Soit une variable aléatoire à valeurs dans . On suppose qu’il existe tel que
Déterminer .
Calculer la probabilité de l’événement « prend une valeur impaire ».
Soient une variable aléatoire discrète définie sur et une application définie sur .
À quelle condition les variables aléatoires et sont-elles indépendantes?
Solution
Supposons les variables aléatoires et indépendantes.
Il existe au moins une valeur par vérifiant . En effet, la variable étant discrète est la somme des probabilités des événements valeurs . Considérons ensuite la valeur .
Or , donc
Cependant, les variables et étant supposées indépendantes
Ainsi, l’événement est presque sûr. La variable aléatoire est donc presque sûrement constante. La réciproque est immédiate et donc et sont indépendantes si, et seulement si, est presque sûrement constante.
Soit une suite de variables aléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble et une variable aléatoire à valeurs naturelles toutes définies sur un même espace probabilisable . On définit une fonction par
Justifier que est une variable aléatoire discrète.
Solution
Les sont des ensembles au plus dénombrables et
On en déduit que l’ensemble est au plus dénombrable.
De plus, pour tout
et donc
est bien élément de la tribu .
(Fonction de répartition)
Soit une variable aléatoire discrète à valeurs réelles.
On appelle fonction de répartition de la variable , l’application définie par
Montrer que la fonction est croissante et déterminer ses limites en .
Montrer que la fonction est continue à droite en tout point.
À quelle condition la fonction est-elle continue en un point de ?
Solution
Méthode: On établit la croissance de en vérifiant, pour tous ,
Soient avec . L’événement est inclus dans et, par croissance des probabilités,
Ainsi, la fonction est croissante.
La monotonie de assure l’existence de sa limite en . Pour la calculer, nous allons prendre appui sur des suites en employant que, si est une suite de limite , alors
Méthode: Par continuité monotone, la probabilité d’une union croissante (resp. une intersection décroissante) est la limite des probabilités des événements réunis (resp. intersectés)
On remarque
et donc
On en déduit
De la même façon, on sait que admet une limite en et, puisque
on obtient
De nouveau, la croissance de assure l’existence11 1 Au surplus, on peut affirmer que la valeur est comprise entre les limites à gauche et à droite de en : . des limites à droite et à gauche de en tout point . En particulier,
Or
et donc
Ainsi, la fonction est continue à droite en tout point de .
Soit . La fonction étant déjà continue à droite en , il suffit d’étudier sa limite à gauche pour savoir si elle est continue en . Par monotonie, on sait que celle-ci existe et l’on peut la calculer en observant
ce qui donne
On en déduit que la fonction est continue à gauche en (et donc continue en ) si, et seulement si, c’est-à-dire si, et seulement si, .
(Fonction de répartition)
Soit une variable aléatoire réelle. On appelle fonction de répartition de la variable la fonction réelle définie par
Vérifier que la fonction de répartition est croissante.
Déterminer les limites de en et en .
Établir que pour tout
En déduire que deux variables aléatoires réelles ont même loi si, et seulement si, leurs fonctions de répartition sont égales.
Solution
Soient avec . On a donc, par croissance des probabilités,
La fonction est croissante.
Puisqu’elle est croissante, la fonction admet assurément des limites en et en . On peut calculer celles-ci par des suites
Par continuité croissante,
Par continuité décroissante,
Puisqu’elle est croissante, la fonction admet des limites à droite et à gauche en tout . On peut calculer celles-ci par des suites
Par continuité décroissante,
Par continuité croissante,
Par définition de la fonction de répartition, la loi de suffit à déterminer sa fonction de répartition.
Inversement, par ce qui précède, pour tout ,
Ainsi, la fonction de répartition de suffit à déterminer la loi de .
Soient un espace probabilisé et une variable aléatoire définie sur et à valeurs dans vérifiant
On définit le taux de panne de par la suite avec
Montrer que si l’on pose pour tout , on définit une loi de probabilité. Déterminer le taux de panne de .
Dans le cas général, établir
En déduire une expression de en fonction des valable pour tout .
Déterminer les variables aléatoires discrètes à taux de panne constant.
Solution
La famille est une famille de réels positifs de somme puisque
La famille est donc une distribution de probabilités: elle détermine une loi de probabilité.
On note le taux de panne de . Pour ,
et donc
Par récurrence, on établit la formule pour tout (et non seulement ).
