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Exercice 1  4020  

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres λ et μ strictement positifs.

Déterminer la loi suivie par X+Y.

 
Exercice 2  4037  

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ>0.

Calculer

E(1X+1).
 
Exercice 3  4045  Correction  

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ>0.
Déterminer la probabilité que la valeur de X soit pair.

Solution

L’évènement X est pair est la réunion dénombrable des évènements (X=2k) pour k. Sa probabilité vaut

k=0+P(X=2k)=k=0+e-λλ2k(2k)!=e-λch(λ)=1+e-2λ2.
 
Exercice 4  4112   

Le nombre quotidien de clients entrant dans une boulangerie suit une loi de Poisson de paramètre λ>0. Chaque client a la probabilité p]0;1[ d’acheter des croissants. Sur une journée, on note X le nombre de clients ayant acheté des croissants et Y le nombre de ceux qui n’en ont pas achetés.

  • (a)

    Déterminer la loi de X.

  • (b)

    Calculer la covariance de X et Y.

  • (c)

    Justifier que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.

 
Exercice 5  4034   Correction  

Soit X une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ>0.

  • (a)

    Pour quelle valeur de n, la probabilité de l’évènement (X=n) est-elle maximale?

  • (b)

    Inversement, n étant fixé, pour quelle valeur du paramètre λ, la probabilité de (X=n) est-elle maximale?

Solution

  • (a)

    Posons

    un=P(X=n)=e-λλnn!.

    On a

    un+1un=λn+1

    donc si n+1λ alors un+1un et si n+1>λ alors un+1<un.
    La valeur maximale de un est donc obtenue pour n=λ.

  • (b)

    Il suffit d’étudier les variations de la fonction λe-λλn. La probabilité sera maximale si λ=n.

 
Exercice 6  4029   

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres λ et μ. Pour n, identifier la loi de X sachant (X+Y=n).

 
Exercice 7  4129    Correction  

On souhaite modéliser le nombre d’arrivées de «  clients  » dans un «  service  » durant un laps de temps T.
Pour n et s,t avec 0st, on note A(n,s,t) l’événement

«  il arrive n clients dans l’intervalle de temps de [s;t[  »

On admet l’existence d’un espace probabilisé permettant d’étudier la probabilité de cet événement en supposant:

  • (H1)

    pour tous m,n et tous réels 0rst, les événements A(m,r,s) et A(n,s,t) sont indépendants;

  • (H2)

    la probabilité de l’événement A(n,s,t) ne dépend que de n et du réel t-s. On note

    pn(t)=P(A(n,0,t)).
  • (H3)

    la fonction p0 est continue et p0(0)=1;

  • (H4)

    pour tout t+,

    n=0+pn(t)=1.
  • (H5)

    on a le développement asymptotique

    1-p0(t)-p1(t)=t0+o(p1(t)).

Cette dernière hypothèse signifie que, durant un laps de temps minime, la probabilité d’arrivée d’au moins deux clients est négligeable devant la probabilité d’arrivée d’un seul client.

  • (a)

    Justifier que la fonction p0 est décroissante et que

    s,t+,p0(s+t)=p0(s)p0(t).
  • (b)

    Montrer que p0 est à valeurs strictement positives et qu’il existe un réel λ0 vérifiant

    t+,p0(t)=e-λt.
  • (c)

    Justifier

    p1(t)=t0+λt+o(t)etn2,pn(t)=t0+o(t).
  • (d)

    Soit n*. Montrer

    s,t0,pn(s+t)=k=0npk(s)pn-k(t).

    En déduire que la fonction pn est dérivable et

    t0,pn(t)=λ(pn-1(t)-pn(t)).
  • (e)

    Obtenir l’expression de pn(t) (on pourra étudier qn(t)=eλtpn(t)).

  • (f)

    On note X la variable aléatoire déterminant le nombre de «  clients  » arrivant durant le laps de temps T>0. Déterminer la loi de X. Comment interpréter le paramètre λ?

