[<] Loi de Poisson [>] Espérance

 
Exercice 1  4367  

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans . On suppose que la loi conjointe de X et Y vérifie:

P(X=j,Y=k)=13e2j+k+1j!k!pour tout (j,k)2.
  • (a)

    Déterminer les lois des variables X et Y.

  • (b)

    Les variables X et Y sont-elles indépendantes?

 
Exercice 2  4055  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans .
On suppose que la loi conjointe de X et Y vérifie

P(X=j,Y=k)=aj!k! avec a.
  • (a)

    Déterminer la valeur de a.

  • (b)

    Reconnaître les lois marginales de X et Y.

  • (c)

    Les variables X et Y sont elles indépendantes?

Solution

  • (a)

    La loi conjointe de X et Y déterminant une probabilité

    j=0+k=0+P(X=j,Y=k)=1.

    Or

    j=0+k=0+P(X=j,Y=k)=ae2

    donc a=e-2.

  • (b)

    Pour j

    P(X=j)=k=0+P(X=j,Y=k)=e-1j!

    et donc X suit une loi de Poisson de paramètre λ=1. Il en est de même pour Y.

  • (c)

    Les variables sont indépendantes car l’on vérifie aisément

    P(X=j,Y=k)=P(X=j)P(Y=k).
 
Exercice 3  4056  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans .

On suppose que la loi conjointe de X et Y vérifie

(j,k)2,P(X=j,Y=k)=aj+k2j+k avec a.
  • (a)

    Déterminer la valeur de a.

  • (b)

    Déterminer les lois marginales X et Y.

  • (c)

    Les variables X et Y sont elles indépendantes?

  • (d)

    Calculer P(X=Y).

Solution

  • (a)

    La loi conjointe de X et Y déterminant une probabilité

    j=0+k=0+P(X=j,Y=k)=1.

    Or

    j=0+k=0+P(X=j,Y=k)=8a

    car

    j=0+k=0+j2j+k=j=0+j2j-1=1(1-1/2)2=4.

    On en déduit a=1/8

  • (b)

    Pour j

    P(X=j)=k=0+P(X=j,Y=k)=j+12j+2

    et pour k

    P(Y=k)=j=0+P(X=j,Y=k)=k+12k+2.
  • (c)

    Les variables ne sont par indépendantes car l’on vérifie aisément

    P(X=j,Y=k)P(X=j)P(Y=k)

    pour j=k=0.

  • (d)

    Par probabilités totales

    P(X=Y)=n=0+P(X=n,Y=n)=n=0+2n22n+3=19.
 
Exercice 4  4057   Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans et p]0;1[.
On suppose que la loi conjointe de X et Y vérifie

P(X=k,Y=n)={(nk)anp(1-p)n si kn0 sinon avec a.
  • (a)

    Déterminer la valeur de a.

  • (b)

    Déterminer la loi marginale de Y.

  • (c)

    Sachant

    x]-1;1[,n=k+(nk)xn-k=1(1-x)k+1.

    Reconnaître la loi de X

  • (d)

    Les variables X et Y sont elle indépendantes?

Solution

  • (a)

    La loi conjointe de X et Y déterminant une probabilité

    k=0+k=0+P(X=k,Y=n)=1.

    En réordonnant les sommes et en simplifiant les zéros

    n=0+k=0nP(X=k,Y=n)=n=0+p(2a(1-p))n=p11-(2a(1-p)).

    On est donc amené à résoudre l’équation

    1-2a(1-p)=p

    ce qui conduit à la solution a=1/2.

  • (b)

    Pour n,

    P(Y=n)=k=0nP(X=k,Y=n)=12nk=0n(nk)p(1-p)n=p(1-p)n.
  • (c)

    Pour k,

    P(X=k)=n=k+(nk)p(1-p2)n=p(1-p2)k1(1-1-p2)k+1.

    En simplifiant

    P(X=k)=(1-1-p1+p)(1-p1+p)k.
  • (d)

    Les variables ne sont par indépendantes car l’on vérifie aisément

    P(X=k,Y=n)P(X=k)P(Y=n)

    pour k=n=0.

 
Exercice 5  4368  

Une urne contient un dé truqué donnant systématiquement un six. On lance une pièce équilibrée. Si l’on obtient face, on ajoute un dé équilibré dans l’urne et l’on relance la pièce. Si l’obtient pile, on tire un dé dans l’urne et on lance celui-ci. Déterminer la loi de la variable donnant la valeur du dé lancé.

 
Exercice 6  4054  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans .
On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre λ>0 et que la loi de Y sachant X=n est binomiale de paramètres n et p]0;1[.

  • (a)

    Déterminer la loi conjointe de (X,Y).

  • (b)

    Reconnaître la loi de Y.

