[<] Inégalités de concentration [>] Calcul d'espérance par les fonctions génératrices

 
Exercice 1  4114  Correction  

Une urne contient 4 boules rapportant 0,1,1,2 points. On y effectue n tirages avec remise et l’on note S le score total obtenu.
Déterminer la fonction génératrice de S et en déduire la loi de S.

Solution

Notons X1,,Xn les variables aléatoires fournissant les points obtenus lors des tirages.
Les variables Xi suivent la même loi de fonction génératrice

GX(t)=14+24t+14t2=(1+t2)2.

Puisque S=X1++Xn avec X1,,Xn mutuellement indépendantes on a

GS(t)=GX1(t)GXn(t)=(GX(t))n=(1+t2)2n.

En développant la somme

GS(t)=122nk=02n(2nk)tk.

Ceci détermine la loi de S:

k0;2n,P(S=k)=122n(2nk)

S suit une loi binomiale de paramètre 2n et 1/2: cela s’explique aisément car l’expérience de chaque tirage peut être modélisée par deux tirages successifs d’une pièce équilibrée.

 
Exercice 2  4371  
  • (a)

    Calculer la fonction génératrice d’une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre λ>0.

  • (b)

    À l’aide de leurs fonctions génératrices, déterminer la loi suivie par la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres λ et μ strictement positifs.

 
Exercice 3  5413    MINES (MP)Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans indépendantes. On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre λ>0.

Montrer que Y suit une loi de Poisson de paramètre μ>0 si, et seulement si, X+Y suit une loi de Poisson de paramètre λ+μ.

Solution

Rappellons que la fonction génératrice d’une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre λ>0 est

GX(t)=eλ(t-1)

Si X et Y suivent des lois de Poisson de paramètres λ et μ alors, par indépendance,

GX+Y(t)=GX(t)GY(t)=eλ(t-1)eμ(t-1)=e(λ+μ)(t-1)

Ainsi, X+Y suit une loi de Poisson de paramètre λ+μ.

Inversement, supposons que X+Y suive un loi de Poisson de paramètre λ+μ. On a

GX+Y(t)=GX(t)GY(t)=eλ(t-1)GY(t)=e(λ+μ)(t-1)

donc

GY(t)=eμ(t-1)

Ainsi, Y suit une loi de Poisson de paramètre μ.

 
Exercice 4  5347  Correction  
  • (a)

    Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans .

    On suppose que les fonctions génératrices de X et Y sont égales sur [-1;1]. Justifier que X et Y suivent la même loi.

  • (b)

    Application: Soient n* et p]0;1[.

    Par les fonctions génératrices, déterminer la loi de la somme de n* variables mutuellement indépendantes suivant chacune une même loi de Bernoulli de paramètre p[0;1].

Solution

  • (a)

    L’unicité des coefficients d’un développement en série entière donne

    P(X=n)=P(Y=n)pour tout nN.
  • (b)

    Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors GX(t)=(1-p)+pt pour tout t.

    Si X1,,Xn sont mutuellement indépendantes de même loi que X alors

    GX1++Xn(t)=(GX(t))n=((1-p)+pt)npour tout t.

    On reconnaît la fonction génératrice d’une loi binomiale de paramètres n et p (et la fonction génératrice suffit à caractériser la loi).

 
Exercice 5  5366  Correction  

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans .

Pour t réel convenable, on pose

GX(t)=n=0+P(X=n)tn
  • (a)

    Montrer que la fonction GX est définie et continue sur [-1;1].

  • (b)

    Justifier que la fonction GX est croissante et convexe sur [0;1].

Solution

  • (a)

    Posons un(t)=P(X=n)tn pour t[-1;1]. On remarque

    |un(t)|=P(X=n)|t|nP(X=n)pour tout t[-1;1]

    Puisque la série P(X=n) converge (et est de somme 1), la série de fonctions un converge normalement sur [-1;1]. De plus, les fonctions un sont continues et l’on peut donc affirmer que la fonction somme GX est définie et continue sur [-1;1].

  • (b)

    Les fonctions un sont croissantes et convexes sur [0;1] donc la somme GX l’est aussi (par convergence simple).

 
Exercice 6  5111  

Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans de fonction génératrice GX. On étudie l’événement A=« X est un entier pair  ».

  • (a)

    Identifier la loi de la variable Y=12(1+(-1)X).

  • (b)

    Exprimer P(A) en fonction de GX(-1).

  • (c)

    Application: Calculer P(A) lorsque X suit une loi de Poisson de paramètre λ>0.

 
Exercice 7  4044   

Deux joueurs lancent chacun deux dés équilibrés et l’on veut calculer la probabilité que les sommes des deux jets soient égales. On note X1 et X2 les variables aléatoires déterminant les valeurs des dés lancés par le premier joueur et Y1 et Y2 celles associées au deuxième joueur.

  • (a)

    Montrer que P(X1+X2=Y1+Y2)=P(14+X1+X2-Y1-Y2=14).

  • (b)

    Déterminer la fonction génératrice de la variable Z=14+X1+X2-Y1-Y2.

  • (c)

    En déduire la valeur de P(X1+X2=Y1+Y2).

 
Exercice 8  4194   Correction  

Montrer par les fonctions génératrices qu’il est impossible de «  truquer  » deux dés cubiques et indépendants pour que la somme d’un lancer suive une loi uniforme sur 2;12

Solution

La fonction génératrice d’une variable Y suivant une loi uniforme sur 2;12 est la fonction polynomiale

GY(t)=112(t2+t3++t12).

