[>] Loi géométrique

 
Exercice 1  4365  

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans *. On suppose qu’il existe a tel que

P(X=n)=an(n+1)pour tout n*.
  • (a)

    Déterminer a.

  • (b)

    Calculer la probabilité de l’événement « X prend une valeur impaire ».

 
Exercice 2  4083  Correction  

Soient X une variable aléatoire discrète définie sur (Ω,𝒜,P) et f une application définie sur X(Ω).
À quelle condition les variables aléatoires X et Y=f(X) sont-elles indépendantes?

Solution

Supposons les variables aléatoires X et Y=f(X) indépendantes.
Il existe au moins une valeur x par X vérifiant P(X=x)>0. En effet, la variable X étant discrète P(Ω)=1 est la somme des probabilités des événements valeurs (X=x). Considérons ensuite la valeur y=f(x).

P(f(X)=yX=x)=P(f(X)=yX=x)P(X=x).

Or (X=x)(f(X)=y), donc

P(f(X)=yX=x)=1.

Cependant, les variables X et f(X) étant supposées indépendantes

P(f(X)=yX=x)=P(f(X)=y).

Ainsi, l’événement (f(X)=y) est presque sûr. La variable aléatoire Y est donc presque sûrement constante. La réciproque est immédiate et donc X et Y=f(X) sont indépendantes si, et seulement si, Y est presque sûrement constante.

 
Exercice 3  4093   Correction  

Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble E et N une variable aléatoire à valeurs naturelles toutes définies sur un même espace probabilisable (Ω,𝒜). On définit une fonction Y par

ωΩ,Y(ω)=XN(ω)(ω).

Justifier que Y est une variable aléatoire discrète.

Solution

Les Xn(Ω) sont des ensembles au plus dénombrables et

Y(Ω)nXn(Ω).

On en déduit que l’ensemble Y(Ω) est au plus dénombrable.
De plus, pour tout yY(Ω)

Y1({y})=n{ωΩ|N(ω)=n et Xn(ω)=y}

et donc

Y1({y})=n{N(ω)=n}{Xn(ω)=y}

est bien élément de la tribu 𝒜.

 
Exercice 4  5324   Correction  

(Fonction de répartition)

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs réelles.

On appelle fonction de répartition de la variable X, l’application FX: définie par

FX(x)=P(Xx)pour tout x.
  • (a)

    Montrer que la fonction FX est croissante et déterminer ses limites en ±.

  • (b)

    Montrer que la fonction FX est continue à droite en tout point.

  • (c)

    À quelle condition la fonction FX est-elle continue en un point a de ?

Solution

  • (a)

    Méthode: On établit la croissance de FX en vérifiant, pour tous x,y,

    xyFX(x)FX(y).

    Soient x,y avec xy. L’événement (Xx) est inclus dans (Xy) et, par croissance des probabilités,

    FX(x)=P(Xx)P(Xy)=FX(y).

    Ainsi, la fonction FX est croissante.

    La monotonie de FX assure l’existence de sa limite en +. Pour la calculer, nous allons prendre appui sur des suites en employant que, si (xn) est une suite de limite +, alors

    limx+F(x)=limn+F(xn).

    Méthode: Par continuité monotone, la probabilité d’une union croissante (resp. une intersection décroissante) est la limite des probabilités des événements réunis (resp. intersectés)

    On remarque

    Ω=n(Xn) avec (Xn)(Xn+1)pour tout n

    et donc

    P(Ω)=limn+P(Xn)=limn+FX(n).

    On en déduit

    limx+FX(x)=limn+FX(n)=P(Ω)=1.

    De la même façon, on sait que FX admet une limite en - et, puisque

    =n(X-n) avec (X-(n+1))(X-n)pour tout n

    on obtient

    limx-FX(x)=P()=0.
  • (b)

    De nouveau, la croissance de FX assure l’existence11 1 Au surplus, on peut affirmer que la valeur FX(a) est comprise entre les limites à gauche et à droite de FX en a: lima-FXFX(a)lima+FX. des limites à droite et à gauche de FX en tout point a. En particulier,

    limxa+FX(x)=limn+FX(a+1n).

    Or

    (Xa)=n*(Xa+1n) avec (Xa+1n+1)(Xa+1n)

    et donc

    limxa+FX(x)=limn+P(Xa+1n)=P(Xa)=FX(a).

    Ainsi, la fonction FX est continue à droite en tout point a de .

