Exercice 1 4025

On dit qu’une variable aléatoire $X$ admet un moment d’ordre $p \in ℕ$ lorsque $X^{p}$ admet une espérance finie.

Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrète admettant un moment d’ordre $n \in ℕ$ .

Montrer que $X$ admet un moment d’ordre $k$ pour tout $k \in ⟦ 0; n ⟧$ .

Exercice 2 5578 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles dont les carrés sont d’espérances finies.

On suppose que la variable $X$ n’est pas presque sûrement nulle et que l’on a

E {(X Y)}^{2} = E (X^{2}) E (Y^{2}) .

Montrer qu’il existe $λ \in ℝ$ tels que $Y = λ X$ presque sûrement.

Solution

Pour $λ \in ℝ$ , on introduit la variable aléatoire $Z_{λ} = {(λ X - Y)}^{2}$ . La variable $Z_{λ}$ admet une espérance et, par linéarité,

E (Z_{λ}) = E (λ^{2} X^{2} - 2 λ X Y + Y^{2}) = λ^{2} E (X^{2}) - 2 λ E (X Y) + E (Y^{2}) .

Cette expression est un trinôme¹¹ 1 En effet $E (X^{2}) > 0$ car $X$ n’est pas presque sûrement nulle. en $λ$ de discriminant

Δ = 4 E {(X Y)}^{2} - 4 E (X^{2}) E (Y^{2}) = 0 .

Il existe donc $λ \in ℝ$ tel que $E (Z_{λ}) = 0$ . Or la variable $Z_{λ}$ est à valeurs positives et donc $Z_{λ} = 0$ presque sûrement, c’est-à-dire $Y = λ X$ presque sûrement.

Exercice 3 5377 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes réelles bornées. On suppose

E (X^{k}) = E (Y^{k}) pour tout k \in ℕ^{*} .

A-t-on nécessairement $P (X = Y) = 1$ ?

Solution

La réponse est négative. Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $1 / 2$ et si $Y = 1 - X$ , on vérifie

E (X^{k}) = \frac{1}{2} = E (Y^{k}) pour tout k \in ℕ^{*}

alors que $P (X \neq Y) = 1$ !

Exercice 4 5376 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes réelles prenant chacune leurs valeurs dans $[a; b]$ . On suppose

E (X^{k}) = E (Y^{k}) pour tout k \in ℕ .

Montrer que, pour toute fonction $f : [a; b] \to ℝ$ continue,

E (f (X)) = E (f (Y)) .

Solution

Par linéarité, on vérifie

E (P (X)) = E (P (Y)) pour tout P \in ℝ [X] .

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction continue. Pour tout $ε > 0$ , le théorème de Weierstrass assure l’existence d’un polynôme $P \in ℝ [X]$ tel que

sup_{t \in [a; b]} | f (t) - P (t) | \leq ε .

On a alors

| E (f (X)) - E (P (X)) | = | E (f (X) - P (X)) | \leq E (| f (X) - P (X) |) \leq ε

et de même

| E (f (Y)) - E (P (Y)) | \leq ε avec E (P (X)) = E (P (Y)) .

On en déduit

| E (f (X)) - E (f (Y)) | \leq 2 ε .

Cela étant vrai pour tout $ε > 0$ , on peut conclure.

Exercice 5 4084

(Fonction génératrice des moments)

Soit $X$ une variable aléatoire discrète réelle. On note $I_{X}$ l’ensemble des $t \in ℝ$ pour lesquels la variable $e^{t X}$ admet une espérance finie et l’on pose

M_{X} (t) = E (e^{t X}) pour tout t \in I_{X} .

(a)

Montrer que $I_{X}$ est un intervalle contenant $0$ .
(b)

On suppose que 0 est intérieur à l’intervalle $I_{X}$ . Montrer que la variable $X$ admet des moments à tout ordre et que, sur un intervalle centré en $0$ ,

$M_{X} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{E (X^{n})}{n!} t^{n} .$

Exercice 6 4023 MINES (MP)Correction

Soit $X$ une variable aléatoire discrète réelle. Sous réserve d’existence, on appelle fonction génératrice des moments de $X$ l’application

M_{X} (t) = E (e^{t X}) .