Solution

  • (a)

    Pour st, l’événement A(0,0,s) contient l’événement A(0,0,t) et donc p0(s)p0(t).
    Pour s,t0, l’événementA(0,0,s+t) est la conjonction des événements A(0,0,s) et A(0,s,s+t). Par conséquent,

    P(A(0,0,s+t)=P(A(0,0,s)A(0,s,s+t)).

    Par indépendance (hypothèse H1)

    P(A(0,0,s+t))=P(A(0,0,s))P(A(0,s,s+t)).

    Or, l’hypothèse H2 donne P(A(0,s,s+t))=P(A(0,0,t)) et donc

    p0(s+t)=p0(s)p0(t).
  • (b)

    Par l’hypothèse H3, la fonction p0 prend la valeur 1 en 0 et est continue. Si par l’absurde cette fonction prend une valeur négative, elle s’annule en un certain t0>0. L’équation fonctionnelle obtenue ci-dessus donne par une récurrence rapide

    k,t,p0(kt)=p0(t)k.

    En prenant t=t0/k, on obtient

    k*,p0(t0/k)=0.

    En passant à limite quand k tend vers l’infini, on obtient l’absurdité p0(0)=0!
    Puisqu’il est maintenant acquis que la fonction p0 est à valeurs strictement positives, on peut introduire la fonction f:+ définie par

    t+,f(t)=ln(p0(t)).

    L’équation fonctionnelle obtenue en a) se traduit

    s,t+,f(s+t)=f(s)+f(t).

    Sachant la fonction f continue, on peut affirmer que celle-ci est linéaire: il existe a tel que

    t+,f(t)=at.

    Ainsi,

    t+,p0(t)=eat.

    Enfin, puisque la fonction p0 est décroissante, le réel a est nécessairement négatif ce qui permet de l’écrire -λ avec λ+.

  • (c)

    Par l’hypothèse H5 avec p0(t)=t0+1-λt+o(t), on obtient

    p1(t)+o(p1(t))=t0+λt+o(t).

    Ainsi, p1(t)t0+λt ce qui peut encore s’écrire

    p1(t)=t0+λt+o(t).

    Aussi, l’hypothèse H4 permet d’affirmer

    n2,pn(t)1-p0(t)-p1(t)=t0+o(t)

    et donc pn(t)=t0+o(t) pour tout n2.

  • (d)

    L’événement A(n,0,s+t) est la réunion des événements deux à deux disjoints

    A(k,0,s)A(n-k,s,s+t) pour k0;n.

    On en déduit par additivité et les hypothèses H1 et H2 l’identité

    pn(s+t)=k=0nP(A(k,0,s))P(A(n-k,s,s+t))=k=0npk(s)pn-k(t).

    Cette identité fournit le développement asymptotique

    pn(t+s)=s0+(1-λs+o(s))pn(t)+λspn-1(t)+o(s)

    car

    p0(s)=s0+1-λs+o(s),p1(s)=s0+λs+o(s) et pk(s)=s0+o(s) pour k2.

    On obtient alors

    1s(pn(t+s)-pn(t))=s0+λpn-1(t)-λpn(t)+o(1).

    On en déduit que la fonction pn est dérivable et

    pn(t)=λ(pn-1(t)-pn(t)).
  • (e)

    En introduisant qn(t)=eλtpn(t), on constate

    q0(t)=1 et qn(t)=λqn-1(t).

    Par récurrence

    qn(t)=(λt)nn!

    puis

    n,t+,pn(t)=e-λt(λt)nn!.
  • (f)

    L’événement (X=n) a la probabilité de l’événement A(n,0,T) et donc

    P(X=n)=pn(T)=e-λT(λT)nn!.

    La variable X suit une loi de Poisson de paramètre λT. L’espérance de X vaut alors λT et le paramètre λ se comprend comme le nombre moyen de clients entrant par unité de temps.

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Édité le 08-11-2019

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