  • (c)

    Soit a. La fonction FX étant déjà continue à droite en a, il suffit d’étudier sa limite à gauche pour savoir si elle est continue en a. Par monotonie, on sait que celle-ci existe et l’on peut la calculer en observant

    n*(Xa-1n)=(X<a)

    ce qui donne

    limxa-FX(x)=P(X<a).

    On en déduit que la fonction FX est continue à gauche en a (et donc continue en a) si, et seulement si, P(X<a)=P(Xa) c’est-à-dire si, et seulement si, P(X=a)=0.

 
Exercice 5  5631   Correction  

(Fonction de répartition)

Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle fonction de répartition de la variable X la fonction réelle définie par

FX(x)=P(Xx)pour tout x.
  • (a)

    Vérifier que la fonction de répartition FX est croissante.

  • (b)

    Déterminer les limites de FX en - et en +.

  • (c)

    Établir que pour tout x

    limtx+FX(t)=P(Xx)etlimtx-FX(t)=P(X<x).
  • (d)

    En déduire que deux variables aléatoires réelles ont même loi si, et seulement si, leurs fonctions de répartition sont égales.

Solution

  • (a)

    Soient x,y avec xy. On a (Xx)(Xy) donc, par croissance des probabilités,

    FX(x)=P(Xx)P(Xy)=FX(y).

    La fonction FX est croissante.

  • (b)

    Puisqu’elle est croissante, la fonction FX admet assurément des limites en - et en +. On peut calculer celles-ci par des suites

    lim+FX=limn+FX(n)etlim-FX=limn+FX(-n).

    Par continuité croissante,

    limn+FX(n)=limn+P(Xn)=P(n(Xn))=P(Ω)=1.

    Par continuité décroissante,

    limn+FX(-n)=limn+P(X-n)=P(n(X-n))=P()=0.
  • (c)

    Puisqu’elle est croissante, la fonction FX admet des limites à droite et à gauche en tout x. On peut calculer celles-ci par des suites

    limtx+FX(t)=limn+FX(x+1n)etlimtx-FX=limn+FX(x-1n).

    Par continuité décroissante,

    limn+FX(x+1n)=limn+P(Xx+1n)=P(n*(Xx+1n))=P(Xx).

    Par continuité croissante,

    limn+FX(x-1n)=limn+P(Xx-1n)=P(n*(Xx-1n))=P(X<x).
  • (d)

    Par définition de la fonction de répartition, la loi de X suffit à déterminer sa fonction de répartition.

    Inversement, par ce qui précède, pour tout x,

    P(X=x)=P(Xx)-P(X<x)=limtx+FX(t)-limtx-FX(t).

    Ainsi, la fonction de répartition de X suffit à déterminer la loi de X.

 
Exercice 6  5962     CCINP (MP)Correction  

Soient (Ω,𝒜,P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire définie sur Ω et à valeurs dans * vérifiant

n*,P(Xn)>0.

On définit le taux de panne de X par la suite (xn)n1 avec

xn=P(X=nXn).
  • (a)

    Montrer que si l’on pose P(Y=n)=1n(n+1) pour tout n*, on définit une loi de probabilité. Déterminer le taux de panne de Y.

  • (b)

    Dans le cas général, établir

    n2,P(Xn)=k=1n1(1xk).
  • (c)

    En déduire une expression de P(X=n) en fonction des xk valable pour tout n1.

  • (d)

    Déterminer les variables aléatoires discrètes à taux de panne constant.

Solution

  • (a)

    La famille (1n(n+1))n* est une famille de réels positifs de somme 1 puisque

    n*1n(n+1)=n=1+(1n1n+1)=1limN+1N+1=1.

    La famille (1n(n+1))n* est donc une distribution de probabilités: elle détermine une loi de probabilité.

    On note (yn)n1 le taux de panne de Y. Pour n*,

    P(Yn)=k=n+(1k1k+1)=1n

    et donc

    yn=P(Y=nYn)=P(Y=nYn)P(Yn)=P(Y=n)P(Yn)=1n+1.
  • (b)

    Par récurrence, on établit la formule pour tout n* (et non seulement n2).

    Pour n=1, la formule est valable puisque qu’un produit vide vaut 1.

    Supposons la propriété vraie au rang n1. Par la formule des probabilités composées,

    P(Xn+1) =P(Xn)P(X=n)
    =P(Xn)P(X=nXn)P(Xn)
    =P(Xn)(1xn)=k=1n(1xk).

    La récurrence est établie.

