Exercice 1 5339 Correction

Pour $X \in L^{2} (Ω)$ , on note $σ (X) = \sqrt{V (X)}$ l’écart-type de la variable $X$ .

Pour $X, Y \in L^{2} (Ω)$ , comparer

σ (X + Y) et σ (X) + σ (Y) .

Solution

Soient $X, Y \in L^{2} (Ω)$ . On sait $X + Y \in L^{2} (Ω)$ et

V (X + Y) = V (X) + 2 Cov (X, Y) + V (Y) .

Or, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

| Cov (X, Y) | \leq \sqrt{V (X)} \sqrt{V (Y)}

et donc

V (X + Y) \leq V (X) + 2 \sqrt{V (X)} \sqrt{V (Y)} + V (Y) = {(\sqrt{V (X)} + \sqrt{V (Y)})}^{2} .

On en déduit

σ (X + Y) \leq σ (X) + σ (Y) .

Exercice 2 5001

Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires réelles suivant toutes les deux la loi d’une variable aléatoire réelle $X$ bornée.

On suppose que $X_{1} + X_{2}$ suit la loi de la variable $2 X$ . Montrer que $X_{1} = X_{2}$ presque sûrement¹¹ 1 Cela signifie $P (X_{1} = X_{2}) = 1$ ..

Exercice 3 5320 Correction

L’univers $Ω$ est l’ensemble des permutations de $⟦ 1; n ⟧$ (avec $n \in ℕ^{*}$ ) que l’on munit de la tribu discrète et de la probabilité uniforme. Pour $k \in ⟦ 1; n ⟧$ , on définit une variable aléatoire $X_{k}$ sur $Ω$ en posant, pour tout $σ$ élément de $Ω$ ,

X_{k} (σ) = {\begin{matrix} 1 & si σ (k) = k \\ 0 & sinon. \end{matrix}

(a)

Identifier la loi de la variable $X_{k}$ .
(b)

Soient $i, j \in ⟦ 1; n ⟧$ distincts. Calculer $Cov (X_{i}, X_{j})$ .
(c)

En déduire l’espérance et la variance de la variable $N$ donnant le nombre de points fixes d’une permutation $σ$ élément de $Ω$ .

Solution

(a)

La variable $X_{k}$ prend ses valeurs dans ${0,1}$ , elle suit donc une loi de Bernoulli. Pour déterminer son paramètre, il suffit d’évaluer $P (X_{k} = 1)$ .

Il y a $n!$ éléments dans $Ω$ et, parmi ceux-ci, il y a exactement $(n - 1)!$ permutations fixant $k$ car ces dernières s’identifient par restriction aux permutations de $⟦ 1; n ⟧ ∖ {k}$ . La probabilité étant uniforme,

$P (X_{k} = 1) = \frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{1}{n} .$

La variable $X_{k}$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = \frac{1}{n}$ .
(b)

Méthode: Par la formule de Huygens (),

$Cov (X_{i}, X_{j}) = E (X_{i} X_{j}) - E (X_{i}) E (X_{j}) .$

La variable $X_{i} X_{j}$ prend ses valeurs dans ${0,1}$ , elle suit aussi une loi de Bernoulli. La variable $X_{i} X_{j}$ prend la valeur $1$ uniquement lorsque $i$ et $j$ sont des points fixes de la permutation étudiée. Les permutations fixant $i, j$ s’identifient par restriction aux permutations de $⟦ 1; n ⟧ ∖ {i, j}$ , il y en a exactement $(n - 2)!$ et

$P (X_{i} X_{j} = 1) = \frac{(n - 2)!}{n!} = \frac{1}{n (n - 1)} .$

La variable $X_{i} X_{j}$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p^{'} = \frac{1}{n (n - 1)}$ .

L’espérance d’une loi de Bernoulli étant égale à son paramètre, on obtient¹¹ 1 La covariance obtenue est positive et cela peut être attendu car, si une permutation admet $i$ pour point fixe, cela réduit les valeurs possibles pour $j$ et accroît la probabilité que $j$ soit point fixe.

