Exercice 1 4114 Correction

Une urne contient 4 boules rapportant $0,1,1,2$ points. On y effectue $n$ tirages avec remise et l’on note $S$ le score total obtenu.
Déterminer la fonction génératrice de $S$ et en déduire la loi de $S$ .

Solution

Notons $X_{1}, \dots, X_{n}$ les variables aléatoires fournissant les points obtenus lors des tirages.
Les variables $X_{i}$ suivent la même loi de fonction génératrice

G_{X} (t) = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} t + \frac{1}{4} t^{2} = {(\frac{1 + t}{2})}^{2} .

Puisque $S = X_{1} + \dots + X_{n}$ avec $X_{1}, \dots, X_{n}$ indépendantes on a

G_{S} (t) = G_{X_{1}} (t) \dots G_{X_{n}} (t) = {(G_{X} (t))}^{n} = {(\frac{1 + t}{2})}^{2 n} .

En développant la somme

G_{S} (t) = \frac{1}{2^{2 n}} \sum_{k = 0}^{2 n} (\binom{2 n}{k}) t^{k} .

Ceci détermine la loi de $S$ :

\forall k \in ⟦ 0; 2 n ⟧, P (S = k) = \frac{1}{2^{2 n}} (\binom{2 n}{k})

$S$ suit une loi binomiale de paramètre $2 n$ et $1 / 2$ : cela s’explique aisément car l’expérience de chaque tirage peut être modélisée par deux tirages successifs d’une pièce équilibrée.

Exercice 2 4371

(a)

Calculer la fonction génératrice d’une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ .
(b)

À l’aide de leurs fonctions génératrices, déterminer la loi suivie par la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres $λ$ et $μ$ strictement positifs.

Exercice 3 5413 MINES (MP)Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $ℕ$ indépendantes. On suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ .

Montrer que $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $μ > 0$ si, et seulement si, $X + Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ + μ$ .

Solution

Rappellons que la fonction génératrice d’une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ est

G_{X} (t) = e^{λ (t - 1)} .

Si $X$ et $Y$ suivent des lois de Poisson de paramètres $λ$ et $μ$ alors, par indépendance,

G_{X + Y} (t) = G_{X} (t) G_{Y} (t) = e^{λ (t - 1)} e^{μ (t - 1)} = e^{(λ + μ) (t - 1)} .

Ainsi, $X + Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ + μ$ .

Inversement, supposons que $X + Y$ suive un loi de Poisson de paramètre $λ + μ$ . On a

G_{X + Y} (t) = G_{X} (t) G_{Y} (t) = e^{λ (t - 1)} G_{Y} (t) = e^{(λ + μ) (t - 1)}

donc

G_{Y} (t) = e^{μ (t - 1)} .

Ainsi, $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $μ$ .

Exercice 4 5347 Correction

(a)

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $ℕ$ .

On suppose que les fonctions génératrices de $X$ et $Y$ sont égales sur $[- 1; 1]$ . Justifier que $X$ et $Y$ suivent la même loi.
(b)

Application : Soient $n \in ℕ^{*}$ et $p \in] 0; 1 [$ .

Par les fonctions génératrices, déterminer la loi de la somme de $n \in ℕ^{*}$ variables indépendantes suivant chacune une même loi de Bernoulli de paramètre $p \in [0; 1]$ .

Solution

(a)

L’unicité des coefficients d’un développement en série entière donne

$P (X = n) = P (Y = n) pour tout n \in N .$
(b)

Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ alors $G_{X} (t) = (1 - p) + p t$ pour tout $t \in ℝ$ .

Si $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes de même loi que $X$ alors

$G_{X_{1} + \dots + X_{n}} (t) = {(G_{X} (t))}^{n} = {((1 - p) + p t)}^{n} pour tout t \in ℝ .$

On reconnaît la fonction génératrice d’une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (et la fonction génératrice suffit à caractériser la loi).

Exercice 5 5366 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $ℕ$ .

Pour $t$ réel convenable, on pose

G_{X} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (X = n) t^{n} .

(a)

Montrer que la fonction $G_{X}$ est définie et continue sur $[- 1; 1]$ .
(b)

Justifier que la fonction $G_{X}$ est croissante et convexe sur $[0; 1]$ .