Notons GX1 et GX2 les fonctions génératices de chacun des dés.

GX1(t)=(p1t+p2t2++p6t6) et GX2(t)=(q1t+q2t2++q6t6).

La fonction génératrice de la somme X1+X2 est donnée par

GX1+X2(t)=GX1(t)×GX2(t)=t2(p1+p2t++p6t5)(q1+q2t++q6t5).

Pour que GY=GX1GX2, il faut p1q1>0 et p6q6>0 auquel cas les facteurs de degré 5 possèdent chacune une racine réelle non nulle. Cependant

GY(t)=112t21-t111-t

n’en possède pas!

 
Exercice 9  4051   

Soit (Xn)n* une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi de Bernoulli de paramètre p]0;1[. Soit aussi N une variable aléatoire à valeurs dans indépendante des précédentes. On considère les variables aléatoires

X=k=1NXketY=k=1N(1-Xk).
  • (a)

    Pour t et u dans [-1;1], exprimer à l’aide de la fonction génératrice de N l’expression

    G(t,u)=E(tXuY).
  • (b)

    On suppose que N suit une loi de Poisson. Montrer que les variables X et Y sont indépendantes.

  • (c)

    Inversement, on suppose que les variables X et Y sont indépendantes. Montrer que N suit une loi de Poisson.

 
Exercice 10  4206    

Soient A et B deux événements indépendants d’un espace probabilisé (Ω,𝒯,P) et la variable aléatoire Z=𝟏A+𝟏B.

Montrer que, parmi les événements (Z=0), (Z=1) et (Z=2), il y en a au moins un de probabilité supérieure à 4/9.

 
Exercice 11  4376    

(Loi de Pascal)

Soit (Xn)n1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi de Bernoulli de paramètre p]0;1[.

Pour r*, on définit une variable aléatoire Tr à valeurs dans *{+} en posant

Tr=min({n*|X1++Xn=r}{+}).

La variable Tr se comprend comme le temps d’attente du r-ième succès11 1 Cette variable est directement liée à la variable X du sujet 4085: Tr=X+r..

  • (a)

    Pour n*, calculer P(Tr=n).

  • (b)

    Montrer que l’événement (Tr=+) est négligeable.

  • (c)

    Soient Y1,,Yr des variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi géométrique de paramètre p. Montrer que Y1++Yr et Tr suivent la même loi.

  • (d)

    En déduire l’espérance et la variance de Tr.

 
Exercice 12  5371    Correction  

Soit (Ω,𝒯,P) un espace probabilisé.

  • (a)

    Montrer que si A et B sont deux événements Ω alors

    |P(A)-P(B)|P(AB¯)+P(A¯B).
  • (b)

    Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans . Établir

    |GX(t)-GY(t)|2P(XY)pour tout t[-1;1].

Soient (Xn)n une suites variables aléatoires à valeurs dans et définies sur Ω. On suppose que pour tout ωΩ, la suite (Xn(ω)) est constante à partir d’un certain rang et l’on note X(ω) la valeur de cette constante.

  • (c)

    Vérifier que X définit une variable alétoire sur Ω à valeurs dans .

  • (d)

    Montrer que la suite des fonctions GXn converge uniformément vers GX sur [-1;1].

Solution

  • (a)

    Quitte à échanger, on peut supposer P(A)P(B). On écrit

    A=AΩ=A(BB¯)=(AB)(AB¯).

    Par incompatibilité puis croissance,

    P(A)=P(AB)+P(AB¯)P(B)+P(AB¯).

    Ainsi,

    |P(A)-P(B)|=P(A)-P(B)P(AB¯)P(AB¯)+P(A¯B).
  • (b)

    Soit t[-1;1].

    |GX(t)-GY(t)|=|n=0+(P(X=n)-P(Y=n))tn|n=0+|P(X=n)-P(Y=n)|.

    Par le résultat qui précède,

    |P(X=n)-P(Y=n)|P(X=nYn)+P(Y=n,Xn).

    Or

    P(XY)=n=0+P(X=n,XY)=n=0+P(X=n,Yn)=n=0+P(Y=n,Xn).

    Ainsi,

    |GX(t)-GY(t)|2P(XY).
  • (c)

    Méthode: X définit une application de Ω vers l’ensemble dénombrable . Pour vérifier qu’il s’agit d’une variable aléatoire discrète, il reste à observer que, pour tout k, (X=k) désigne un événement.

    Soit k. Pour ωΩ,

    X(ω)=kN,nN,Xn(ω)=k.

    On en déduit

    (X=k)=NnN(Xn=k).

    Par opérations dans la tribu 𝒯 (rappelons que les (Xn=k) sont des événements), on peut affirmer que (X=k)𝒯.

  • (d)

    Soit t[-1;1]. Pour n,

    |GXn(t)-GX(t)|2P(XnX)

    et donc

    supt[-1;1]|GXn(t)-GX(t)|2P(XnX).

    Or

    Ω=NAN avec AN=nN(Xn=X)

    car, pour chaque ωΩ, la suite (Xn(ω)) est constante égale à X(ω) à partir d’un certain rang. Puisque les événements An forment une suite croissante, on a par continuité monotone

    P(An)n+P(Ω)=1.

    Or

    (XnX)An¯

    et donc

    0P(XnX)1-P(An)n+0.

    On peut alors conclure à la convergence uniforme sur [-1;1] de la suite de fonctions GXn vers GX.

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Édité le 08-11-2019

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