Exercice 1 4366

On lance indéfiniment et indépendamment un dé équilibré et l’on admet l’existence d’un espace probabilisé $(Ω, 𝒯, P)$ permettant d’étudier cette expérience.

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on note $X_{n}$ la variable aléatoire définie par la valeur du $n$ -ième lancer. On introduit le temps d’attente du premier six:

T = \min ({n \in ℕ^{*} | X_{n} = 6} \cup {+ \infty}) .

Montrer que $T$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans $ℕ^{*} \cup {+ \infty}$ et identifier sa loi.

Exercice 2 4022

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres $p$ et $q$ éléments de $] 0; 1 [$ .

(a)

Calculer $P (X > n)$ pour $n \in ℕ$ .
(b)

Identifier la loi de $Z = \min (X, Y)$ .

Exercice 3 4021 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes indépendantes.

On suppose que celles-ci suivent une même loi géométrique de paramètre $p \in] 0; 1 [$ .

Déterminer la loi de $Z = X + Y$ .

Solution

Les variables $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $ℕ^{*}$ donc $X + Y$ est à valeurs $ℕ ∖ {0,1}$ .

Pour $n \in ℕ ∖ {0,1}$ , on a

P (X + Y = n) = \sum_{k = 1}^{n - 1} P (X = k, Y = n - k) .

Par indépendance

P (X + Y = n) = \sum_{k = 1}^{n - 1} P (X = k) P (Y = n - k) .

Il ne reste plus qu’à dérouler les calculs:

P (X + Y = n) = (n - 1) p^{2} {(1 - p)}^{n - 2} .

Exercice 4 4038

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes géométriques de paramètres $p$ et $q$ éléments de $] 0; 1 [$ . Calculer l’espérance de $Z = \max (X, Y)$ .

Exercice 5 4115 Correction

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres $p, q \in] 0; 1 [$ .
Calculer $P (X < Y)$ .

Solution

L’événement $(X < Y)$ peut être décomposé en la réunion disjointes des événements

(X = k, Y > k) avec k \in ℕ^{*} .

On a donc

P (X < Y) = \sum_{k = 1}^{+ \infty} P (X = k, Y > k) .

Par indépendance des variables $X$ et $Y$ , on a

P (X = k, Y > k) = P (X = k) P (Y > k)

avec

P (X = k) = p {(1 - p)}^{k - 1} et P (Y > k) = {(1 - q)}^{k} .

On en déduit

P (X < Y) = \sum_{k = 1}^{n} p (1 - q) {((1 - p) (1 - q))}^{k - 1} = \frac{p - p q}{p + q - p q} .

Exercice 6 5279 Navale (MP)Correction

Soient $X, Y$ deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre $p \in] 0; 1 [$ . Pour $k \in ℕ^{*}$ , calculer

P (X \geq k Y)

Solution

La famille des $(Y = n)$ avec $n \in ℕ^{*}$ est un système complet d’événements et donc

P (X \geq k Y) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} P (X \geq k Y ∣ Y = n) P (Y = n)

P (X \geq k Y ∣ Y = n) = \frac{P (X \geq k Y, Y = n)}{P (Y = n)} = \frac{P (X \geq k n, Y = n)}{P (Y = n)} = P (X \geq k n)

car les variables $X$ et $Y$ sont supposées indépendantes. On en déduit

P (X \geq k Y) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} {(1 - p)}^{k n} {(1 - p)}^{n - 1} p = \frac{p {(1 - p)}^{k}}{1 - {(1 - p)}^{k + 1}}

Exercice 7 4036 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p$ . Calculer

E (\frac{1}{X}) .

Solution

Par la formule de transfert

E (\frac{1}{X}) = \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{k} {(1 - p)}^{k - 1} p = \frac{p}{1 - p} \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{{(1 - p)}^{k}}{k} .

Or pour $x \in] - 1; 1 [$

\sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{k} x^{k} = - \ln (1 - x)

donc

E (\frac{1}{X}) = \frac{p}{p - 1} \ln (p) .

Exercice 8 5287 ENSTIM (MP)Correction

Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ des variables aléatoires indépendantes suivant une même loi géométrique de paramètre $p > 0$ . On pose

A = (\begin{matrix} X_{1} & 1 \\ 0 & X_{2} \end{matrix}) .

(a)

Montrer que $A$ est inversible.
(b)

Trouver la probabilité pour que $A$ soit diagonalisable.

Solution

(a)

Les variables $X_{1}$ et $X_{2}$ sont à valeurs dans $ℕ^{*}$ et donc aucune ne s’annule. La matrice $A$ est alors inversible car de déterminant $X_{1} X_{2}$ non nul.
(b)

Si $X_{1} \neq X_{2}$ , la matrice $A$ est diagonalisable car possède deux valeurs propres distinctes. Si $X_{1} = X_{2}$ , la matrice $A$ n’est pas diagonalisable car possède une seule valeur propre sans être égale à une matrice scalaire. La probabilité que $A$ soit diagonalisable vaut donc

$P (X_{1} \neq X_{2})$ $= 1 - P (X_{1} = X_{2}) = 1 - \sum_{n = 1}^{+ \infty} p^{2} {(1 - p)}^{2 (n - 1)}$

$= 1 - \frac{p^{2}}{1 - {(1 - p)}^{2}} = 2 \frac{1 - p}{2 - p} .$

Exercice 9 4372

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q \in] 0; 1 [$ .

Quelle est la probabilité que la matrice réelle suivante soit diagonalisable?

A = (\begin{matrix} X & - Y \\ Y & - X \end{matrix}) .

Exercice 10 4373

Sur un espace probabilisé $(Ω, 𝒯, P)$ , on considère une suite ${(X_{n})}_{n \in ℕ}$ de variables aléatoires telles que, pour tout $n \in ℕ$ , $X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p \in] 0; 1 [$ . On considère aussi une variable aléatoire $N$ indépendante des variables $X_{n}$ et telle que $N + 1$ suit une loi géométrique de paramètre $q \in] 0; 1 [$ .

Pour toute issue $ω$ de l’univers $Ω$ , on pose $Y (ω) = X_{N (ω)} (ω)$ .

Justifier que $Y$ est une variable aléatoire discrète et déterminer sa loi.

On pourra employer l’identité binomiale déjà présentée dans le sujet 4085.

	$P (X_{1} \neq X_{2})$	$= 1 - P (X_{1} = X_{2}) = 1 - \sum_{n = 1}^{+ \infty} p^{2} {(1 - p)}^{2 (n - 1)}$
		$= 1 - \frac{p^{2}}{1 - {(1 - p)}^{2}} = 2 \frac{1 - p}{2 - p} .$

Loi géométrique