Solution

(a)

Posons $u_{n} (t) = P (X = n) t^{n}$ pour $t \in [- 1; 1]$ . On remarque

$| u_{n} (t) | = P (X = n) {| t |}^{n} \leq P (X = n) pour tout t \in [- 1; 1] .$

Puisque la série $\sum P (X = n)$ converge (et est de somme $1$ ), la série de fonctions $\sum u_{n}$ converge normalement sur $[- 1; 1]$ . De plus, les fonctions $u_{n}$ sont continues et l’on peut donc affirmer que la fonction somme $G_{X}$ est définie et continue sur $[- 1; 1]$ .
(b)

Les fonctions $u_{n}$ sont croissantes et convexes sur $[0; 1]$ donc la somme $G_{X}$ l’est aussi (par convergence simple).

Exercice 6 5111

Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $ℕ$ de fonction génératrice $G_{X}$ . On étudie l’événement $A = « X est un entier pair »$ .

(a)

Identifier la loi de la variable $Y = \frac{1}{2} (1 + {(- 1)}^{X})$ .
(b)

Exprimer $P (A)$ en fonction de $G_{X} (- 1)$ .
(c)

Application : Calculer $P (A)$ lorsque $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $λ > 0$ .

Exercice 7 5854 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $ℕ$ dont la fonction génératrice est

G_{X} (t) = \frac{t}{2 - t^{2}} pour tout t \in] - \sqrt{2}; \sqrt{2} [.

(a)

Calculer la loi de $X$ .
(b)

Reconnaître la loi de $Y = \frac{1}{2} (X + 1)$ . En déduire l’espérance et la variance de $X$ .

Solution

(a)

Pour $| t | < \sqrt{2}$ , on a par sommation géométrique

$G_{X} (t) = \frac{t}{2} \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(\frac{t^{2}}{2})}^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{t^{2 n + 1}}{2^{n + 1}} .$

On en déduit la loi de $X$ : $X$ prend presque sûrement ces valeurs dans $2 ℕ + 1$ avec

$\forall n \in ℕ,, P (X = 2 n + 1) = \frac{1}{2^{n + 1}} .$
(b)

Presque sûrement, $Y$ prend ses valeurs dans $ℕ^{*}$ avec

$\forall n \in ℕ^{*}, P (Y = n) = P (X = 2 n - 1) = \frac{1}{2^{n}} = {(1 - \frac{1}{2})}^{n - 1} \frac{1}{2} .$

La variable $Y$ suit une loi géométrique de paramètre $1 / 2$ . On sait alors $E (Y) = 2$ et $V (Y) = 2$ .

L’égalité $X = 2 Y - 1$ donne $E (X) = 2 E (Y) - 1$ et $V (X) = 4 V (Y)$ donc $E (X) = 3$ et $V (X) = 8$ .

Exercice 8 4044

Deux joueurs lancent chacun deux dés équilibrés et l’on veut calculer la probabilité que les sommes des deux jets soient égales. On note $X_{1}$ et $X_{2}$ les variables aléatoires déterminant les valeurs des dés lancés par le premier joueur et $Y_{1}$ et $Y_{2}$ celles associées au deuxième joueur.

(a)

Montrer que $P (X_{1} + X_{2} = Y_{1} + Y_{2}) = P (14 + X_{1} + X_{2} - Y_{1} - Y_{2} = 14)$ .
(b)

Déterminer la fonction génératrice de la variable $Z = 14 + X_{1} + X_{2} - Y_{1} - Y_{2}$ .
(c)

En déduire la valeur de $P (X_{1} + X_{2} = Y_{1} + Y_{2})$ .

Exercice 9 4194 Correction

Montrer par les fonctions génératrices qu’il est impossible de « truquer » deux dés cubiques et indépendants pour que la somme d’un lancer suive une loi uniforme sur $⟦ 2; 12 ⟧$

Solution

La fonction génératrice d’une variable $Y$ suivant une loi uniforme sur $⟦ 2; 12 ⟧$ est la fonction polynomiale

G_{Y} (t) = \frac{1}{12} (t^{2} + t^{3} + \dots + t^{12}) .

Notons $G_{X_{1}}$ et $G_{X_{2}}$ les fonctions génératices de chacun des dés.

G_{X_{1}} (t) = (p_{1} t + p_{2} t^{2} + \dots + p_{6} t^{6}) et G_{X_{2}} (t) = (q_{1} t + q_{2} t^{2} + \dots + q_{6} t^{6}) .

La fonction génératrice de la somme $X_{1} + X_{2}$ est donnée par

G_{X_{1} + X_{2}} (t) = G_{X_{1}} (t) \times G_{X_{2}} (t) = t^{2} (p_{1} + p_{2} t + \dots + p_{6} t^{5}) (q_{1} + q_{2} t + \dots + q_{6} t^{5}) .