(a)

On suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ$ . Déterminer $M_{X} (t)$ .
(b)

On suppose que la fonction $M_{X}$ est définie sur un intervalle $] - a; a [$ .
Montrer qu’elle y est de classe $𝒞^{\infty}$ et que l’on a

$E (X^{n}) = M_{X}^{(n)} (0) .$

Solution

(a)

Soit $t \in ℝ$ , on a, avec convergence absolue

$M_{X} (t) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!} e^{k t} = e^{λ (e^{t} - 1)} .$
(b)

Si $X$ ne prend qu’un nombre fini de valeurs ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ , l’affaire est entendue: la fonction génératrice des moments de $X$ est développable en série entière sur $ℝ$ avec

$M_{X} (t) = \sum_{k = 1}^{n} e^{t x_{k}} P (X = x_{k})$

et après permutation des sommes

$M_{X} (t) = \sum_{ℓ = 0}^{+ \infty} \frac{1}{ℓ!} \sum_{k = 1}^{n} {(x_{k})}^{ℓ} P (X = x_{k}) t^{ℓ} = \sum_{ℓ = 0}^{+ \infty} \frac{1}{ℓ!} E (X^{ℓ}) t^{ℓ} .$

Si $X$ prend une infinité de valeurs, c’est plus technique…
Notons ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ une énumération des valeurs de $X$ . Pour $t \in] - a; a [$

$M_{X} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (X = x_{n}) e^{t x_{n}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} (t)$

avec

$u_{n} (t) = P (X = x_{n}) e^{t x_{n}} .$

Par hypothèse, la série de fonctions convergence simplement sur $] - a; a [$ .
Les fonctions $u_{n}$ sont toutes de classe $𝒞^{\infty}$ avec

$u_{n}^{(k)} (t) = P (X = x_{n}) x_{n}^{k} e^{t x_{n}} .$

Soit $α > 0$ tel que $[- α; α] \subset] - a; a [$ .
Pour $t \in [- α; α]$ , on peut écrire

$| u_{n}^{(k)} (t) | \leq P (X = x_{n}) | x_{n}^{k} | e^{α | x_{n} |} .$

Introduisons $ρ \in] α; a [$ . On peut écrire

$P (X = x_{n}) {| x_{n} |}^{k} e^{α | x_{n} |} = {| x_{n} |}^{k} e^{(α - ρ) | x_{n} |} \times P (X = x_{n}) e^{ρ | x_{n} |} .$

D’une part, la fonction $t \mapsto t^{k} e^{(α - ρ) t}$ est définie et continue sur $[0; + \infty [$ et de limite nulle en $+ \infty$ , elle est donc bornée ce qui permet d’introduire une constante $M_{k}$ vérifiant

$\forall n \in ℕ, {| x_{n} |}^{k} e^{(α - ρ) | x_{n} |} \leq M_{k} .$

D’autre part,

$P (X = x_{n}) e^{ρ | x_{n} |} \leq P (X = x_{n}) e^{ρ x_{n}} + P (X = x_{n}) e^{- ρ x_{n}} .$

En vertu de la convergence en $\pm ρ$ de la série définissant $M_{X} (t)$ , on peut assurer la convergence de la série positive

$\sum P (X = x_{n}) e^{ρ | x_{n} |} .$

La majoration uniforme

$| u_{n}^{(k)} (t) | \leq M_{k} P (X = x_{n}) e^{ρ | x_{n} |}$

donne la convergence normale de $\sum u_{n}^{(k)}$ sur $[- α; α]$ .
Via convergence uniforme sur tout segment, on peut conclure que $M_{X}$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $] - a; a [$ .
De plus, on a pour tout ordre de dérivation $k$ et avec sommabilité la relation

$M_{X}^{(k)} (0) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}^{(k)} (0) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x_{n}^{k} P (X = x_{n}) = E (X^{k}) .$

[<] Covariances [>] Inégalités de concentration

Édité le 29-08-2023

Moments