  • (c)

    Pour tout n1,

    P(X=n)=P(X=nXn)P(Xn)=xnk=1n1(1xk).
  • (d)

    Une variable aléatoire à taux de panne constant p vérifie

    n*,P(X=n)=p(1p)n1.

    Puisque p est une probabilité conditionnelle, on a p[0;1]. Nécessairement p0 et p1 pour que X vérifie la condition énoncée initialement. La variable X suit donc une loi géométrique de paramètre p.

    Inversement, supposons que X suive une loi géométrique de paramètre p]0;1[. On a P(Xn)=(1p)n1 pour tout n1 puis

    xn=P(X=n)P(Xn)=p.

    Le taux de panne de X est constant.

 
Exercice 7  4094    Correction  

Soit T une variable aléatoire à valeurs dans . On suppose que P(Tn)>0 pour tout n et l’on pose

θn=P(T=nTn).
  • (a)

    Justifier

    n,θn[0;1[.
  • (b)

    Exprimer la probabilité P(Tn) en fonction des termes de la suite (θn)n.

    En déduire la divergence de la série θn.

  • (c)

    Inversement, soit (θn)n une suite vérifiant

    n,θn[0;1[etθn diverge.

    Montrer qu’il existe une variable aléatoire T à valeurs dans telle P(Tn)>0 et P(T=nTn)=θn pour tout n.

Solution

  • (a)

    Pour n, θn est une probabilité et donc θn[0;1]. Si θn=1 alors P(T=n)=P(Tn) et donc P(T>n)=0. Cela est exclut par les hypothèses.

  • (b)

    Pour n, P(T=n)=θnP(Tn) et P(T=n)+P(Tn+1)=P(Tn) donc

    P(Tn+1)=(1-θn)P(Tn).

    Sachant P(T0)=1, on obtient

    P(Tn)=k=0n-1(1-θk).

    Puisque P(Tn)n+0, il vient

    k=0n-1ln(1-θk)=ln(k=0n-1(1-θk))n+-.

    Ainsi, il y a divergence de la série ln(1-θn).

    Si la suite (θn)n ne tend pas vers 0, la série θn est évidemment divergente.

    Si la suite (θn)n tend vers 0 alors ln(1-θn)n+-θn et, par équivalence de séries à termes de signe constant, la série θn diverge.

  • (c)

    Analyse: Si T est une variable aléatoire solution alors

    P(T=n)=P(Tn)-P(Tn+1)=θnk=0n-1(1-θk)

    ce qui détermine entièrement la loi de T.

    Synthèse: Posons

    n,un=θnk=0n-1(1-θk).

    On a

    n,un0.

    Vérifions aussi que la famille (un)n de somme égale à 1.

    Introduisons

    Pn=k=0n-1(1-θk).

    On a

    ln(Pn)=k=0n-1ln(1-θk)n+-.

    En effet, la série des ln(1-θk) est divergente à terme négatifs (et l’affirmation est vraie que la suite (θn) tend vers 0 ou non).

    Aussi, P0=1 et Pn-Pn+1=un, donc

    k=0nuk=P0-Pn+1n+1.

    On peut alors définir une variable aléatoire T à valeurs dans dont la loi est déterminée par

    n,P(T=n)=un=θnk=0n-1(1-θk).

    On observe

    P(Tn)=k=n+uk=Pn=k=0n-1(1-θk)>0

    et

    P(T=nTn)=θn.

    La variable aléatoire T est bien solution.

 
Exercice 8  5325   Correction  

(Valeur médiane)

On appelle valeur médiane d’une variable aléatoire réelle X, tout réel m vérifiant

P(Xm)12etP(Xm)12.
  • (a)

    Vérifier sur un exemple qu’une variable aléatoire réelle peut posséder plusieurs valeurs médianes.

  • (b)

    Montrer que toute variable aléatoire réelle possède au moins une valeur médiane. On pourra introduire la fonction de répartition (voir le sujet 5324) de la variable X.

Solution

  • (a)

    Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/2. Pour tout m]0;1[,

    P(Xm)=P(X=0)=12etP(Xm)=P(X=1)=12.

    Dans cet exemple toute valeur strictement comprise entre 0 et 1 est valeur médiane de la variable X. Notons que la valeur m=0 est aussi valeur médiane puisque

    P(X0)=12etP(X0)=1.

    De même, m=1 est encore valeur médiane11 1 En revanche, si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p[0;1] avec p1/2, alors X admet une seule valeurs médiane qui est 0 ou 1 selon que p>1/2 ou p<1/2. de X.

  • (b)

    Méthode: À l’aide d’une borne inférieure, on introduit la plus petite valeur m vérifiant P(Xm)1/2.

