[<] Covariances [>] Inégalités de concentration

 
Exercice 1  4025  

Soient X une variable aléatoire discrète à valeurs réelles et p. On suppose que Xp admet une espérance. Montrer que pour toute valeur de k0;p, la variable Xk admet une espérance.

 
Exercice 2  5377  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes réelles bornées. On suppose

E(Xk)=E(Yk)pour tout k*.

A-t-on nécessairement P(X=Y)=1?

Solution

La réponse est négative. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2 et si Y=1-X, on vérifie

E(Xk)=12=E(Yk)pour tout k*

alors que P(XY)=1!

 
Exercice 3  5376   Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes réelles prenant chacune leurs valeurs dans [a;b]. On suppose

E(Xk)=E(Yk)pour tout k.

Montrer que, pour toute fonction f:[a;b] continue,

E(f(X))=E(f(Y)).

Solution

Par linéarité, on vérifie

E(P(X))=E(P(Y))pour tout P[X].

Soit f:[a;b] une fonction continue. Pour tout ε>0, le théorème de Weierstrass assure l’existence d’un polynôme P[X] tel que

supt[a;b]|f(t)-P(t)|ε.

On a alors

|E(f(X))-E(P(X))|=|E(f(X)-P(X))|E(|f(X)-P(X)|)ε

et de même

|E(f(Y))-E(P(Y))|ε avec E(P(X))=E(P(Y)).

On en déduit

|E(f(X))-E(f(Y))|2ε.

Cela étant vrai pour tout ε>0, on peut conclure.

 
Exercice 4  4084   

(Fonction génératrice des moments)

Soit X une variable aléatoire discrète réelle. On note IX l’ensemble des t pour lesquels la variable etX admet une espérance finie et l’on pose

MX(t)=E(etX)pour tout tIX.
  • (a)

    Montrer que IX est un intervalle contenant 0.

  • (b)

    On suppose que 0 est intérieur à l’intervalle IX. Montrer que la variable X admet des moments à tout ordre et que, sur un intervalle centré en 0,

    MX(t)=n=0+E(Xn)n!tn.
 
Exercice 5  4023     MINES (MP)Correction  

Soit X une variable aléatoire discrète réelle. Sous réserve d’existence, on appelle fonction génératrice des moments de X l’application

MX(t)=E(etX).
  • (a)

    On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre λ. Déterminer MX(t).

  • (b)

    On suppose que la fonction MX est définie sur un intervalle ]-a;a[.
    Montrer qu’elle y est de classe 𝒞 et que l’on a

    E(Xn)=MX(n)(0).

Solution

  • (a)

    Soit t, on a, avec convergence absolue

    MX(t)=k=0+e-λλkk!ekt=eλ(et-1).
  • (b)

    Si X ne prend qu’un nombre fini de valeurs {x1,,xn}, l’affaire est entendue: la fonction génératrice des moments de X est développable en série entière sur avec

    MX(t)=k=1netxkP(X=xk)

    et après permutation des sommes

    MX(t)==0+1!k=1n(xk)P(X=xk)t==0+1!E(X)t.

    Si X prend une infinité de valeurs, c’est plus technique…
    Notons (xn)n une énumération des valeurs de X. Pour t]-a;a[

    MX(t)=n=0+P(X=xn)etxn=n=0+un(t)

    avec

    un(t)=P(X=xn)etxn.

    Par hypothèse, la série de fonctions convergence simplement sur ]-a;a[.
    Les fonctions un sont toutes de classe 𝒞 avec

    un(k)(t)=P(X=xn)xnketxn.

    Soit α>0 tel que [-α;α]]-a;a[.
    Pour t[-α;α], on peut écrire

    |un(k)(t)|P(X=xn)|xnk|eα|xn|.

    Introduisons ρ]α;a[. On peut écrire

    P(X=xn)|xn|keα|xn|=|xn|ke(α-ρ)|xn|×P(X=xn)eρ|xn|.

    D’une part, la fonction ttke(α-ρ)t est définie et continue sur [0;+[ et de limite nulle en +, elle est donc bornée ce qui permet d’introduire une constante Mk vérifiant

    n,|xn|ke(α-ρ)|xn|Mk.

    D’autre part,

    P(X=xn)eρ|xn|P(X=xn)eρxn+P(X=xn)e-ρxn.

    En vertu de la convergence en ±ρ de la série définissant MX(t), on peut assurer la convergence de la série positive

    P(X=xn)eρ|xn|.

    La majoration uniforme

    |un(k)(t)|MkP(X=xn)eρ|xn|

    donne la convergence normale de un(k) sur [-α;α].
    Via convergence uniforme sur tout segment, on peut conclure que MX est de classe 𝒞 sur ]-a;a[.
    De plus, on a pour tout ordre de dérivation k et avec sommabilité la relation

    MX(k)(0)=n=0+un(k)(0)=n=0+xnkP(X=xn)=E(Xk).

[<] Covariances [>] Inégalités de concentration



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax