[<] Loi de Poisson [>] Espérance
Soient et deux variables aléatoires à valeurs dans . On suppose que la loi conjointe de et vérifie:
Déterminer les lois des variables et .
Les variables et sont-elles indépendantes?
Soient et deux variables aléatoires à valeurs dans définies sur un même espace probabilisé .
On suppose que la loi conjointe de et vérifie
Déterminer la valeur de .
Reconnaître les lois marginales de et .
Les variables et sont elles indépendantes?
Solution
La distribution de probabilités de la loi conjointe de et est de somme donc
Or
On en déduit .
Pour ,
La variable suit donc une loi de Poisson de paramètre . Il en est de même pour .
Les variables sont indépendantes car l’on vérifie aisément
Soient et deux variables aléatoires à valeurs dans .
On suppose que la loi conjointe de et vérifie
Déterminer la valeur de .
Déterminer les lois marginales et .
Les variables et sont elles indépendantes?
Calculer .
Solution
La loi conjointe de et déterminant une probabilité
Or
car
On en déduit
Pour
et pour
Les variables ne sont par indépendantes car l’on vérifie aisément
pour .
Par probabilités totales
Soient et deux variables aléatoires à valeurs dans et .
On suppose que la loi conjointe de et vérifie
Déterminer la valeur de .
Déterminer la loi marginale de .
Sachant
Reconnaître la loi de
Les variables et sont elle indépendantes?
Solution
La loi conjointe de et déterminant une probabilité
En réordonnant les sommes et en simplifiant les zéros
On est donc amené à résoudre l’équation
ce qui conduit à la solution .
Pour ,
Pour ,
En simplifiant
Les variables ne sont par indépendantes car l’on vérifie aisément
pour .
Une urne contient un dé truqué donnant systématiquement un six. On lance une pièce équilibrée. Si l’on obtient face, on ajoute un dé équilibré dans l’urne et l’on relance la pièce. Si l’obtient pile, on tire un dé dans l’urne et on lance celui-ci. Déterminer la loi de la variable donnant la valeur du dé lancé.
Soient et deux variables aléatoires à valeurs dans .
On suppose que suit une loi de Poisson de paramètre et que la loi de pour la probabilité conditionnelle est binomiale de paramètres et .
Déterminer la loi conjointe de et .
Reconnaître la loi de .
Solution
Pour . Si alors
Si alors .
Pour
Après réorganisation et glissement d’indice
La variable suit une loi de Poisson de paramètre .
On réalise une suite de lancers indépendants d’une pièce ayant la probabilité de tomber du côté pile. On note la longueur de la première série de lancers identiques et celle de la seconde série. Par exemple, les lancers PPFFFP… et FFPPPF… correspondent à et .
Déterminer la loi de et préciser son espérance.
Déterminer la loi du couple .
Calculer l’espérance de et la comparer à l’espérance de .
À quelle condition les variables et sont-elles indépendantes?
Solution
En éliminant de l’univers des possibles l’événement négligeable où la pièce tombe toujours du même côté, la variable aléatoire prend ses valeurs dans . De même, en éliminant aussi l’événement négligeable où la deuxième succession est de longueur infinie, la variable est aussi définie à valeurs dans . On poursuit l’étude en supposant être dans l’univers probabiliste correspondant11 1 Si est un événement presque sûr d’un espace probabilisé , c’est l’événement certain de l’espace avec et la restriction de à ..
Pour , on introduit les événements:
La variable prend ses valeurs dans .
Pour , l’événement est la réunion des événements incompatibles et . On a donc
Sachant l’espérance d’une loi géométrique,
La variable prend ses valeurs dans . Pour , calculons . L’événement est réalisé dans la situation où les premiers lancers tombent du côté pile, les suivants du coté face et le -ième du coté pile et aussi dans la situation inverse où l’on échange pile et face. Par incompatibilité de ces deux situations,
et par l’indépendance des lancers,
Pour ,
puis
Par l’inégalité valable pour tous et réels, on observe
Les variables et sont indépendantes si, et seulement si,
c’est-à-dire
(1) |
Pour , on obtient la condition
qui se simplifie en
Il est donc nécessaire que .
Inversement, pour , la relation (1) est vérifiée.
Soient et deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune des lois géométriques de paramètres et . On pose11 1 On peut aussi exprimer .
Les variables et sont-elles indépendantes?
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre . Soient une variable à valeurs dans indépendantes des précédentes et les variables déterminées par
Vérifier
On suppose que les variables et sont indépendantes et que la variable n’est pas presque sûrement nulle. On pose
Justifier que les et les sont tous strictement positifs.
Vérifier que
En déduire une relation de récurrence sur les termes de la suite puis identifier la loi suivie par .
Établir que suit une loi de Poisson.
[<] Loi de Poisson [>] Espérance
Édité le 08-01-2024
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