[<] Emploi de la constante d'Euler [>] Comportement asymptotique de sommes
Selon la valeur du paramètre réel , déterminer la nature de la série
Pour , soit
Soit . Montrer qu’il existe un unique réel, noté tel que .
Déterminer un équivalent de quand .
Solution
La fonction est continue, strictement décroissante et de limites et en et . On en déduit que réalise une bijection de vers . Ainsi, pour tout , il existe un unique vérifiant .
On a
Pour ,
et par suite
Aussi
Pour , et par suite
On en déduit
Soit continue, positive et croissante.
Établir que les objets suivants ont même nature
Solution
La fonction est décroissante et positive donc, par théorème de comparaison série-intégrale, l’intégrale et la série ont même nature.
Par le changement de variable bijectif , l’intégrale à même nature que .
La fonction est décroissante et positive donc, par théorème de comparaison série-intégrale, l’intégrale et la série ont même nature.
Soit une fonction strictement positive, de classe dont la dérivée est décroissante et de limite nulle en . Montrer que les séries
sont de même nature.
Soit une fonction décroissante, continue et intégrable sur .
Montrer que tend vers en .
Soient et . Établir
Montrer que la série de terme général converge puis que
Solution
Puisque la fonction est décroissante, elle admet une limite en . Cette limite est nécessairement nulle car sinon ne serait pas intégrable sur .
Puisque est décroissante, on a pour tout
En sommant ces relations pour , on obtient l’encadrement voulu.
Pour , on peut écrire
La fonction est positive car décroissante et de limite nulle. La série est une série à termes aux sommes partielles majorées, c’est donc une série convergente. Au surplus, en passant à la limite quand l’encadrement de la question précédente, il vient
et donc
On en déduit
Soit une fonction de classe dont la dérivée est décroissante et de limite nulle.
Soit . Établir
En déduire que11 1 compare une intégrale à l’approximation de celle-ci obtenue par la méthode des trapèzes.
admet une limite finie lorsque tend vers .
Application : On considère la fonction . Employer ce qui précède pour établir22 2 Pour résoudre cette question, on ne s’autorise pas l’emploi de la formule de Stirling. la convergence de la suite de terme général
Soit une fonction de classe . On suppose qu’il existe vérifiant11 1 Au chapitre suivant, on dira simplement que est intégrable sur . On peut noter que cette hypothèse est satisfaite lorsque est monotone et admet une limite finie en .
Montrer
Application : Déterminer la nature de la série
Soit une fonction de classe pour laquelle il existe vérifiant11 1 Au chapitre suivant, on dira simplement que est intégrable sur .
Montrer
En admettant la convergence22 2 Il s’agit de l’intégrale de Dirichlet (voir le sujet 2383). de , étudier la convergence de la série
Soit, pour ,
Déterminer la nature la série de terme général
Déterminer la nature de la série de terme général .
On pourra montrer que n’admet pas de limite quand .
Déterminer la nature de la série de terme général
Solution
Une comparaison série-intégrale est inadaptée, n’est pas monotone comme en témoigne ses changements de signe. En revanche,
Or, par le théorème des accroissements fini,
avec . Après calcul de , on en déduit
puis
La série de terme général diverge car
En effet, si convergeait vers alors par extraction aussi et il est classique d’établir la divergence de la suite . On en déduit que diverge.
Il suffit de reprendre la même étude pour parvenir à la même conclusion.
Étudier
Solution
On remarque
avec .
La fonction est décroissante en tant que produit de deux fonctions décroissantes positives. Par suite,
En sommant et en exploitant l’intégrabilité de au voisinage de ,
Or
Par encadrement,
Déterminer
Solution
Posons
On a
Par comparaison série-intégrale,
Or
et donc
On en déduit
puis
[<] Emploi de la constante d'Euler [>] Comportement asymptotique de sommes
Édité le 29-08-2023
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