[<] Emploi de la constante d'Euler [>] Comportement asymptotique de sommes

 
Exercice 1  5220  

Selon la valeur du paramètre réel α, déterminer la nature de la série

1n(ln(n))α.
 
Exercice 2  3045     X (MP)Correction  

Pour n*, soit

fn:x]n;+[k=1n1x-k.

Soit a>0. Montrer qu’il existe un unique réel, noté xn tel que fn(xn)=a.
Déterminer un équivalent de xn quand n+.

Solution

La fonction fn est continue, strictement décroissante et de limites + et 0 en n et +. On en déduit que fn réalise une bijection de ]n;+[ vers ]0;+[. Ainsi, pour tout a>0, il existe un unique xn>n vérifiant fn(xn)=a.
On a

fn(n+1+y)=k=1n1n+1+y-k=k=1n1k+yk=1nk-1kdtt+y=0ndtt+y=ln(1+ny).

Pour y=nea-1,

f(n+1+y)ln(1+(ea-1))=a

et par suite

xnn+1+nea-1.

Aussi

f(n+y)=k=0n-11y+k0ndtt+y=ln(1+ny).

Pour y=nea-1, f(n+y)a et par suite

xnn+nea-1.

On en déduit

xnn+n+nea-1=eanea-1.
 
Exercice 3  4069   Correction  

Soit f:[0;+[ continue, positive et croissante.
Établir que les objets suivants ont même nature

0+f(e-t)dt,f(e-n)et1nf(1n).

Solution

La fonction tf(e-t) est décroissante et positive donc, par théorème de comparaison série intégrale, l’intégrale 0+f(e-t)dt et la série f(e-n) ont même nature.
Par le changement de variable 𝒞1 bijectif u=et, l’intégrale 0+f(e-t)dt à même nature que 1+1uf(1u)du.
La fonction u1uf(1u) est décroissante et positive donc, par théorème de comparaison série intégrale, l’intégrale 1+1uf(1u)du et la série 1nf(1n) ont même nature.

 
Exercice 4  5038   

Soit f:[1;+[ une fonction strictement positive, de classe 𝒞1 dont la dérivée est décroissante et de limite nulle en +. Montrer que les séries

f(n)etf(n)f(n)

sont de même nature.

 
Exercice 5  5039    

Soit f:[1;+[ une fonction de classe 𝒞1 dont la dérivée est décroissante et de limite nulle.

  • (a)

    Soit k*. Établir

    0kk+1f(t)dt-12(f(k)+f(k+1))18(f(k)-f(k+1)).
  • (b)

    En déduire que11 1 Sn compare une intégrale à l’approximation de celle-ci obtenue par la méthode des trapèzes.

    Sn=1nf(t)dt-(12f(1)+f(2)++f(n-1)+12f(n))

    admet une limite finie lorsque n tend vers +.

  • (c)

    Application: On considère la fonction f:xln(x). Employer ce qui précède pour établir22 2 Pour résoudre cette question, on ne s’autorise pas l’emploi de la formule de Stirling. la convergence de la suite de terme général

    σn=ln(n!)-(n+12)ln(n)+n.
 
Exercice 6  5042    

Soit f:[1;+[ une fonction de classe 𝒞1. On suppose qu’il existe M+ vérifiant11 1 Au chapitre suivant, on dira simplement que f est intégrable sur [1;+[. On peut noter que cette hypothèse est satisfaite lorsque f est monotone et admet une limite finie en +.

1x|f(t)|dtM pour tout x1.
  • (a)

    Montrer

    f(n) converge(1nf(t)dt)n* converge.
  • (b)

    Application: Déterminer la nature de la série

    sin(ln(n))n.
 
Exercice 7  3449    

Soit f:[1;+[ une fonction de classe 𝒞1. On suppose qu’il existe M+ vérifiant11 1 Au chapitre suivant, on dira simplement que f est intégrable sur [1;+[., pour tout x1,

1x|f(t)|dtM.
  • (a)

    Montrer

    f(n) converge(1nf(t)dt) converge.
  • (b)

    Étudier la convergence de la série

    n1sin(n)n.
 
Exercice 8  2434     CENTRALE (MP)Correction  

Soit, pour x,

f(x)=cos(x1/3)x2/3.
  • (a)

    Déterminer la nature la série de terme général

    un=nn+1f(x)dx-f(n).
  • (b)

    Déterminer la nature de la série de terme général f(n).

    On pourra montrer que sin(n1/3) n’admet pas de limite quand n+.

  • (c)

    Déterminer la nature de la série de terme général

    sin(n1/3)n2/3.

Solution

  • (a)

    Une comparaison série-intégrale est inadaptée, f n’est pas monotone comme en témoigne ses changements de signe. En revanche,

    un=nn+1f(x)-f(n)dx.

    Or, par le théorème des accroissements fini,

    f(x)-f(n)=f(cx)(x-n)

    avec cx]n;x[. Après calcul de f(x), on en déduit

    |f(x)-f(n)|13n4/3+23n5/3

    puis

    un=n+O(1n4/3).
  • (b)

    La série de terme général nn+1f(t)dt diverge car

    0nf(t)dt=3sin(n1/3)diverge

    En effet, si sin(n1/3) convergeait vers alors par extraction sin(n) aussi et il est classique d’établir la divergence de la suite (sin(n)). On en déduit que cos(n1/3)n2/3 diverge.

  • (c)

    Il suffit de reprendre la même étude pour parvenir à la même conclusion.

 
Exercice 9  3086      X (MP)Correction  

Étudier

limn+nk=n+(1k2enk).

Solution

On remarque

nk=n+(1k2enk)=1nk=n+φ(kn)

avec φ:x1x2e1/x.

La fonction φ est décroissante en tant que produit de deux fonctions décroissantes positives. Par suite,

k/n(k+1)/nφ(t)dt1nφ(kn)(k-1)/nk/nφ(t)dt.

En sommant et en exploitant l’intégrabilité de φ au voisinage de +,

1+1t2e1/tdtk=n+1nφ(kn)(n-1)/n+1t2e1/tdt.

Or

1+1t2e1tdt=[-e1/t]1+=e-1 et (n-1)/n+1t2e1tdt=[-e1/t](n-1)/n+n+e-1.

Par encadrement,

limn+nk=n+(1k2enk)=e-1.
 
Exercice 10  3882     MINES (MP)Correction  

Déterminer

limn+1nk=1n(3k-1)1/n.

Solution

Posons

Pn=1nk=1n(3k-1)1/n>0.

On a

ln(Pn)=1nk=1nln(3k-1)-ln(n).

Par comparaison série-intégrale,

ln(2)+1nln(3t-1)dtk=1nln(3k-1)1n+1ln(3t-1)dt.

Or

1nln(3t-1)dt=3n-13ln(3n-1)-n+C=n+nln(n)+(ln(3)-1)n+O(ln(n))

et donc

k=1nln(3k-1)=n+nln(n)+(ln(3)-1)n+O(ln(n)).

On en déduit

ln(Pn)n+ln(3)-1

puis

Pnn+3e.

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Édité le 08-11-2019

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