Soit une variable aléatoire à valeurs dans . On suppose qu’il existe vérifiant
Déterminer la loi de puis calculer son espérance et sa variance.
On suppose qu’à la roulette d’un Casino, on obtient la couleur noire avec la probabilité , la couleur rouge sinon (bref, on ne suppose pas de 0 vert…). Un joueur fortuné joue selon le protocole suivant:
il mise initialement 1 brouzouf sur la couleur noire;
s’il gagne, il arrête de jouer et empoche le double de sa mise.
s’il perd, il double sa mise et rejoue.
On suppose la fortune du joueur infinie.
Montrer que le jeu s’arrête presque sûrement. Déterminer l’espérance de gain du joueur.
On suppose toujours la fortune du joueur infinie.
Que se passe-t-il si au lieu de doubler, il décide de tripler sa mise lorsqu’il rejoue?
Le joueur n’est en fait pas si fortuné qu’il le prétend: il ne possède que brouzoufs ce qui l’autorise à ne pouvoir jouer que parties. Que devient son espérance de gain?
Solution
Notons l’évènement « le jeu dure au moins parties ». est la conjonction des évènements indépendants et le rouge sort au - ième tirage ». On en déduit
Par continuité décroissante, on obtient
L’arrêt du jeu est donc presque sûr.
Lorsque la partie s’arrête à la -ième tentative, le joueur a perdu brouzoufs et vient de gagner brouzoufs. Au total, il gagne 1 brouzouf. Son gain étant presque sûrement constant égal à 1 brouzoufs, son espérance de gain vaut 1 brouzouf.
Avec ce nouveau protocole, lorsque la partie s’arrête à la -ième tentative, le gain du joueur vaut
L’espérance de gain est
Puisque le joueur ne peut disputer que parties, son espérance de gain devient
(Loi de Pascal)
On dit qu’une variable aléatoire suit une loi de Pascal de paramètres et si
Soient des variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi géométrique de paramètre .
Montrer que suit une loi de Pascal de paramètres et .
En déduire l’espérance et la variance d’une loi de Pascal de paramètres et .
Solution
Raisonnons par récurrence sur .
Cas: .. Si suit une loi de Pascal de paramètres et alors
On reconnaît une loi géométrique de paramètre .
Supposons la propriété vraie au rang .
L’évènement peut se décomposer en la réunion des évènements incompatibles suivants
On en déduit par indépendance
puis
Or, par la formule du triangle de Pascal,
et donc
La récurrence est établie.
Notons qu’une résolution par les fonctions génératrices est possible avec
Par linéarité de l’espérance,
Par indépendance des variables sommées,
(Loi binomiale négative11 1 Cette loi étudie le nombre d’échecs précédant le -ième succès lors de la répétition d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre .)
Soient , et une variable aléatoire à valeurs dans telle qu’il existe un réel pour lequel
Déterminer .
Calculer l’espérance et la variance de .
On rappelle l’identité binomiale22 2 Voir le sujet 3931. Cette identité est souvent utilisée en calcul des probabilités.:
(Problème du collectionneur)
Chez un marchand de journaux, on peut acheter des pochettes contenant chacune une image. La collection complète comporte images distinctes.
Montrer qu’il est presque sûr d’obtenir la collection complète en un nombre fini d’achats.
On limite l’étude à un espace probabilisé dans lequel la collection complète est toujours obtenue en un nombre fini d’achats. Pour , on note le nombre d’achats ayant permis d’obtenir images distinctes. En particulier, et est le nombre d’achats nécessaires à l’obtention de la collection complète.
Soit . Par quelle loi peut-on modéliser la variable ?
En déduire une expression de l’espérance de .
On lance une pièce équilibrée jusqu’à ce que celle-ci ait produit au moins une fois face et une fois pile.
Montrer qu’il est presque sûr que le jeu s’arrête.
On note le nombre de lancers avant que le jeu cesse.
Montrer que admet une espérance et déterminer celle-ci.
