[<] Moments [>] Fonctions génératrices
Soit une variable aléatoire discrète à valeurs dans .
Montrer que pour tout ,
Solution
Les événements et sont identiques. La variable étant à valeurs positives, l’inégalité de Markov donne
Les événements et sont identiques. La variable étant à valeurs positives, l’inégalité de Markov donne
Par passage à l’événement contraire,
Énoncer et démontrer l’inégalité de Markov.
Application : Soit une variable aléatoire à valeurs réelles.
Montrer que pour tout réel
Solution
Soient une variable aléatoire à valeurs dans et . Posons . On remarque et par croissance et linéarité de l’espérance
ce qui constitue l’inégalité de Markov.
Par stricte croissance de l’exponentielle, on remarque
La variable aléatoire est positive et, pour , l’inégalité de Markov donne
On en déduit
Soient une variable aléatoire réelle et une fonction strictement croissante. Montrer
Solution
Soit . Par stricte croissance de , on remarque l’égalité d’événements
On applique l’inégalité de Markov à la variable aléatoire positive et l’on a
Pour , on obtient l’inégalité voulue.
Soit une variable aléatoire discrète telle que avec .
Montrer
En déduire
Solution
On remarque la comparaison d’événements
Par croissance des probabilités,
La variable est à valeurs positives. Par l’inégalité de Markov,
Or, par linéarité,
et donc
Soit une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes avec suivant une loi de Bernoulli de paramètre . Montrer que pour tout
Solution
Posons
Par linéarité de l’espérance,
Les variables étant deux à deux indépendantes,
car pour tout .
En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on écrit
En passant au complémentaire, on obtient
ce qui permet de conclure.
Soit une fonction continue et .
Soit une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres et et
Donner les valeurs de l’espérance et de la variance de . Justifier
On introduit la variable aléatoire et l’on pose .
Vérifier que est une fonction polynôme de la variable .
Soit . La fonction étant continue sur le segment , elle y est uniformément continue (théorème de Heine). Ceci assure l’existence d’un réel vérifiant
Au surplus, la fonction étant continue sur un segment, elle y est bornée (théorème de la borne atteinte). Ceci permet d’introduire un réel vérifiant
Avec les notations ci-dessus, établir
et
Conclure qu’à partir d’un certain rang, on a
Ce résultat constitue une démonstration « probabiliste » du théorème de Stone-Weierstrass assurant que toute fonction réelle continue sur un segment peut être uniformément approchée par une fonction polynôme.
Solution
On sait et . On en déduit
Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer
On en déduit
car pour tout .
Sachant que les valeurs prises par figurent parmi les avec , la formule de transfert donne
Ainsi,
La fonction est bien une fonction polynôme.
Sachant
on obtient
et donc
Aussi, lorsque , on a
et donc
Pour assez grand, on a et alors
Écrire une fonction S(n,p) qui simule une variable aléatoire , où suit une loi binomiale .
En déduire une fonction test(n,p) qui affiche les courbes interpolant les points , puis
Que remarque-t-on?
Soit et . Montrer que
On considère une variable aléatoire telle que et . Montrer que est d’espérance finie et
Soit des variables aléatoires centrées indépendantes telles que, pour tout , . On pose
Montrer
Soit . Montrer
En choisissant une bonne valeur de , montrer
Commenter le résultat observé à la première question.
Solution
import random as rnd import math def S(n,p): R = 0 for k in range(n+1): if rnd.random() < p: R = R + 1 return R/n import matplotlib.pyplot as plt def test(n,p): Lk = range(1,n) LS = [S(k,p) for k in Lk] Linf = [p - math.sqrt(math.log(k)/k) for k in Lk] Lsup = [p + math.sqrt(math.log(k)/k) for k in Lk] plt.clf() plt.plot(Lk,LS) plt.plot(Lk,Linf) plt.plot(Lk,Lsup)
On remarque que la courbe expérimentale est plutôt bien encadrée.
On a
La convexité de la fonction exponentielle produit alors le résultat voulu.
La variable aléatoire est bornée donc aussi qui est alors d’espérence finie. L’inégalité au-dessus permet d’écrire la comparaison
Par croissance et linéarité de l’espérance, il vient
Enfin, la nullité de l’espérance de permet de conclure
En développant en série entière et , on remarque car on peut comparer les termes sommés respectifs.
On écrit avec et et alors
Par indépendance et l’inégalité précédente
Par l’inégalité de Markov,
ce qui donne l’inégalité voulue.
On prend
est la somme de variables de Bernoulli indépendantes. En centrant celle-ci, on peut (avec largesse) prendre et alors
Avec , on obtient
Par passage à l’opposé de , on obtient l’autre inégalité.
Soient un espace probabilisé et une variable aléatoire centrée prenant ses valeurs dans .