Pour que $G_{Y} = G_{X_{1}} G_{X_{2}}$ , il faut $p_{1} q_{1} > 0$ et $p_{6} q_{6} > 0$ auquel cas les facteurs de degré $5$ possèdent chacune une racine réelle non nulle. Cependant

G_{Y} (t) = \frac{1}{12} t^{2} \frac{1 - t^{11}}{1 - t}

n’en possède pas!

Exercice 10 4051

Soit ${(X_{n})}_{n \in ℕ^{*}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi de Bernoulli de paramètre $p \in] 0; 1 [$ . Aussi, soit $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $ℕ$ indépendante des précédentes. On considère les variables aléatoires

X = \sum_{k = 1}^{N} X_{k} et Y = \sum_{k = 1}^{N} (1 - X_{k}) .

(a)

Pour $t$ et $u$ dans $[- 1; 1]$ , exprimer à l’aide de la fonction génératrice de $N$ l’expression

$G (t, u) = E (t^{X} u^{Y}) .$
(b)

On suppose que $N$ suit une loi de Poisson. Montrer que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.
(c)

Inversement, on suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes. Montrer que $N$ suit une loi de Poisson.

Exercice 11 4206

Soient $A$ et $B$ deux événements indépendants d’un espace probabilisé $(Ω, 𝒜, P)$ et la variable aléatoire $Z = 1_{A} + 1_{B}$ .

Montrer que, parmi les événements $(Z = 0)$ , $(Z = 1)$ et $(Z = 2)$ , il y en a au moins un de probabilité supérieure à $4 / 9$ .

Exercice 12 4376

(Loi de Pascal)

Soit ${(X_{n})}_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi de Bernoulli de paramètre $p \in] 0; 1 [$ .

Pour $r \in ℕ^{*}$ , on définit une variable aléatoire $T_{r}$ à valeurs dans $ℕ^{*} \cup {+ \infty}$ en posant

T_{r} = \min ({n \in ℕ^{*} | X_{1} + \dots + X_{n} = r} \cup {+ \infty}) .

La variable $T_{r}$ se comprend comme le temps d’attente du $r$ -ième succès¹¹ 1 Cette variable est directement liée à la variable $X$ du sujet 4085: $T_{r} = X + r$ ..

(a)

Pour $n \in ℕ^{*}$ , calculer $P (T_{r} = n)$ .
(b)

Montrer que l’événement $(T_{r} = + \infty)$ est négligeable.
(c)

Soient $Y_{1}, \dots, Y_{r}$ des variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi géométrique de paramètre $p$ . Montrer que $Y_{1} + \dots + Y_{r}$ et $T_{r}$ suivent la même loi.
(d)

En déduire l’espérance et la variance de $T_{r}$ .

Exercice 13 5472 Correction

On considère un espace probabilisé $(Ω, 𝒜, P)$ .

(a)

Soient $A$ et $B$ deux événements. Montrer

$P (A) - P (B) \leq P (A \cap \bar{B}) .$
(b)

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $ℕ$ . Montrer

$| G_{X} (t) - G_{Y} (t) | \leq P (X \neq Y) pour tout t \in [0; 1] .$

Solution

(a)

L’événement $A$ est la réunion des événements incompatibles $A \cap B$ et $A \cap \bar{B}$ . On en déduit

$P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \bar{B}) .$

Or $A \cap B \subset B$ et donc

$P (A) \leq P (B) + P (A \cap \bar{B})$

ce qui produit l’inégalité voulue.
(b)

Soit $t \in [0; 1]$ . Si $G_{X} (t) \geq G_{Y} (t)$ ,

$| G_{X} (t) - G_{Y} (t) |$ $= G_{X} (t) - G_{Y} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (P (X = n) - P (Y = n)) t^{n}$

$\leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} P ((X = n) \cap (Y \neq n)) t^{n} \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} P ((X = n) \cap (Y \neq n)) .$

Par incompatibilité,

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} P ((X = n) \cap (Y \neq n)) = P (X \neq Y)$

et donc

$| G_{X} (t) - G_{Y} (t) | \leq P (X \neq Y) .$

De même, on obtient encore cette inégalité si $G_{X} (t) < G_{Y} (t)$ .

Exercice 14 5371 Correction

Soit $(Ω, 𝒜, P)$ un espace probabilisé.