Solution
Le jeu dure infiniment si, et seulement si, chaque lancer produit « face » ou bien chaque lancer produit « pile ». Notons l’évènement:
« le -ième lancer donne face ». |
Par indépendance des lancers
Par continuité décroissante
De même
L’évènement « le jeu ne s’arrête pas » est donc négligeable.
est à valeurs dans .
Pour , on a si les premiers lancers sont identiques. On en déduit
On en déduit
En fait, suit une loi géométrique de paramètre .
On s’intéresse à la première apparition du motif « PF » dans un tirage infini de pile ou face, indépendants et non truqués. On note l’événement
« Le motif PF apparaît pour la première fois au rang ».
(c’est-à-dire que le P est en position et le F en position ). On pose et la variable aléatoire donnant le rang d’apparition du motif.
Écrire un programme Python calculant la moyenne d’apparition du motif. Conjecture?
Montrer que
Décrire , pour et en déduire la valeur de .
Montrer que est d’espérance finie et calculer son espérance.
On s’intéresse maintenant à la première apparition du motif « PP ». On note toujours la variable aléatoire donnant le rang de première apparition du motif et , pour .
Calculer avec Python la moyenne d’apparition du motif. Conjecture?
Montrer que , et
Montrer que est d’espérance finie et calculer son espérance.
Solution
import random as rnd def T(): n = 0 P = False PF = False while (not PF): n = n + 1 x = rnd.random() if x < 0.5: P = True elif P: PF = True else: P = False return n def repete(n): c = 0 for i in range(n): c = c + T() return c/n
L’étude numérique amène à conjecturer .
Posons l’événement
« Le motif PF n’apparaît pas ».
L’événement est exactement la réunion des événements correspondant à une succession de F de longeur suivie exlcusivement de P ainsi que de l’événement correspondant uniquement à l’obtention de . L’événement est alors négligeable car réunion dénombrable d’événements de probabilités nulles11 1 Par exemple, la probabilité de n’obtenir que des F est par continuité décroissante la limite des probabilités de commencer par F à savoir . Les autres calculs sont analogues et, de façon générale, la probabilité d’obtenir un tirage infini précis est nulle.. On en déduit que la réunion des , avec , est un événement presque sûr.
est la réunion des configurations commençant par un certain nombre de F puis se poursuivant avec des P au nombre de tel que et se poursuivant enfin par un . Chacune de ces configurations est de probabilité et donc .
La suite des est sommable donc admet une espérance et
(la somme est calculée en dérivant deux fois la série entière géométrique).
On adapte le code précédent
def T(): n = 0 P = False PP = False while (not PP): n = n + 1 x = rnd.random() if x < 0.5: if P: PP = True P = True else: P = False return n
On conjecture cette fois-ci une espérance égale à .
est la probabilité de PP et celle de FPP d’où les valeurs proposées. Pour , on considère le système complet constitué des événements commençant par F, PF et PP et l’on obtient par argument de symétrie (quand on a obtenu F, cela remet les « compteurs à zéro »)
(1) |
Commençons par vérifier que les avec constituent un système complet. Les événements sont deux à deux incompatibles et la série des converge. En sommant la relation (1) pour supérieur à , on obtient après glissement d’indice
puis
On en tire que la somme des est égale à . On peut alors calculer l’espérance de .
Pour , la fonction génératrice de en est donnée par
(2) |
On peut exprimer par une fraction rationnelle définie sur , celle-ci est dérivable en ce qui assure que admet une espérance et, par dérivation de (2),
Pour , on obtient
On en tire .
Soient et une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi uniforme sur . Pour tout , on pose
Déterminer les limites de et de lorsque tend vers .
On étudie la descendance d’une variété de fleurs. À la génération , on dispose d’une fleur. À chaque génération suivante, les fleurs présentes déterminent chacune et indépendamment un nombre de descendants qui suit une loi binomiale avec . Les fleurs d’une génération disparaissent à la génération suivante.
Pour tout entier naturel , on pose la probabilité de l’événement
Il est entendu que est nul.
Calculer et montrer
Étudier la suite . Quelle est sa limite?
Écrire une fonction descendance(p) qui simule la descendance d’une fleur sur une génération (cette fonction répond 0, 1 ou 2 selon la loi ).
