[<] Règle de d'Alembert [>] Calcul de somme

 
Exercice 1  2376   

Soit (un)n1 une suite de réels strictement positifs vérifiant

un+1un=n+1-αn+O(1n2) avec α.
  • (a)

    Justifier qu’il existe un réel A>0 pour lequel

    unn+Anα.
  • (b)

    Étudier la convergence de la série (-1)nun.

 
Exercice 2  4643   

(Règle de Raabe-Duhamel)

Soient (un) et (vn) deux suites de réels strictement positifs.

  • (a)

    On suppose qu’à partir d’un certain rang

    un+1unvn+1vn.

    Montrer que la suite (un) est dominée par la suite (vn).

  • (b)

    On suppose qu’il existe α>1 tel que

    un+1un=n+1-αn+o(1n).

    À l’aide d’une comparaison à une série de Riemann, montrer la convergence de la série un.

  • (c)

    On suppose maintenant qu’il existe α<1 tel que

    un+1un=n+1-αn+o(1n).

    Montrer la divergence de série un.

  • (d)

    Application: Soit a. Étudier la convergence absolue de la série de terme général

    un=a(a-1)(a-n+1)n!.

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Édité le 08-11-2019

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