Solution

  • (a)

    Pour (n,k)2. Si kn alors

    P(X=n,Y=k) =P(X=n)P(Y=kX=n)
    =e-λλnn!(nk)pk(1-p)n-k.

    Si k>n alors P(X=n,Y=k)=0.

  • (b)

    Pour k

    P(Y=k)=n=0+P(X=n,Y=k)=n=k+P(X=n,Y=k).

    Après réorganisation et glissement d’indice

    P(Y=k)=(λp)kk!e-λn=0+1n!(1-p)nλn=e-λp(λp)kk!.

    La variable Y suit une loi de Poisson de paramètre λp.

 
Exercice 7  5003   

On réalise une suite de lancers indépendants d’une pièce ayant la probabilité p]0;1[ de tomber du côté pile. On note X la longueur de la première série de lancers identiques et Y celle de la seconde série. Par exemple, les lancers PPFFFP… et FFPPPF… correspondent à X=2 et Y=3.

  • (a)

    Déterminer la loi du couple (X,Y).

  • (b)

    Calculer les espérances de X et Y et comparer celles-ci.

 
Exercice 8  5368   Correction  

On réalise une suite de lancers indépendants d’une pièce ayant la probabilité p]0;1[ de tomber du côté pile. On note X la longueur de la première série de lancers identiques et Y celle de la seconde série. Par exemple, les lancers PPFFFP… et FFPPPF… correspondent à X=2 et Y=3.

  • (a)

    Déterminer la loi de X et préciser son espérance.

  • (b)

    Déterminer la loi du couple (X,Y).

  • (c)

    Calculer l’espérance de Y et la comparer à l’espérance de X.

  • (d)

    À quelle condition les variables X et Y sont-elles indépendantes?

Solution

  • (a)

    En éliminant de l’univers des possibles l’événement négligeable où la pièce tombe toujours du même côté, la variable aléatoire X prend ses valeurs dans *. De même, en éliminant aussi l’événement négligeable où la deuxième succession est de longueur infinie, la variable Y est aussi définie à valeurs dans *. On poursuit l’étude en supposant être dans l’univers probabiliste correspondant11 1 Si Ω est un événement presque sûr d’un espace probabilisé (Ω,𝒯,P), c’est l’événement certain de l’espace (Ω,𝒯,P) avec 𝒯={AΩ|A𝒯}𝒯 et P la restriction de P à 𝒯..

    Pour n*, on introduit les événements:

    Pn=«  La pièce tombe du côté pile lors du n-ième lancer  »etFn=Pn¯.

    La variable X prend ses valeurs dans *.

    Pour k*, l’événement (X=k) est la réunion des événements incompatibles P1PkFk+1 et F1FkPk+1. On a donc

    P(X=k)=pk(1-p)+(1-p)kp

    Sachant l’espérance d’une loi géométrique,

    E(X)=k=1+kpk(1-p)+(1-p)kp=p1-p+1-pp
  • (b)

    La variable (X,Y) prend ses valeurs dans *×*. Pour k,*, calculons P(X=k,Y=). L’événement (X=k,Y=) est réalisé dans la situation où les k premiers lancers tombent du côté pile, les suivants du coté face et le k++1-ième du coté pile et aussi dans la situation inverse où l’on échange pile et face. Par incompatibilité de ces deux situations,

    P(X=k,Y=) =P(P1Pkk foisFk+1Fk+ fois Pk++1)
    +P(F1Fkk foisPk+1Pk+ foisFk++1)

    et par l’indépendance des lancers,

    P(X=k,Y=) =pk(1-p)p+(1-p)kp(1-p)
    =pk+1(1-p)+(1-p)k+1p.
  • (c)

    Pour *,

    P(Y=)=k=1+P(X=k,Y=)=p2(1-p)-1+(1-p)2p-1.

    puis

    E(Y)=pp+1-p1-p=2.

    Par l’inégalité a2+b22ab valable pour tous a et b réels, on observe

    E(X)2p(1-p)p(1-p)=2=E(Y).
  • (d)

    Les variables X et Y sont indépendantes si, et seulement si,

    P(X=k,Y=)=P(X=k)P(Y=)pour tout (k,)*×*

    c’est-à-dire

    pk+1(1-p)+(1-p)k+1p=(pk(1-p)+(1-p)kp)(p2(1-p)-1+(1-p)2p-1) (1)

    Pour k==1, on obtient la condition

    p2(1-p)+(1-p)2p=2(p3(1-p)+p(1-p)3)

    qui se simplifie en

    p(1-p)(2p-1)2=0

    Il est donc nécessaire que p=1/2.

    Inversement, pour p=1/2, la relation (1) est vérifiée.