Écrire une fonction descendances(n,p) qui simule la descendance de la fleur sur générations.
Écrire une fonction extinction(N,p) qui renvoie la fréquence d’extinction de la descendance après générations sur un nombre de simulations. Comparer aux résultats trouvés au-dessus.
Solution
Notons la variable aléatoire donnant le nombre de descendants de la première fleur.
est la probabilité que la première fleur ne détermine pas de descendants:
Pour exprimer en fonction de , on discute selon le nombre de descendants de la première fleur.
Si la première fleur n’a pas de descendants, il est certain que la -ième génération ne comporte aucune fleur
Si la première fleur a un descendant, on a par translation de l’expérience
Si la première fleur a deux descendants, l’indépendance des générations entraîne que les générations induites par chacune des deux fleurs soient éteintes pour que soit réalisé
La formule des probabilités totales donne alors
et donc
La suite est une suite récurrente de premier terme et de fonction itératrice
Afin d’acquérir la monotonie de , on étudie le signe de
On remarque que est racine apparente et le produit des racines de cette équation du second degré suffit pour déterminer l’autre racine
On distingue alors deux cas:
Cas: . Le réel est supérieur à et la fonction est positive sur . La suite est alors croissante et majorée donc convergente. Sa limite est point fixe de dans , c’est-à-dire racine de , c’est . L’extinction est presque sûre.
Cas: . Le réel est élément de . L’intervalle étant stable par , étant élément de celui-ci et étant positive sur cet intervalle, la suite croît et est majorée par . Sa limite est alors .
from random import random def descendance(p): r = random() if r < (1-p)**2: return 0 if r - (1-p)**2 < 2* p * (1-p): return 1 return 2 def descendances(n,p): res = 1 for _ in range(n): k = 0 for i in range(res): k = k + descendance(p) res = k return res def extinction(N,p): c = 0 for _ in range(N): if descendances(20,p) == 0: c = c + 1 return c/N
L’expérimentation est conforme à la théorie.
Un joueur dispose de dés équilibrés. Il lance une première fois ceux-ci et met de côté les dés ayant donné un six. S’il en reste, les autres dés sont relancés et l’on répète l’expérience jusqu’à ce que tous les dés aient donné un six. On introduit la variable aléatoire à valeurs dans donnant le nombre de lancers nécessaires.
Soit . Calculer la probabilité de .
Justifier que l’expérience s’arrête presque sûrement.
Vérifier que la variable admet une espérance finie et donner une formule exprimant celle-ci à l’aide d’une somme finie.
On considère une suite de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre et l’on étudie la première apparition de deux succès consécutifs dans cette suite.
Montrer qu’il est presque sûr qu’il existe vérifiant
On note la variable aléatoire donnée par
Calculer , .
Pour , exprimer en fonction de et .
Calculer l’espérance de .
Solution
Introduisons les événements
Ces événements sont indépendants et
Par continuité décroissante
Par indépendance
Par limite d’une suite géométrique de raison , on obtient
Par conséquent, l’événement est presque sûr. Ainsi, il existe presque sûrement un rang pair en lequel il y a deux succès consécutifs. A fortiori, il est presque sûr qu’il existe un rang (pair ou impair) en lequel il y a deux succès consécutifs.
Pour , on souhaite calculer .
Pour , l’événement correspond à de probabilité .
Pour , l’événement correspond à de probabilité .
Pour , considérons le système complet d’événements
Par la formule des probabilités totales,
Or
En effet, la première épreuve étant un échec, obtenir deux succès consécutifs au rang revient maintenant à obtenir deux succès consécutifs au rang . Par un argument analogue
Enfin
car les deux succès consécutifs ont été obtenus au rang 2 et qu’ici .
Finalement, on obtient la relation de récurrence
Puisque la variable est à valeurs dans , on sait
La formule qui précède donne
En sommant, il vient
avec . On en déduit
Finalement, admet une espérance finie et
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi de Bernoulli de paramètre .
Soit . On pose
avec la convention .
On admet que définit une variable aléatoire.
Interpréter et identifier la loi de .
Établir que pour tout , .