$Cov (X_{i}, X_{j}) = E (X_{i} X_{j}) - E (X_{i}) E (X_{j}) = \frac{1}{n (n - 1)} - \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{(n - 1) n^{2}} .$
(c)

La variable $N$ correspond à la somme $X_{1} + \dots + X_{n}$ . Par linéarité de l’espérance,

$E (N) = \sum_{k = 1}^{n} E (X_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} = 1 .$

Méthode: La variance d’une somme se développe par bilinéarité de la covariance ().

Par développement,

$V (N)$ $= Cov (N, N) = Cov (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \sum_{j = 1}^{n} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} Cov (X_{i}, X_{j})$

$= \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} Cov (X_{i}, X_{j}) .$

La première somme comporte $n$ termes égaux à la variance d’une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{n}$ et la seconde somme comporte $\frac{n (n - 1)}{2}$ égaux à la covariance précédemment calculée. On peut alors terminer le calcul²² 2 On pourra comparer cette étude à celle du sujet 3986.

$V (N) = n \cdot \frac{1}{n} (1 - \frac{1}{n}) + 2 \cdot \frac{n (n - 1)}{2} \cdot \frac{1}{n^{2} (n - 1)} = 1 .$

Exercice 4 4086 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles admettant chacune une variance.
On suppose $V (X) > 0$ . Déterminer $a, b \in ℝ$ minimisant la quantité

E ({(Y - (a X + b))}^{2}) .

Solution

On a

E ({(Y - (a X + b))}^{2}) = V (Y - (a X + b)) + E {(Y - (a X + b))}^{2} .

D’une part

V (Y - (a X + b)) = V (Y - a X) = a^{2} V (X) - 2 a Cov (X, Y) + V (Y)

et donc

	$V (Y - (a X + b))$	$= V (Y - a X)$
		$= {(a - \frac{Cov (X, Y)}{V (X)})}^{2} V (X) + \frac{V (X) V (Y) - {(Cov (X, Y))}^{2}}{V (X)} .$

D’autre part

E {(Y - (a X + b))}^{2} = 0 pour b = E (Y) - a E (X) .

On en déduit que

E ({(Y - (a X + b))}^{2})

est minimale pour

a = \frac{Cov (X, Y)}{V (X)} et b = \frac{V (X) E (Y) - Cov (X, Y) E (X)}{V (X)} .

Ces valeurs de $a$ et $b$ réalisent une régression linéaire: elles donnent la meilleure expression linéaire de $Y$ en fonction de $X$ .

Exercice 5 4048 Correction

Un signal est diffusé via un canal et un bruit vient malheureusement s’ajouter à la transmission. Le signal est modélisé par une variable aléatoire discrète réelle $S$ d’espérance $m_{S}$ et de variance $σ_{S}^{2}$ connues. Le bruit est modélisé par une variable $B$ indépendante de $S$ d’espérance nulle et de variance $σ_{B}^{2} > 0$ . Après diffusion, le signal reçu est $X = S + B$ .

Déterminer $a, b \in ℝ$ pour que $Y = a X + b$ soit au plus proche de $S$ c’est-à-dire telle que l’espérance $E ({(Y - S)}^{2})$ soit minimale.

Solution

Par la formule de Huygens

E ({(Y - S)}^{2}) = V (Y - S) + {(E (Y - S))}^{2}

avec

E (Y - S) = (a - 1) m_{S} + b

V (Y - S) = V ((a - 1) S + a B + b) = {(a - 1)}^{2} σ_{s}^{2} + a^{2} σ_{B}^{2}

car la covariance de $S$ et $B$ est nulle.
La quantité $V (Y - S)$ est minimale pour

a = \frac{σ_{S}^{2}}{σ_{S}^{2} + σ_{B}^{2}}

et l’on peut alors rendre le terme ${(E (Y - S))}^{2}$ nul pour

b = (1 - a) m_{S} .