    Posons

    A={x|P(Xx)1/2}={x|fX(x)1/2}

    avec fX la fonction de répartition de la variable aléatoire X. L’ensemble A est une partie de non vide et minorée car

    limx-fX(x)=0etlimx+fX(x)=1.

    Il est alors possible d’introduire m=inf(A). Vérifions qu’il s’agit d’une valeur médiane de X.

    D’une part, par réalisation séquentielle d’une borne inférieure, il existe une suite (xn) d’éléments de A qui tend vers m par valeurs supérieures. La fonction de répartition fX étant continue à droite, on obtient22 2 En particulier, m est élément de A et la croissance de fX entraîne que A est l’intervalle [m;+[.

    P(Xm)=fX(m)=limn+fX(xn)12.

    D’autre part, pour tout x<m, on a P(Xx)<1/2 car x n’appartient pas à A. On a donc

    P(X>x)=1-P(Xx)>1/2

    et l’on en déduit

    P(Xm)=P(n*(X>m-1n))=limn+P(X>m-1n)12

    car, par continuité monotone, la probabilité d’une réunion croissante et la limite des probabilités des événements réunis.

    Finalement, m est une33 3 On aurait aussi pu introduire m=sup{x|P(Xx)1/2} et vérifier qu’il s’agit d’une valeur médiane de X. valeur médiane de X.

 
Exercice 9  4049    Correction  

(Entropie d’une variable aléatoire)

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini 𝒳. Pour chaque valeur x𝒳, on pose

p(x)=P(X=x).

On appelle entropie de la variable X le réel

H(X)=-x𝒳p(x)log(p(x))

où l’on convient 0log0=0.

  • (a)

    Vérifier que H(X) est un réel positif. À quelle condition celui-ci est-il nul?
    Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans des ensembles finis 𝒳 et 𝒴.

  • (b)

    On appelle entropie conjointe de X et Y, l’entropie de la variable Z=(X,Y) simplement notée H(X,Y).
    On suppose les variables X et Y indépendantes, vérifier

    H(X,Y)=H(X)+H(Y).
  • (c)

    On appelle entropie de X sachant Y la quantité

    H(XY)=H(X,Y)-H(Y).

    Vérifier

    H(XY)=y𝒴P(Y=y)H(XY=y)

    avec

    H(XY=y)=-x𝒳P(X=xY=y)log(P(X=xY=y)).

Solution

  • (a)

    Pour tout x𝒳, on a -p(x)log(p(x))0 car p(x)1. On en déduit H(X)+.
    Si H(X)=0 alors, par somme nulle de positifs, on a

    x𝒳,p(x)log(p(x))=0

    et donc

    x𝒳,p(x)=0 ou p(x)=1.

    Sachant que

    x𝒳p(x)=P(X𝒳)=1

    on peut affirmer qu’il existe x𝒳 tel que p(x)=P(X=x)=1.
    La variable X est alors presque sûrement constante.

  • (b)

    Par définition

    H(X,Y)=-(x,y)𝒳×𝒴P(X=x,Y=y)log(P(X=x,Y=y)).

    Or les variables X et Y étant indépendantes

    P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)

    puis

    H(X,Y)=-(x,y)𝒳×𝒴P(X=x)P(Y=y)(log(P(X=x))+log(P(Y=y))).

    On sépare la somme en deux et l’on somme tantôt d’abord en x, tantôt d’abord en y et l’on obtient

    H(X,Y)=H(X)+H(Y)

    car

    x𝒳P(X=x)=y𝒴P(Y=y)=1.
  • (c)

    On sait

    P(X=xY=y)=P(X=x,Y=y)P(Y=y)

    donc

    P(Y=y)H(XY=y)=-x𝒳 P(X=x,Y=y)×
    (log(P(X=x,Y=y))-log(P(Y=y))).

    On sépare la somme en deux et l’on somme le résultat sur y𝒴 pour obtenir

    y𝒴P(Y=y)H(XY=y)=H(X,Y)+(x,y)𝒳×YP(X=x,Y=y)log(P(Y=y)).

    Or

    (x,y)𝒳×Y P(X=x,Y=y)log(P(Y=y))
    =y𝒴x𝒳P(X=x,Y=y)log(P(Y=y))

    avec

    x𝒳P(X=x,Y=y)=P(Y=y)

    donc

    y𝒴P(Y=y)H(XY=y)=H(X,Y)-H(Y).

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Édité le 24-01-2025

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