Calculer l’espérance de .
Solution
La variable détermine le temps d’attente d’une première série de succès consécutifs dans la répétition indépendante d’une même épreuve de Bernoulli de paramètre . En particulier, est le temps d’attente d’un premier succès, suit donc une loi géométrique de paramètre .
On remarque
et
donc
L’inclusion réciproque est évidente et donc
L’événement est uniquement fonction des variables et est donc indépendants de l’événement .
Par indépendance,
Dans , on sait
En sommant les relations précédentes,
(1) |
Or
Nécessairement car sinon ce qui n’est pas compatible avec l’identité (1). Aussi,
et donc
On peut alors conclure
Dans une urne figurent boules numérotées de 1 à (avec ). Dans celle-ci on opère des tirages successifs avec remise dans l’attente d’une série de boules consécutives identiques (avec ). On admet qu’il est presque sûr que ce processus s’arrête et l’on note la variable aléatoire déterminant le nombre de tirages opérés à l’arrêt du processus.
Calculer et .
Soit , établir
En déduire que l’espérance de la variable .
Solution
Pour , on introduit l’événement:
Compte tenu de la composition de l’urne, on peut affirmer
Au surplus, les événements sont indépendants.
On observe
Par indépendance,
Aussi,
Par indépendance,
Méthode: On exprime en fonction et d’événements bien choisis.
L’événement correspond à . Par indépendance,
Puisque la variable est à valeurs dans , on sait
Cela donne
De plus, puisque le processus s’arrête presque sûrement et que la variable prend ses valeurs dans , on a
On en déduit la valeur de l’espérance de
Deux urnes sont respectivement constituées de boules blanches pour la première et de boules rouges pour la seconde (avec ).
On tire une boule dans chaque urne, on échange celles-ci et l’on recommence. On note le nombre de boules rouges figurant dans la première urne après le -ième tirage et l’on admet l’existence d’un espace probabilisé permettant l’étude de cette expérience.
Déterminer et .
Pour , on pose
Soit . Déterminer la loi de pour la probabilité conditionnelle sachant .
En déduire l’espérance de puis étudier la limite de celle-ci quand tend vers .
Solution
Par lecture de l’expérience, et .
La variable prend ses valeurs dans .
La variable prend ses valeurs dans .
Pour avoir , il faut piocher une boule rouge dans la première urne et une boule blanche dans la deuxième. Puisque ces urnes comportent respectivement boules rouges et boules blanches, il vient
(1) |
De même, on obtient
et, par complément,
On remarque que avec
Ainsi, on obtient la relation de récurrence
On reconnaît une suite arithmético-géométrique dont on peut exprimer le terme général sachant
On en déduit
sauf si où l’on observe que alterne entre et .
Pour , établir la convergence et donne la valeur de .
On lance un dé à six faces équilibré jusqu’à obtenir la valeur 6. On note la variable aléatoire donnée par le nombre de lancers effectués. Si est pair, on gagne euros. Si est impair, on perd euros. On note la variable aléatoire représentant le gain.
Écrire une fonction Python simulant la variable . Écrire aussi une fonction Python simulant la variable .
Donner la loi de .
Calculer l’espérance de
Solution
On sait que la série entière géométrique est de rayon de convergence . La série entière est donc aussi de rayon de convergence . Cela assure la convergence absolue de la série étudiée pour tout . Au surplus,
On peut anticiper que la variable suit une loi géométrique de paramètre et employer la fonction geometric de la librairie numpy.random. À défaut, on peut être plus élémentaire
import numpy.random as rd def X(): n = 1 while rd.randint(1, 7) != 6: n += 1 return n def Y(): x = X() if x % 2 == 0: return x else: return -x
est le temps d’attente dans la répétition indépendante d’une même épreuve de Bernoulli de paramètre . La variable suit donc une loi géométrique de paramètre .
Sous réserve de convergence absolue,
Il y a convergence absolue des sommes manipulées ce qui assure la sommabilité de la famille définissant l’espérance de .
