Soit une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout , suit une loi de Poisson de paramètre . On suppose que la série converge.
Montrer la convergence de la série .
Montrer
En déduire que, presque sûrement, la série converge.
Établir que suit une loi de Poisson de paramètre .
Solution
La suite est nécessairement de limite nulle car la série associée converge. Pour ,
Par équivalence de séries à termes positifs, la série converge.
Soit . Par l’inégalité de Boole,
Or
car le reste d’une série convergente est de limite nulle. Par continuité monotone,
Par passage à l’événement contraire,
Cela signifie qu’il est presque sûr que la suite est nulle à partir d’un certain rang et la série est alors convergente.
Soit . L’événement est la réunion croissante des événements
Par continuité monotone,
Par indépendance,
Puisque suit une loi de Poisson de paramètre , il vient
Aussi, par passage à l’événement contraire,
On conclut
(Convergences probabilistes)
Soient une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé et une suite de variables aléatoires réelles sur ce même espace.
Montrer que l’ensemble des tels que tend vers constitue un événement.
On dit que la suite converge presque sûrement vers la variable lorsque
On dit que la suite converge en probabilité11 1 On définit encore d’autres types de convergence. Par exemple, dans l’espace , on introduit la convergence par . Il s’agit presque d’une convergence dans un espace normé, l’application étant une semi-norme sur : elle vérifie les axiomes définissant une norme sauf celui de séparation. Par l’inégalité de Markov, la convergence entraîne la convergence en probabilité. vers22 2 Il n’y a pas exactement unicité de la variable vers laquelle la convergence a lieu. Plus précisément, s’il y a convergence en probabilité vers deux variables et celles-ci ne sont que presque sûrement égales. la variable si, pour tout ,
Montrer que la convergence presque sûre entraîne la convergence en probabilité.
On suppose que pour tout , il y a convergence de la série de terme général . Montrer à l’aide du résultat du sujet 4000 que la suite converge presque sûrement vers la variable .
Montrer que la convergence en probabilité de vers entraîne la convergence presque sûre d’une suite extraite vers .
(Loi forte des grands nombres)
Soit une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes et identiquement distribuées selon une loi admettant une espérance et une variance . On pose
et l’on souhaite établir
Montrer que l’on peut supposer .
On conservera cette hypothèse dans la suite de l’étude.
Soit . Montrer
À l’aide du sujet 4381, établir que la suite extraite converge presque sûrement vers .
Pour , on pose égal à la partie entière de la racine carrée de et l’on introduit
Soit . Montrer
Conclure.
Édité le 29-08-2023
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