[<] Emploi du critère spécial [>] Règle de d'Alembert

 
Exercice 1  4644   

Soient θ et (Sn) la suite de terme général Sn=k=0nsin(kθ).

  • (a)

    Vérifier que la suite (Sn) est bornée.

  • (b)

    Soit N un entier supérieur à 2. Justifier la relation suivante

    n=1Nsin(nθ)n=n=1N-1Snn(n+1)+SNN.
  • (c)

    En déduire la convergence de la série

    n1sin(nθ)n.
 
Exercice 2  2352     ENSTIM (MP)Correction  

Soit θ non multiple de 2π. On pose

Sn=k=0ncos(kθ)etun=cos(nθ)n.
  • (a)

    Montrer que la suite (Sn)n est bornée.

  • (b)

    En observant que cos(nθ)=Sn-Sn-1 pour tout n*, établir que la série de terme général un converge.

  • (c)

    En exploitant l’inégalité |cos(x)|cos2(x), établir que la série de terme général |un| diverge.

Solution

  • (a)

    Par sommation géométrique

    Sn=Re(k=0neikθ)=Re(ei(n+1)θ-1eiθ-1)

    donc

    |Sn||ei(n+1)θ-1eiθ-1|2|eiθ-1|.
  • (b)

    On a

    n=1Nun=n=1NSnn-n=0N-1Snn+1=n=1NSnn(n+1)-S0+SNN+1.

    Or

    SNN+10 et 

    Snn(n+1)=O(1n2) donc la suite des sommes partielles de la série de terme général un converge.

  • (c)

    On a

    |cos(x)|cos2(x)=cos(2x)+12

    donc

    |un|cos(2nθ)2n+12n.

    Si θ=0[π] alors |un|1n et donc |un| diverge.
    Si θ0[π] alors par ce qui précède la série cos(2nθ)n converge et puisque la série de terme général 1n diverge, par opérations, la série de terme général |un| diverge.

 
Exercice 3  1041   Correction  

Soient (an) une suite positive décroissante de limite nulle et (Sn) une suite bornée.

  • (a)

    Montrer que la série (an-an+1)Sn est convergente.

  • (b)

    En déduire que la série an(Sn-Sn-1) est convergente.

  • (c)

    Établir que pour tout x2π, la série cos(nx)n est convergente.

Solution

  • (a)

    (an-an+1)Sn=O(an-an+1) et la série à termes positifs an-an+1 est convergente.

  • (b)

    En séparant la somme en deux et en décalant les indices

    k=0n(ak-ak+1)Sk=k=0nakSk-k=1n+1akSk-1

    puis en regroupant

    k=0n(ak-ak+1)Sk=a0S0+k=1nak(Sk-Sk-1)-an+1Sn

    avec an+1Sn0.
    Par suite, an(Sn-Sn-1) est convergente.

  • (c)

    On applique le résultat précédent à an=1/n et Sn=k=0ncos(kx). (Sn) est bien bornée car

    Sn=Re(k=0neikx)=cos(nx)sin((n+1)x/2)sin(x/2).
 
Exercice 4  2582     CCP (MP)Correction  

Pour n*, on pose

Sn=k=1ncos(kθ).
  • (a)

    Montrer l’existence, pour θ]0;π[, d’un réel Mθ vérifiant

    |Sn|Mθpour tout n*
  • (b)

    Montrer que xxx-1 est décroissante sur [2;+[.

  • (c)

    En remarquant de cos(nθ)=Sn-Sn-1, étudier la convergence de la série de terme général

    un=nn-1cos(nθ).
  • (d)

    En utilisant |cos(kθ)|cos2(kθ), étudier la convergence de |un|.

Solution

On a

Sn=Re(k=1neikθ)=Re(eiθeinθ-1eiθ-1)

donc

|Sn|2|eiθ-1|=Mθ.

Posons f(x)=xx-1.

f(x)=12(x-1)-xx(x-1)2=-12(x+1)x(x-1)20

donc f est décroissante sur [2;+[.
un=f(n)cos(nθ)=f(n)(Sn-Sn-1) donc

n=2Nun=n=2Nf(n)Sn-n=1N-1f(n+1)Sn=n=2N(f(n)-f(n+1))Sn+f(N+1)SN-f(2)S1.

Or f(N+1)SNN+0 car SN=O(1) et f+0.
De plus,

|(f(n)-f(n+1))Sn|Mθ(f(n)-f(n+1))

avec f(n)-f(n+1) série convergente (car f converge en +) donc par comparaison (f(n)-f(n+1))Sn est absolument convergente.
Ainsi par opérations, (n=2Nun)N2 converge et donc un converge.
On a

|un|=nn-1|cos(nθ)|nn-1cos2(nθ).