Au final

Y = \frac{σ_{S}^{2}}{σ_{S}^{2} + σ_{B}^{2}} X + \frac{σ_{B}^{2}}{σ_{S}^{2} + σ_{B}^{2}} m_{S} .

Exercice 6 4047 Correction

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires discrètes réelles. On appelle matrice de covariance de la famille $(X_{1}, \dots, X_{n})$ la matrice

Σ = {(Cov (X_{i}, X_{j}))}_{1 \leq i, j \leq n} .

(a)

Soit $X = a_{1} X_{1} + \dots + a_{n} X_{n}$ avec $a_{i} \in ℝ$ .

Exprimer la variance de $X$ en fonction de la matrice $Σ$ .
(b)

En déduire que les valeurs propres de la matrice $Σ$ sont toutes positives.

Solution

(a)

On a

$V (X) = Cov (X, X) .$

Par bilinéarité

$V (a_{1} X_{1} + \dots + a_{n} X_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j} V (X_{i}, X_{j}) .$

Ce calcul est aussi le résultat du produit matriciel

${}^{t}C Σ C avec C = {}^{t}{(\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{n} \end{matrix})} .$
(b)

Soit $C = {}^{t}{(\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{n} \end{matrix})}$ un vecteur propre de $Σ$ associé à une valeur propre $λ$ .
On a ${}^{t}C Σ C = λ {}^{t}C C = λ {∥ C ∥}^{2}$ et, pour $X = a_{1} X_{1} + \dots + a_{n} X_{n}$ , $V (X) \geq 0$ donc

$λ = \frac{V (X)}{{∥ C ∥}^{2}} \geq 0 .$

Exercice 7 4378

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires discrètes réelles admettant chacune une variance. On appelle matrice de covariance de la famille $(X_{1}, \dots, X_{n})$ , la matrice

M = {(Cov (X_{i}, X_{j}))}_{1 \leq i, j \leq n} \in ℳ_{n} (ℝ) .

Montrer que cette matrice est diagonalisable et à valeurs propres positives.

Exercice 8 5273 ENSTIM (MP)Correction

Soient $X, Y$ des variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Poisson de paramètre $λ \in ℝ_{+}^{*}$ .

(a)

Déterminer les fonctions génératrices de $X$ et $3 Y$ .
(b)

En déduire la fonction génératrice de $Z = X + 3 Y$ .
(c)

Calculer $E (Z)$ et $V (Z)$ .
(d)

Les variables $X$ et $Z$ sont-elles indépendantes?
(e)

Trouver le minimum de la fonction $t \mapsto V (X + t Y)$ .

Solution

(a)

Pour tout $t$ réel,

$G_{X} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (X = n) t^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{- λ} \frac{{(λ t)}^{n}}{n!} = e^{λ (t - 1)}$

et

$G_{3 Y} (t) = E (t^{3 Y}) = E ({(t^{3})}^{Y}) = G_{Y} (t^{3}) = e^{λ (t^{3} - 1)}$
(b)

Par indépendance des variables $X$ et $3 Y$ ,

$G_{Z} (t) = G_{X} (t) G_{3 Y} (t) = e^{λ (t - 1) (t^{2} + t + 2)}$
(c)

Par linéarité,

$E (Z) = E (X) + 3 E (Y) = 4 λ .$

Par indépendance,

$V (Z) = V (X) + 9 V (Y) = 10 λ .$
(d)

Les variables $X$ et $Z$ ne sont pas indépendantes car

$P (X = 1, Z = 0) = 0 et P (X = 1) P (Z = 0) \neq 0$
(e)

Par indépendance,

$V (Z) = V (X + t Y) = V (X) + t^{2} V (Y)$

Cette expression est minimale pour $t = 0$ .

	$V (N)$	$= Cov (N, N) = Cov (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \sum_{j = 1}^{n} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} Cov (X_{i}, X_{j})$
		$= \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} Cov (X_{i}, X_{j}) .$

Covariances