[<] Séries dépendant d'un paramètre et de signe non constant [>] Règle de d'Alembert
Soient et la suite de terme général .
Vérifier que la suite est bornée.
Soit un entier supérieur à . Justifier la relation suivante
En déduire la convergence de la série
Soit . Pour , on pose
Vérifier que la suite est bornée.
Montrer que pour tout ,
En déduire la nature de la série
En remarquant , montrer la divergence de
Solution
Posons
Par sommation géométrique de raison ,
donc
On a
On a
La série est absolument convergente et, par opérations sur les limites, la suite des sommes partielles de la série de terme général converge.
On a
donc
Si alors et la série diverge.
Si alors par ce qui précède la série converge et puisque la série de terme général diverge, par opérations, la série de terme général diverge.
Si , avec ce qui ramène au cas précédent.
Soient une suite positive décroissante de limite nulle et une suite bornée.
Montrer que la série est convergente.
En déduire que la série est convergente.
Établir que pour tout , la série est convergente.
Solution
et la série à termes positifs est convergente.
En séparant la somme en deux et en décalant les indices
puis en regroupant
avec .
Par suite, est convergente.
On applique le résultat précédent à et . est bien bornée car
Pour , on pose
Montrer l’existence, pour , d’un réel vérifiant
Montrer que est décroissante sur .
En remarquant de , étudier la convergence de la série de terme général
En utilisant , donner la nature de .
Solution
On a
donc
Posons .
donc est décroissante sur .
donc
Or car et .
De plus,
avec série convergente (car converge en ) donc par comparaison est absolument convergente.
Ainsi par opérations, converge et donc converge.
On a
Or donc puis
En reprenant l’étude qui précède avec au lieu de , on peut affirmer que
converge tandis que diverge puisque .
Par comparaison, on peut affirmer que diverge.
On donne une suite réelle .
On suppose que les séries et convergent. Montrer que la série converge.
Solution
Pour , posons
On peut écrire
En séparant la somme en deux et en reprenant l’indexation de la deuxième somme
ce qui donne (sachant )
La suite converge, elle est donc bornée par un certain réel .
D’une part, est de limite nulle et donc
D’autre part,
et donc la série converge absolument.
Par addition de séries convergentes, on peut conclure que la série converge.
Soit le terme général d’une série complexe convergente. Établir la convergence de la série
Solution
Posons
On a
donc
Or car converge et est le terme général d’une série absolument convergente. On peut conclure que la série converge.
Soit le terme général d’une série complexe convergente. Établir
Soit une suite complexe. On suppose que la série diverge.
Établir que pour tout , la série diverge aussi.
Solution
Le cas est entendu. Étudions .
Par l’absurde, supposons la convergence de et introduisons
de sorte que .
On peut écrire
puis
La suite est bornée car convergente et
il y a donc absolue convergence de la série
et l’on en déduit la convergence de .
C’est absurde.
Soit une suite décroissante de réels strictement positifs.
On suppose que converge. Montrer que la série de terme général converge et
Réciproquement, on suppose que la série de terme général converge. Montrer que la série de terme général converge si, et seulement si, la suite converge vers .
Donner un exemple de suite qui ne converge pas vers 0, alors que la série de terme général converge.
Solution
On peut écrire
Montrons que la convergence de entraîne que .
Posons les sommes partielles de .
Par la décroissance de , on a .
Par suite, et aussi .
De façon semblable, on obtient puis .
Ainsi et donc
Supposons que la série de terme général converge.
Si la série de terme général converge alors .
Inversement, supposons que . On peut écrire
On a alors
Puisque la série des converge,
La relation (*) entraîne alors la convergence de .
convient, où si l’on veut une suite non constante,
Soit une suite décroissante de réels de limite nulle.
Montrer que les séries et sont de même nature et que leurs sommes sont égales en cas de convergence.
[<] Séries dépendant d'un paramètre et de signe non constant [>] Règle de d'Alembert
Édité le 20-09-2024
Bootstrap 3
-
LaTeXML
-
Powered by MathJax