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Exercice 1  4381    

(Convergences probabilistes)

Soient X une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω,𝒯,P) et (Xn)n une suite de variables aléatoires réelles sur ce même espace.

  • (a)

    Montrer que l’ensemble des ωΩ tels que (Xn(ω)) tend vers X(ω) constitue un événement.

On dit que la suite (Xn)n converge presque sûrement vers la variable X lorsque

P(Xnn+X)=1

On dit que la suite (Xn)n converge en probabilité11 1 On définit encore d’autres types de convergence. Par exemple, dans l’espace des variables admettant une espérance, on introduit la convergence en moyenne par E(|Xn-X|)0. Par l’inégalité de Markov, la convergence en moyenne entraîne la convergence en probabilité. vers22 2 Il n’y a pas exactement unicité de la variable X vers laquelle la convergence a lieu. Plus précisément, s’il y a convergence en probabilité vers deux variables X et X celles-ci ne sont que presque sûrement égales. la variable X si, pour tout ε>0,

P(|Xn-X|>ε)n+0
  • (b)

    Montrer que la convergence presque sûre entraîne la convergence en probabilité.

  • (c)

    On suppose que pour tout ε>0, il y a convergence de la série de terme général P(|Xn-X|>ε). Montrer à l’aide du résultat du sujet 4000 que la suite (Xn)n converge presque sûrement vers la variable X.

  • (d)

    Montrer que la convergence en probabilité de (Xn)n vers X entraîne la convergence presque sûre d’une suite extraite (Xφ(n))n vers X.

 
Exercice 2  4382    

(Loi forte des grands nombres)

Soit (Xn)n* une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes et identiquement distribuées selon une loi admettant une espérance μ et une variance σ2. On pose

Sn=1n(X1++Xn)

et l’on souhaite établir

P(Snn+μ)=1
  • (a)

    Montrer que l’on peut supposer μ=0.

On conservera cette hypothèse dans la suite de l’étude.

  • (b)

    Soit ε>0. Montrer

    P(|Sn|>ε)σ2nε2
  • (c)

    À l’aide du sujet 4381, établir que la suite extraite (Sm2)m* converge presque sûrement vers 0.

Pour n*, on pose m égal à la partie entière de la racine carrée de n et l’on introduit

Tn=1n(Xm2+1++Xn)
  • (d)

    Soit ε>0. Montrer

    P(|Tn|>ε)2σ2n3/2ε2
  • (e)

    Conclure que la suite (Sn)n* converge presque sûrement vers 0.

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Édité le 08-11-2019

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