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Exercice 1  5097   

(Marche aléatoire sur Z2)

Soit (Zn)n1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi uniforme sur {(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}.

Pour n*, on pose11 1 La suite (Sn) s’interprète comme une marche aléatoire sur la grille 2 amorcée en (0,0) et qui, à chaque étape, passe aléatoirement d’une case à une case voisine. Sn=Z1++Zn ainsi que S0=(0,0).

On note Xn et Yn les variables aléatoires déterminées par Zn=(Xn,Yn) et l’on introduit

Un=Xn+YnetVn=Xn-Yn.
  • (a)

    Les variables Xn et Yn sont-elles indépendantes?

  • (b)

    Les variables Un et Vn sont-elles indépendantes?

  • (c)

    Plus généralement, établir que les variables U1,,Un,V1,,Vn sont mutuellement indépendantes.

On admet que cela implique l’indépendance des variables U1++Un et V1++Vn.

  • (d)

    Calculer P(Sn=(0,0)).

On note Nn le nombre de k1;n pour lesquels Sk=(0,0).

  • (e)

    Montrer que E(Nn) tend22 2 Autrement dit, la marche aléatoire passe en moyenne une infinité de fois par (0,0). On peut aussi montrer, et cela est plus fort, qu’il est presque sûr que la marche passe une infinité de fois par (0,0). vers + lorsque n tend vers +.

 
Exercice 2  4169      CENTRALE (MP)Correction  

Un pion se déplace sur des cases numérotées par les entiers naturels. Initialement, il se trouve sur la case 0 et à chaque instant, il se déplace d’un nombre strictement positif de cases. On note Yi la variable aléatoire donnant le nombre de cases parcourues lors de la i-ème étape. On suppose que les Yi sont indépendantes et suivent la même loi. On pose

Sn=i=1nYi

qui donne la position du pion à l’instant n,

fi=P(Y1=i)etf(t)=i=1+fiti.

Enfin, on introduit k*.

  • (a)

    On suppose que Y1-1 suit la loi de Bernoulli de paramètre p]0;1[.

    Écrire en Python une fonction qui prend un paramètre entier k et qui renvoie 1 si le pion atteint la case k et 0 sinon.

    Écrire une fonction qui, sur une trentaine d’essais, renvoie la proportion de fois où le pion atteint la case k. Comparer à 1/E(Y1).

On note Ek l’événement: «  le pion atteint la case k  » et uk=P(Ek).

  • (b)

    Décrire l’événement Ek à l’aide des variable aléatoires Sn.

  • (c)

    Calculer P(Ek{Y1=j}) pour 1jk.

  • (d)

    En déduire

    k*,uk=j=1kuk-jfj.
  • (e)

    Justifier la définition de

    u(t)=k=0+uktkpour t[0;1]

    et montrer que u(t)=11-f(t).

  • (f)

    Calculer u dans le cas où Y1-1 suit une loi de Bernoulli de paramètre p]0;1[ et en déduire les uk.

  • (g)

    On suppose que Y1 prend un nombre fini de valeurs et que les entiers k tels que P(Y1=k)0 sont premiers entre eux dans leur ensemble. Montrer que (uk) tend vers 1/E(Y1).

Solution

  • (a)
    import random as rnd
    
    def atteint(k,p):
        Y = 0
        while Y < k:
            x = rnd.random()
            if x < p:
                Y = Y + 2
            else:
                Y = Y + 1
        if Y == k:
            return 1
        else:
            return 0
    
    def repete(k,p,N):
        x = 0
        for i in range(N):
            x = x + atteint(k,p)
        return x/N,1/(1+p)
    
  • (b)
    Ek=n(Sn=k).
  • (c)

    Si j=k,

    P(Ek(Y1=j))=P(Y1=k).

    Si j<k, par incompatibilité des événements (Sn=k) (car les Yi prennent des valeurs strictement positives)

    P(Ek(Y1=j)) =n=1+P(Sn=k,Y1=j)
    =n=1+P(Sn=kY1=j)P(Y1=j)
    =n=2+P(Sn=kY1=j)P(Y1=j)
    =n=2+P(Sn-1=k-jP)(Y1=j)
    =P(Ek-j)P(Y1=j).
  • (d)

    La famille des (Y1=j) avec j* est un système complet d’événements et donc

    P(Ek) =j=1+P(Ek(Y1=j))
    =j=1kP(Ek(Y1=j))+0
    =j=1kP(Ek-j)P(Y1=j)+P(Y1=k)=j=1kuk-jfj

    en posant u0=1.

  • (e)

    La suite uk est une suite de probabilité: elle est bornée et la série entière uktk est de rayon de convergence au moins égale à 1.

    Par produit de Cauchy de série absolument convergentes

    f(t)u(t)=i=1+fitik=0+uktk=n=1+i+k=nfiuktn=n=1+untn=u(t)-1.

    On en déduit la relation proposée.

  • (f)

    Si Y1 suit une loi de Bernoulli

    f(t)=(1-p)t+pt2etu(t)=11-(1-p)t-pt2=1(1-t)(1+pt).

    Par décomposition en éléments simples

    u(t)=11+p11-t+p1+p11+pt

    et donc

    uk=1+(-1)kpk+1(1+p).
  • (g)

    La fonction f est un polynôme qui prend la valeur 1 en 1:

    f(t)=i=1nfiti.

    Vérifions que f(t)-1 ne possède pas d’autres racines que 1 de module inférieur à 1.

    Supposons |t|1. Si f(t)=1, on a par inégalité triangulaire

    1=|i=1nfiti|i=1nfi|t|ii=1nfi=1.

    On en déduit fi|t|i=fi pour tout i compris entre 1 et n. Les indices i tels que les fi sont non nuls étant premiers dans leur ensemble, il vient11 1 Si i1,,ip sont les indices pour lesquels fi0, il suffit d’écrire |t|=|t|i1u1++ipup avec u1,,up entiers tels que i1u1++ipup=1. |t|=1. De plus, par égalité dans l’inégalité triangulaire complexe, les fiti ont le même argument lorsqu’ils sont non nuls. Aussi, leur somme est égale à 1 et l’on en tire que les ti sont tous égaux à 1. Par le même argument qu’au-dessus, il vient t=1.

    1 est racine simple de la fraction u et ses autres racines complexes sont de modules strictement supérieurs à 1. La décomposition en éléments simples de u donne l’écriture

    u(t)=a1-t+v(t)

    avec a=f(1)=E(Y1) et v(t) dont la décomposition en série entière est de rayon de convergence >1 et dont les coefficients sont donc de limite nulle. On en déduit que uk tend vers E(Y1) quand k tend vers l’infini.

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Édité le 08-11-2019

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