Par un argument de convexité, montrer que, pour tout et tout ,
Soit . Montrer que existe et
Soit . Établir
Solution
On pose et la convexité de l’exponentielle donne
ce qui produit la comparaison voulue.
La variable est bornée et donc l’est aussi et par conséquent admet une espérance. Par ce qui précède, on a la comparaison
Par croissance de l’espérance et nullité de l’espérance de
Par développement en série entière et en employant , on obtient
Par l’inégalité de Markov, on a pour tout ,
Pour , il vient
En considérant , on obtient
et l’on conclut
Soit une variable aléatoires réelle discrète admettant une variance (avec ). Montrer
Solution
Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
On conclut par considération d’évènement complémentaire.
(Inégalité de Chernoff)
Soit une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans avec . On suppose que la variable est d’espérance nulle.
Soit une fonction de classe vérifiant
Montrer que pour tout .
Soit un réel. Montrer
En déduire
Soit un réel. Montrer
En déduire
Soient et des variables aléatoires indépendantes prenant leurs valeurs dans avec . On pose la somme de ces variables et l’on introduit un réel strictement positif.
Montrer que pour tout ,
En déduire l’inégalité de Chernoff
Soient des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur . On pose .
Soient et des réels strictement positifs. Établir
En déduire que pour tout ,
On admettra l’inégalité pour tout .
Solution
Soient et des réels strictement positifs. Par stricte croissance de la fonction , on a l’égalité d’événements
Par l’inégalité de Markov11 1 L’inégalité de Markov propose une majoration de . Sachant , elle peut aussi être employée pour majorer . appliquée à la variable , il vient
On peut calculer l’espérance figurant en second membre par l’indépendance des variables qui entraîne22 2 Cette affirmation se justifie aisément par le théorème d’indépendance. celle des variables :
En exploitant l’inégalité de la question précédente, on poursuit
Il reste à choisir convenablement la valeur de . Pour33 3 Le polynôme du second degré est minimal en . , on conclut44 4 Ce résultat est un cas particulier de l’inégalité de Chernoff. Voir le sujet 5007.
Soient des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme11 1 On dit que les variables suivent une loi de Rademacher. sur . On pose .
Soit . Montrer
Établir que pour tout ,
Soit une variable aléatoire positive, non constante et admettant un moment d’ordre .
Établir
Solution
Soit . En réorganisant les membres, il s’agit d’établir
ce qui fait penser à l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Introduisons la variable aléatoire . Celle-ci vérifie et l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne
Pour conclure, il suffit alors de vérifier
(car les membres sont positifs ce qui permet de conserver l’inégalité après élévation au carré). On remarque
Par croissance de l’espérance,
et l’on conclut en réorganisant les membres.
On suppose qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres et . Soit . Montrer
Solution
Par croissance des probabilités,
et par l’inégalité de Markov (la variable aléatoire considérée est à valeurs positives)
Or, pour toute variable aléatoire admettant un moment d’ordre , l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne
Ainsi,
Au final, on conclut
Notons que cette inégalité est meilleure que celle de Bienaymé-Tchebychev seulement lorsque le majorant est supérieur à (autrement dit, elle n’est pas très utile).
(Inégalité de Kolmogorov)
Soient des variables aléatoires indépendantes centrées et d’écarts-type respectifs . Pour , on pose et
Exprimer l’événement en fonction des pour .
Vérifier
On pourra considérer .
En déduire
Comparer cette inégalité avec celle de Bienaymé-Tchebychev.
Solution
Immédiatement,
Les variables et sont indépendantes et donc
Les variables étant centrées, . Ainsi,
Par linéarité, il vient
puis, par développement,
On obtient ensuite la relation voulue en réorganisant les membres.
Les événements étant deux à deux incompatibles,
Pour ,
En sommant,
Les événements étant deux à deux incompatibles
puis
Enfin, la variable est centrée et les variables sont indépendantes donc
On conclut
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable centrée s’exprime
Cette inégalité permet d’écrire
L’inégalité acquise précédemment est donc meilleure.
(Inégalité de Kolmogorov)
Sur un espace probabilisé , on considère des variables aléatoires discrètes réelles indépendantes, d’espérances nulles et admettant chacune un moment d’ordre 2. Pour tout , on note la somme des variables et l’on introduit un réel strictement positif.
Pour , on introduit l’événement
Justifier l’indépendance des variables et pour tout .
Montrer
En déduire
(Inégalité de Chernoff)
Soit une variable aléatoire centrée prenant ses valeurs dans avec .
Soit un réel. Montrer
En déduire .
Montrer à l’aide d’une étude de fonction
En déduire
Soient et des variables aléatoires indépendantes prenant leurs valeurs dans avec . On pose la somme de ces variables et l’on introduit un réel strictement positif.
Montrer que pour tout
En déduire l’inégalité de Chernoff
[<] Moments [>] Fonctions génératrices
Édité le 29-08-2023
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