(a)

Montrer que si $A$ et $B$ sont deux événements $Ω$ alors

$| P (A) - P (B) | \leq P (A \cap \bar{B}) + P (\bar{A} \cap B) .$
(b)

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $ℕ$ . Établir

$| G_{X} (t) - G_{Y} (t) | \leq 2 P (X \neq Y) pour tout t \in [- 1; 1] .$

Soient ${(X_{n})}_{n \in ℕ}$ une suites variables aléatoires à valeurs dans $ℕ$ et définies sur $Ω$ . On suppose que pour tout $ω \in Ω$ , la suite $(X_{n} (ω))$ est constante à partir d’un certain rang et l’on note $X (ω)$ la valeur de cette constante.

(c)

Vérifier que $X$ définit une variable alétoire sur $Ω$ à valeurs dans $ℕ$ .
(d)

Montrer que la suite des fonctions $G_{X_{n}}$ converge uniformément vers $G_{X}$ sur $[- 1; 1]$ .

Solution

(a)

Quitte à échanger, on peut supposer $P (A) \geq P (B)$ . On écrit

$A = A \cap Ω = A \cap (B \cup \bar{B}) = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B}) .$

Par incompatibilité puis croissance,

$P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \bar{B}) \leq P (B) + P (A \cap \bar{B}) .$

Ainsi,

$| P (A) - P (B) | = P (A) - P (B) \leq P (A \cap \bar{B}) \leq P (A \cap \bar{B}) + P (\bar{A} \cap B) .$
(b)

Soit $t \in [- 1; 1]$ .

$| G_{X} (t) - G_{Y} (t) | = | \sum_{n = 0}^{+ \infty} (P (X = n) - P (Y = n)) t^{n} | \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} | P (X = n) - P (Y = n) | .$

Par le résultat qui précède,

$| P (X = n) - P (Y = n) | \leq P (X = n \cap Y \neq n) + P (Y = n, X \neq n) .$

Or

$P (X \neq Y) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (X = n, X \neq Y) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (X = n, Y \neq n) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (Y = n, X \neq n) .$

Ainsi,

$| G_{X} (t) - G_{Y} (t) | \leq 2 P (X \neq Y) .$
(c)

Méthode: $X$ définit une application de $Ω$ vers l’ensemble dénombrable $ℕ$ . Pour vérifier qu’il s’agit d’une variable aléatoire discrète, il reste à observer que, pour tout $k \in ℕ$ , $(X = k)$ désigne un événement.

Soit $k \in ℕ$ . Pour $ω \in Ω$ ,

$X (ω) = k \Leftrightarrow \exists N \in ℕ, \forall n \geq N, X_{n} (ω) = k .$

On en déduit

$(X = k) = ⋃_{N \in ℕ} ⋂_{n \geq N} (X_{n} = k) .$

Par opérations dans la tribu $𝒜$ (rappelons que les $(X_{n} = k)$ sont des événements), on peut affirmer que $(X = k) \in 𝒜$ .
(d)

Soit $t \in [- 1; 1]$ . Pour $n \in ℕ$ ,

$| G_{X_{n}} (t) - G_{X} (t) | \leq 2 P (X_{n} \neq X)$

et donc

$sup_{t \in [- 1; 1]} | G_{X_{n}} (t) - G_{X} (t) | \leq 2 P (X_{n} \neq X) .$

Or

$Ω = ⋃_{N \in ℕ} A_{N} avec A_{N} = ⋂_{n \geq N} (X_{n} = X)$

car, pour chaque $ω \in Ω$ , la suite $(X_{n} (ω))$ est constante égale à $X (ω)$ à partir d’un certain rang. Puisque les événements $A_{n}$ forment une suite croissante, on a par continuité monotone

$P (A_{n}) \to_{n \to + \infty}^{} P (Ω) = 1 .$

Or

$(X_{n} \neq X) \subset \bar{A_{n}}$

et donc

$0 \leq P (X_{n} \neq X) \leq 1 - P (A_{n}) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

On peut alors conclure à la convergence uniforme sur $[- 1; 1]$ de la suite de fonctions $G_{X_{n}}$ vers $G_{X}$ .

[<] Inégalités de concentration [>] Calcul d'espérance par les fonctions génératrices

Édité le 29-08-2023

	$\| G_{X} (t) - G_{Y} (t) \|$	$= G_{X} (t) - G_{Y} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (P (X = n) - P (Y = n)) t^{n}$
		$\leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} P ((X = n) \cap (Y \neq n)) t^{n} \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} P ((X = n) \cap (Y \neq n)) .$

Fonctions génératrices