Or cos(2a)=2cos2(a)-1 donc cos2(a)12cos(2a)+1 puis

|un|12nn-1cos(2nθ)+12nn-1.

En reprenant l’étude qui précède avec 2θ au lieu de θ, on peut affirmer que

12nn-1cos(2nθ)

converge tandis que n2(n-1) diverge puisque 12nn-112n.
Par comparaison, on peut affirmer que |un| diverge.

 
Exercice 5  3879     MINES (MP)Correction  

On donne une suite réelle (an).
On suppose que les séries an et |an+1-an| convergent. Montrer que la série an2 converge.

Solution

Posons

Sn=k=1nak.

On peut écrire

k=1nak2=k=1nak(Sk-Sk-1).

En séparant la somme en deux et en reprenant l’indexation de la deuxième somme

k=1nak2=k=1nakSk-k=0n-1ak+1Sk

ce qui donne (sachant S0=0)

k=1nak2=k=1n(ak-ak+1)Sk+an+1Sn.

La suite (Sn) converge, elle est donc bornée par un certain réel M.
D’une part an0 et donc an+1Sn0.
D’autre part |(ak-ak+1)Sk|M|ak-ak+1| et donc la série (an-an+1)Sn converge absolument.
Par addition de convergence, on peut conclure que la série an2 converge.

 
Exercice 6  1042    Correction  

Soit zn le terme général d’une série complexe convergente. Établir la convergence de la série

n1znn.

Solution

Posons

Sn=k=1nzk.

On a

n=1Nznn=n=1NSn-Sn-1n=n=1NSnn-n=0N-1Snn+1

donc

n=1Nznn=n=1NSnn(n+1)+SNN+1.

Or SNN+10 car (SN) converge et Snn(n+1)=O(1n2) est le terme général d’une série absolument convergente. On peut conclure que la série n1znn converge.

 
Exercice 7  3684    

Soit zn le terme général d’une série complexe convergente. Établir

k=n+1+zkk=n+o(1n).
 
Exercice 8  3685    Correction  

Soit (an) une suite complexe. On suppose que la série ann diverge.
Établir que pour tout α]-;1], la série annα diverge aussi.

Solution

Le cas α=1 est entendu. Étudions α]-;1[.
Par l’absurde, supposons la convergence de annα et introduisons

Sn=k=1nakkα

de sorte que Sn-Sn-1=an/nα.
On peut écrire

k=1nakk=k=1nSk-Sk-1k1-α=k=1nSkk1-α-k=0n-1Sk(k+1)α

puis

k=1nakk=k=1nSk(1k1-α-1(k+1)1-α)+Sn(n+1)1-α.

La suite (Sn) est bornée car convergente et

k=1n(1k1-α-1(k+1)1-α)=1-1(n+1)1-α1

il y a donc absolue convergence de la série

Sn(1n1-α-1(n+1)1-α)

et l’on en déduit la convergence de ann.
C’est absurde.

 
Exercice 9  1028   Correction  

Soit (un)n1 une suite décroissante de réels strictement positifs.

  • (a)

    On suppose que un converge. Montrer que la série de terme général vn=n(un-un+1) converge et

    n=1+vn=n=1+un.
  • (b)

    Réciproquement, on suppose que la série de terme général n(un-un+1) converge. Montrer que la série de terme général un converge si, et seulement si, la suite (un) converge vers 0.

  • (c)

    Donner un exemple de suite (un) qui ne converge pas vers 0, alors que la série de terme général n(un-un+1) converge.

Solution

  • (a)

    On peut écrire

    k=1nvk=k=1nkuk-k=2n+1(k-1)uk=k=1nuk-nun+1(*).

    Montrons que la convergence de un entraîne que nun0.
    Posons Sn les sommes partielles de un.
    Par la décroissance de un, on a 0nu2nS2n-Sn.
    Par suite, nu2n0 et aussi 2nu2n0.
    De façon semblable, on obtient nu2n+10 puis (2n+1)u2n+10.
    Ainsi nun0 et donc

    k=1nvkn+k=1+uk.
  • (b)

    Supposons que la série de terme général vn converge.
    Si la série de terme général un converge alors un0.
    Inversement, supposons que un0. On peut écrire

    un=k=n+(uk-uk+1)k=n+vkk.

    On a alors

    0nunk=n+nkvkk=n+vk.

    Puisque la série des vn converge,

    k=n+vk0 puis nun0.

    La relation (*) entraîne alors la convergence de un.

  • (c)

    un=1 convient, où si l’on veut une suite non constante, un=1+1n2

 
Exercice 10  3673      X (MP)

Soit (un)n1 une suite décroissante de réels de limite nulle.
Montrer que les séries un et n(un-un+1) sont de même nature et que leurs sommes sont égales en cas de convergence.

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Édité le 08-11-2019

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