Par introduction des termes d’indices pairs,
Par le calcul de la première question,
Enfin, par réduction au même dénominateur,
Soit . Pour , exprimer simplement
On lance une pièce de monnaie ayant une probabilité de faire pile. On compte le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pile pour la première fois. Ensuite, on lance la pièce fois et l’on compte le nombre de fois où l’on obtient pile.
Déterminer la loi de .
Calculer l’espérance de .
Solution
On sait le développement en série entière
Par dérivation à l’ordre de ce développement,
La variable suit une loi géométrique de paramètre . Pour , lorsque , la variable suit une loi binomiale de paramètres et . La variable prend globalement ses valeurs dans .
Pour , la formule des probabilités totales donne
Pour , le calcul est légèrement différent11 1 À la première étape, lorsque la somme débute à au lieu de , l’égalité devient fausse pour car cela adjoint un terme. car prend seulement ses valeurs dans ,
L’espérance de vaut alors
(Fonction caractéristique)
On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoire prenant ses valeurs dans , l’application donnée par
Vérifier que est définie, continue sur et -périodique.
On suppose que admet une espérance. Vérifier que est de classe sur et exprimer à l’aide de .
Que peut-on dire si est de variance finie? Exprimer alors à l’aide de .
Application : Retrouver les valeurs connues de l’espérance et la variance d’une loi géométrique.
Solution
Pour tout , la variable aléatoire est bornée, elle admet donc une espérance et cela assure la définition . De plus, la formule de transfert donne
Les fonctions sont continues et la série de fonctions converge normalement11 1 Contrairement à l’usage, parcourt au lieu de mais cela ne change par grand chose: il suffit de séparer la somme en deux selon le signe de l’indice pour adapter les propos. sur car
On en déduit que la fonction est continue. Aussi, cette fonction est -périodique car chacune des fonctions l’est.
Supposons que admette une espérance:
Les fonctions introduites au-dessus sont de classe sur avec
La série de fonctions converge normalement puisque
On en déduit22 2 Encore une fois, la somme est indexée sur mais cela ne change rien. que est de classe sur avec
En particulier, .
De façon analogue, on obtient que si est de variance finie, est de classe sur et . Par la formule de Huygens,
Si suit une loi géométrique de paramètre , on obtient par sommation géométrique de raison avec
On a alors
et
On en tire
et
Soit une variable aléatoire discrète à valeurs dans .
Montrer que admet une espérance et que celle-ci est élément de .
La variable admet aussi une variance que l’on se propose de majorer.
On introduit la variable aléatoire et les quantités
Vérifier
Calculer espérance et variance de . En déduire
En exploitant les deux majorations précédentes, obtenir
Conclure
Solution
Posons . On a et la constante admet une espérance. On en déduit que admet une espérance. De plus,
et de même .
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
De façon immédiate et . On en déduit
En appliquant à nouveau l’inégalité de Cauchy-Schwarz
Ce qui précède fournit
pour et . Sachant
Si alors
Si , c’est analogue et la conclusion demeure.
On a
Puisque est à valeurs dans , on a
et
On en déduit
En élevant au carré
Enfin, que soit nul ou non, on obtient
Notons que cette inégalité est une égalité lorsque suit une loi de Bernoulli de paramètre .
Pour un entier , on donne une matrice dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi d’espérance . Pour , calculer l’espérance de .
Solution
On sait . Par la formule définissant le déterminant et la linéarité de l’espérance
Par indépendance des variables, on a pour tout ,
On en déduit
avec la matrice dont tous les coefficients sont égaux à . La poursuite des calculs donne
Soit une matrice dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi centrée réduite.
Calculer et .
Cinq amis prennent place autour d’une table ronde et possèdent chacun deux jetons. On suppose que les jetons sont tous blancs sauf deux bleus qui sont possédés par deux voisins. À chaque tour, chacun distribue arbitrairement ses deux jetons, l’un à son camarade de droite, l’autre à son camarade de gauche. Le jeu s’arrête lorsque l’un des amis prend possession des deux jetons bleus.
Calculer le nombre moyen de tours nécessaires pour que le jeu s’arrête.
Édité le 29-08-2023
Bootstrap 3 - LaTeXML - Powered by MathJax