Pour , la formule est valable puisque qu’un produit vide vaut .
Supposons la propriété vraie au rang . Par la formule des probabilités composées,
La récurrence est établie.
Pour tout ,
Une variable aléatoire à taux de panne constant vérifie
Puisque est une probabilité conditionnelle, on a . Nécessairement et pour que vérifie la condition énoncée initialement. La variable suit donc une loi géométrique de paramètre .
Inversement, supposons que suive une loi géométrique de paramètre . On a pour tout puis
Le taux de panne de est constant.
Soit une variable aléatoire à valeurs dans . On suppose que pour tout et l’on pose
Justifier
Exprimer la probabilité en fonction des termes de la suite .
En déduire la divergence de la série .
Inversement, soit une suite vérifiant
Montrer qu’il existe une variable aléatoire à valeurs dans telle et pour tout .
Solution
Pour , est une probabilité et donc . Si alors et donc . Cela est exclut par les hypothèses.
Pour , et donc
Sachant , on obtient
Puisque , il vient
Ainsi, il y a divergence de la série .
Si la suite ne tend pas vers , la série est évidemment divergente.
Si la suite tend vers alors et, par équivalence de séries à termes de signe constant, la série diverge.
Analyse: Si est une variable aléatoire solution alors
ce qui détermine entièrement la loi de .
Synthèse: Posons
On a
Vérifions aussi que la famille de somme égale à .
Introduisons
On a
En effet, la série des est divergente à terme négatifs (et l’affirmation est vraie que la suite tend vers ou non).
Aussi, et , donc
On peut alors définir une variable aléatoire à valeurs dans dont la loi est déterminée par
On observe
et
La variable aléatoire est bien solution.
(Valeur médiane)
On appelle valeur médiane d’une variable aléatoire réelle , tout réel vérifiant
Vérifier sur un exemple qu’une variable aléatoire réelle peut posséder plusieurs valeurs médianes.
Montrer que toute variable aléatoire réelle possède au moins une valeur médiane. On pourra introduire la fonction de répartition (voir le sujet 5324) de la variable .
Solution
Soit une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre . Pour tout ,
Dans cet exemple toute valeur strictement comprise entre et est valeur médiane de la variable . Notons que la valeur est aussi valeur médiane puisque
De même, est encore valeur médiane11 1 En revanche, si suit une loi de Bernoulli de paramètre avec , alors admet une seule valeurs médiane qui est ou selon que ou . de .
Méthode: À l’aide d’une borne inférieure, on introduit la plus petite valeur vérifiant .
Posons
avec la fonction de répartition de la variable aléatoire . L’ensemble est une partie de non vide et minorée car
Il est alors possible d’introduire . Vérifions qu’il s’agit d’une valeur médiane de .
D’une part, par réalisation séquentielle d’une borne inférieure, il existe une suite d’éléments de qui tend vers par valeurs supérieures. La fonction de répartition étant continue à droite, on obtient22 2 En particulier, est élément de et la croissance de entraîne que est l’intervalle .
D’autre part, pour tout , on a car n’appartient pas à . On a donc
et l’on en déduit
car, par continuité monotone, la probabilité d’une réunion croissante et la limite des probabilités des événements réunis.
Finalement, est une33 3 On aurait aussi pu introduire et vérifier qu’il s’agit d’une valeur médiane de . valeur médiane de .
(Entropie d’une variable aléatoire)
Soit une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini . Pour chaque valeur , on pose
On appelle entropie de la variable le réel
où l’on convient .
Vérifier que est un réel positif. À quelle condition celui-ci est-il nul?
Soient et deux variables aléatoires à valeurs dans des ensembles finis et .
On appelle entropie conjointe de et , l’entropie de la variable simplement notée .
On suppose les variables et indépendantes, vérifier
On appelle entropie de sachant la quantité
Vérifier
avec
Solution
Pour tout , on a car . On en déduit .
Si alors, par somme nulle de positifs, on a
et donc
Sachant que
on peut affirmer qu’il existe tel que .
La variable est alors presque sûrement constante.
Par définition
Or les variables et étant indépendantes
puis
On sépare la somme en deux et l’on somme tantôt d’abord en , tantôt d’abord en et l’on obtient
car
On sait
donc
On sépare la somme en deux et l’on somme le résultat sur pour obtenir
Or
avec
donc
Édité le 24-01-2025
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