 
Exercice 9  5004   

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune des lois géométriques de paramètres p et q]0;1[. On pose11 1 On peut aussi exprimer V=|X-Y|.

U=min(X,Y)etV=max(X,Y)-min(X,Y)

Les variables U et V sont-elles indépendantes?

 
Exercice 10  5400   Correction  

Un dispositif de comptage dénombre les visiteurs qui entrent dans un musée. On note X0=0 et, pour tout n*, on introduit la variable aléatoire Xn qui donne le nombre de visiteurs ayant passé le portail entre les instants 0 et n.

On se place dans le cas où les variables sont telles que, pour tous entiers 0mn, Xm et Xn-Xm sont indépendantes et Xn-Xm suit la loi de Poisson de paramètre α(n-m) (avec α un réel strictement positif donné).

Soient (n,m)2 avec 0mn.

  • (a)

    Calculer E(Xm(Xn-Xm)) puis la covariance des variables aléatoires Xm et Xn

  • (b)

    Quelle est la loi du couple (Xm,Xn)?

  • (c)

    Pour n0, on pose p=m/n. Pour k, calculer la loi de probabilité de Xm sachant que Xn=k puis identifier cette loi.

On note N la variable aléatoire qui prend pour valeur le plus petit entier n>0 tel qu’il soit entré au moins un visiteur entre les instants 0 et n.

  • (d)

    Pour n*, exprimer l’évènement (N=n) en fonction de Xn-1 et Xn, puis déterminer la loi de N, son espérance et sa variance.

Solution

  • (a)

    La variable Xm=Xm-X0 suit une loi de Poisson de paramètre αm. Par indépendance,

    E(Xm(Xn-Xm))=E(Xm)E((Xn-Xm))=α2m(n-m).

    On en déduit la covariance de Xm et Xn

    Cov(Xm,Xn) =E(XmXn)-E(Xm)E(Xn)
    =E(Xm(Xn-Xm))+E(Xm2)-E(Xm)E(Xn)
    =E(Xm(Xn-Xm))+V(Xm)+E(Xm)2-E(Xm)E(Xn)
    =α2m(n-m)+αm+α2m2-α2mn=αm.

    La formule proposée n’est pas symétrique en m et n mais cela s’explique par la condition mn.

  • (b)

    Le couple (Xm,Xn) prend ses valeurs dans {(j,k)2|jk} car Xm et Xn-Xm prennent leurs valeurs dans .

    Soit (j,k)2 tel que jk. On a

    P((Xm,Xn)=(j,k))=P(Xm=j,Xn=k)=P(Xm=j,Xn-Xm=k-j).

    Par indépendance,

    P((Xm,Xn)=(j,k)) =P(Xm=j)P(Xn-Xm=k-j)
    =e-αm(αm)jj!×e-α(n-m)(α(n-m)k-j)(k-j)!
    =e-αnαkmj(n-m)k-jj!(k-j)!.
  • (c)

    Sous la condition (Xn=k), la variable aléatoire Xm prend ses valeurs dans 0;k. Pour j0;k,

    P(Xm=jXn=k)=P(Xm=j,Xn=k)P(Xn=k)=(kj)pj(1-p)k-j.

    On reconnaît une loi binomiale de paramètres k et p.

  • (d)

    Immédiatement,

    (N=n)=(Xn-1=0)(Xn>0)=(Xn-1=0)(Xn-Xn-1>0).

    La variable N prend ses valeurs dans * et, par indépendance,

    P(N=n) =P(Xn-1=0)P(Xn-Xn-1>0)
    =P(Xn-1=0)(1-P(Xn-Xn-1=0))
    =e-α(n-1)(1-e-α).

    On reconnaît une loi géométrique de paramètre e-α et l’on peut alors donner son espérance et sa variance

    E(N)=eαetV(N)=e2α-eα.
 
Exercice 11  5006      X (PSI)

Soit (Ui)i* une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre p]0;1[. Soient N une variable à valeurs dans  indépendantes des précédentes et X,Y les variables déterminées par

X=i=1NUietY=N-i=1NUi.
  • (a)

    Vérifier

    P(X=k,Y=)=(k+k)pk(1-p)P(N=k+)pour tout (k,)2.

On suppose que les variables X et Y sont indépendantes et que la variable N n’est pas presque sûrement nulle. On pose

pk=P(X=k)etq=P(Y=)pour tout (k,)2.
  • (b)

    Justifier que les pk et les q sont tous strictement positifs.

  • (c)

    Vérifier que

    (k+1)pk+1q(1-p)=(+1)pkq+1ppour tout (k,)2.
  • (d)

    En déduire une relation de récurrence sur les termes de la suite (pk) puis identifier la loi suivie par X.

  • (e)

    Établir que N suit une loi de Poisson.

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Édité le 08-11-2019

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