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Exercice 1  5470   Correction  

Soit (Xn)n1 une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout n*, Xn suit une loi de Poisson de paramètre λn>0. On suppose que la série λn converge.

  • (a)

    Montrer la convergence de la série P(Xn0).

  • (b)

    Montrer

    P(N*nN(Xn0))=0.
  • (c)

    En déduire que, presque sûrement, la série Xn converge.

  • (d)

    Établir que X=n=1+Xn suit une loi de Poisson de paramètre λ=n=1+λn.

Solution

  • (a)

    La suite (λn)n1 est nécessairement de limite nulle car la série associée converge. Pour n1,

    P(Xn0)=1-P(Xn=0)=1-e-λnn+λn0.

    Par équivalence de séries à termes positifs, la série P(Xn0) converge.

  • (b)

    Soit N*. Par l’inégalité de Boole,

    P(nN(Xn0))n=N+P(Xn0)

    Or

    n=N+P(Xn0)N+0

    car le reste d’une série convergente est de limite nulle. Par continuité monotone,

    P(N*nN(Xn0))=limN+P(nN(Xn0))=0.
  • (c)

    Par passage à l’événement contraire,

    P(N*nN(Xn=0))=1

    Cela signifie qu’il est presque sûr que la suite (Xn) est nulle à partir d’un certain rang et la série Xn est alors convergente.

  • (d)

    Soit k. L’événement (X=k) est la réunion croissante des événements

    (X1++XN=k)(nN+1(Xn=0)).

    Par continuité monotone,

    P(X=k)=limN+P((X1++XN=k)(nN+1(Xn=0))).

    Par indépendance,

    P((X1++XN=k)(nN+1(Xn=0)))=P(X1++XN=k)P(nN+1(Xn=0)).

    Puisque X1++XN suit une loi de Poisson de paramètre λ1++λN, il vient

    P(X1++XN=k)=e-(λ1++λN)(λ1++λN)kk!N+e-λλkk!.

    Aussi, par passage à l’événement contraire,

    P(nN+1(Xn=0))=1-P(nN+1(Xn0))N+1.

    On conclut

    P(X=k)=e-λλnn!.
 
Exercice 2  4381    

(Convergences probabilistes)

Soient X une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω,𝒜,P) et (Xn)n une suite de variables aléatoires réelles sur ce même espace.

  • (a)

    Montrer que l’ensemble des ωΩ tels que (Xn(ω)) tend vers X(ω) constitue un événement.

On dit que la suite (Xn)n converge presque sûrement vers la variable X lorsque

P(Xnn+X)=1.

On dit que la suite (Xn)n converge en probabilité11 1 On définit encore d’autres types de convergence. Par exemple, dans l’espace L1(Ω), on introduit la convergence L1 par E(|XnX|)0. Il s’agit presque d’une convergence dans un espace normé, l’application XX1=E(|X1|) étant une semi-norme sur L1(Ω): elle vérifie les axiomes définissant une norme sauf celui de séparation. Par l’inégalité de Markov, la convergence L1 entraîne la convergence en probabilité. vers22 2 Il n’y a pas exactement unicité de la variable X vers laquelle la convergence a lieu. Plus précisément, s’il y a convergence en probabilité vers deux variables X et X celles-ci ne sont que presque sûrement égales. la variable X si, pour tout ε>0,

P(|XnX|>ε)n+0.
  • (b)

    Montrer que la convergence presque sûre entraîne la convergence en probabilité.

  • (c)

    On suppose que pour tout ε>0, il y a convergence de la série de terme général P(|XnX|>ε). Montrer à l’aide du résultat du sujet 4000 que la suite (Xn)n converge presque sûrement vers la variable X.

  • (d)

    Montrer que la convergence en probabilité de (Xn)n vers X entraîne la convergence presque sûre d’une suite extraite (Xφ(n))n vers X.

 
Exercice 3  4382    

(Loi forte des grands nombres)

Soit (Xn)n* une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes et identiquement distribuées selon une loi admettant une espérance μ et une variance σ2. On pose

Sn=1n(X1++Xn)pour n*

et l’on souhaite établir

P(Snn+μ)=1.
  • (a)

    Montrer que l’on peut supposer μ=0.

On conservera cette hypothèse dans la suite de l’étude.

  • (b)

    Soit ε>0. Montrer

    P(|Sn|>ε)σ2nε2.
  • (c)

    À l’aide du sujet 4381, établir que la suite extraite (Sm2)m* converge presque sûrement vers 0.

Pour n*, on pose m égal à la partie entière de la racine carrée de n et l’on introduit

Tn=1n(Xm2+1++Xn).
  • (d)

    Soit ε>0. Montrer

    P(|Tn|>ε)2σ2n3/2ε2.
  • (e)

    Conclure.

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Édité le 29-08-2023

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