[<] Variables aléatoires [>] Loi de Poisson

 
Exercice 1  4366  

On lance indéfiniment et indépendamment un dé équilibré et l’on admet l’existence d’un espace probabilisé (Ω,𝒯,P) permettant d’étudier cette expérience.

Pour n*, on note Xn la variable aléatoire définie par la valeur du n-ième lancer. On introduit le temps d’attente du premier six:

T=min({n*|Xn=6}{+}).

Montrer que T est une variable aléatoire discrète à valeurs dans *{+} et identifier sa loi.

 
Exercice 2  4022  

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres p et q éléments de ]0;1[.

  • (a)

    Calculer P(X>n) pour n.

  • (b)

    Identifier la loi de Z=min(X,Y).

 
Exercice 3  4021  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes.

On suppose que celles-ci suivent une même loi géométrique de paramètre p]0;1[.

Déterminer la loi de Z=X+Y.

Solution

Les variables X et Y sont à valeurs dans * donc X+Y est à valeurs {0,1}.

Pour n{0,1}, on a

P(X+Y=n)=k=1n-1P(X=k,Y=n-k).

Par indépendance

P(X+Y=n)=k=1n-1P(X=k)P(Y=n-k).

Il ne reste plus qu’à dérouler les calculs:

P(X+Y=n)=(n-1)p2(1-p)n-2.
 
Exercice 4  4038   

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes géométriques de paramètres p et q éléments de ]0;1[. Calculer l’espérance de Z=max(X,Y).

 
Exercice 5  4115  Correction  

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres p,q]0;1[.
Calculer P(X<Y).

Solution

L’événement (X<Y) peut être décomposé en la réunion disjointes des événements

(X=k,Y>k) avec k*.

On a donc

P(X<Y)=k=1+P(X=k,Y>k).

Par indépendance des variables X et Y, on a

P(X=k,Y>k)=P(X=k)P(Y>k)

avec

P(X=k)=p(1-p)k-1 et P(Y>k)=(1-q)k.

On en déduit

P(X<Y)=k=1np(1-q)((1-p)(1-q))k-1=p-pqp+q-pq.
 
Exercice 6  5279     Navale (MP)Correction  

Soient X,Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre p]0;1[. Pour k*, calculer

P(XkY)

Solution

La famille des (Y=n) avec n* est un système complet d’événements et donc

P(XkY)=n=1+P(XkYY=n)P(Y=n)

Or

P(XkYY=n)=P(XkY,Y=n)P(Y=n)=P(Xkn,Y=n)P(Y=n)=P(Xkn)

car les variables X et Y sont supposées indépendantes. On en déduit

P(XkY)=n=1+(1-p)kn(1-p)n-1p=p(1-p)k1-(1-p)k+1
 
Exercice 7  4036  Correction  

Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p. Calculer

E(1X).

Solution

Par la formule de transfert

E(1X)=k=1+1k(1-p)k-1p=p1-pk=1+(1-p)kk.

Or pour x]-1;1[

k=1+1kxk=-ln(1-x)

donc

E(1X)=pp-1ln(p).
 
Exercice 8  5287     ENSTIM (MP)Correction  

Soient X1 et X2 des variables aléatoires indépendantes suivant une même loi géométrique de paramètre p>0. On pose

A=(X110X2).
  • (a)

    Montrer que A est inversible.

  • (b)

    Trouver la probabilité pour que A soit diagonalisable.

Solution

  • (a)

    Les variables X1 et X2 sont à valeurs dans * et donc aucune ne s’annule. La matrice A est alors inversible car de déterminant X1X2 non nul.

  • (b)

    Si X1X2, la matrice A est diagonalisable car possède deux valeurs propres distinctes. Si X1=X2, la matrice A n’est pas diagonalisable car possède une seule valeur propre sans être égale à une matrice scalaire. La probabilité que A soit diagonalisable vaut donc

    P(X1X2) =1-P(X1=X2)=1-n=1+p2(1-p)2(n-1)
    =1-p21-(1-p)2=21-p2-p.
 
Exercice 9  4372   

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres respectifs p et q]0;1[.

Quelle est la probabilité que la matrice réelle suivante soit diagonalisable?

A=(X-YY-X).
 
Exercice 10  4373    

Sur un espace probabilisé (Ω,𝒯,P), on considère une suite (Xn)n de variables aléatoires telles que, pour tout n, Xn suit une loi binomiale de paramètres n et p]0;1[. On considère aussi une variable aléatoire N indépendante des variables Xn et telle que N+1 suit une loi géométrique de paramètre q]0;1[.

Pour toute issue ω de l’univers Ω, on pose Y(ω)=XN(ω)(ω).

Justifier que Y est une variable aléatoire discrète et déterminer sa loi.

On pourra employer l’identité binomiale déjà présentée dans le sujet 4085.

[<] Variables aléatoires [>] Loi de Poisson



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax