèse H4 permet d’affirmer

$\forall n \geq 2, p_{n} (t) \leq 1 - p_{0} (t) - p_{1} (t) \underset{t \to 0^{+}}{=} o (t)$

et donc $p_{n} (t) \underset{t \to 0^{+}}{=} o (t)$ pour tout $n \geq 2$ .
(d)

L’événement $A (n,0, s + t)$ est la réunion des événements deux à deux disjoints

$A (k,0, s) \cap A (n - k, s, s + t) pour k \in ⟦ 0; n ⟧ .$

On en déduit par additivité et les hypothèses H1 et H2 l’identité

$p_{n} (s + t) = \sum_{k = 0}^{n} P (A (k,0, s)) P (A (n - k, s, s + t)) = \sum_{k = 0}^{n} p_{k} (s) p_{n - k} (t) .$

Cette identité fournit le développement asymptotique

$p_{n} (t + s) \underset{s \to 0^{+}}{=} (1 - λ s + o (s)) p_{n} (t) + λ s p_{n - 1} (t) + o (s)$

car

$p_{0} (s) \underset{s \to 0^{+}}{=} 1 - λ s + o (s), p_{1} (s) \underset{s \to 0^{+}}{=} λ s + o (s) et p_{k} (s) \underset{s \to 0^{+}}{=} o (s) pour k \geq 2 .$

On obtient alors

$\frac{1}{s} (p_{n} (t + s) - p_{n} (t)) \underset{s \to 0^{+}}{=} λ p_{n - 1} (t) - λ p_{n} (t) + o (1) .$

On en déduit que la fonction $p_{n}$ est dérivable et

$p_{n}^{'} (t) = λ (p_{n - 1} (t) - p_{n} (t)) .$
(e)

En introduisant $q_{n} (t) = e^{λ t} p_{n} (t)$ , on constate

$q_{0} (t) = 1 et q_{n}^{'} (t) = λ q_{n - 1} (t) .$

Par récurrence

$q_{n} (t) = \frac{{(λ t)}^{n}}{n!}$

puis

$\forall n \in ℕ, \forall t \in ℝ_{+}, p_{n} (t) = e^{- λ t} \frac{{(λ t)}^{n}}{n!} .$
(f)

L’événement $(X = n)$ a la probabilité de l’événement $A (n,0, T)$ et donc

$P (X = n) = p_{n} (T) = e^{- λ T} \frac{{(λ T)}^{n}}{n!} .$

La variable $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ T$ . L’espérance de $X$ vaut alors $λ T$ et le paramètre $λ$ se comprend comme le nombre moyen de clients entrant par unité de temps.

[<] Loi géométrique [>] Loi conjointes, Loi marginales

Édité le 09-06-2025

Loi de Poisson