• (a)

  Cas: $\mathrm{\ell }=0$. Soit $\epsilon >0$, il existe $n_0\in \mathbb{N}$ tel que

  $$\forall n>n_0,|u_n|⩽\epsilon /2\text{.}$$

  On a alors

  $$|v_n|⩽\left|\frac{u_1+\mathrm{\cdots }+n_0{u}_{n_0}}{n^2}\right|+\left|\frac{(n_0+1)u_{n_0+1}+\mathrm{\cdots }+n{u}_n}{n^2}\right|⩽\frac{C^{te}}{n^2}+\frac{\epsilon }{2}⩽\epsilon$$

  pour $n$ assez grand. Ainsi,

  $$v_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

  Cas général: $u_n=\mathrm{\ell }+w_n$ avec $(w_n)$ de limite nulle:

  $$v_n=\frac{n(n+1)}{2n^2}\mathrm{\ell }+\frac{w_1+\mathrm{\cdots }+n{w}_n}{n^2}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\frac{\mathrm{\ell }}{2}\text{.}$$

• (b)

  On peut écrire

  $$\frac{u_n}{n^2}=\frac{(u_n-u_{n-1})+\mathrm{\cdots }+(u_1-u_0)}{n^2}+\frac{u_0}{n^2}$$

  donc

  $$\frac{u_n}{n^2}=\frac{n\frac{(u_n-u_{n-1})}{n}+\mathrm{\cdots }+\frac{(u_1-u_0)}{1}}{n^2}+\frac{u_0}{n^2}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\frac{\mathrm{\ell }}{2}\text{.}$$

Notons $\mathrm{\ell }$ et ${\mathrm{\ell }}^{\prime }$ les limites des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ et montrons que $u_n$ tend vers $\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }$. Artificiellement, on écrit

$$a_k{b}_{n-k}-\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }=a_k{b}_{n-k}-a_k{\mathrm{\ell }}^{\prime }+a_k{\mathrm{\ell }}^{\prime }-\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }$$

de sorte que

$$u_n-\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{a}_k(b_{n-k}-{\mathrm{\ell }}^{\prime })+\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(a_k-\mathrm{\ell }){\mathrm{\ell }}^{\prime }\text{.}$$

D’une part, le théorème de Cesàro donne

$$\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(a_k-\mathrm{\ell }){\mathrm{\ell }}^{\prime }\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

D’autre part, en introduisant $M$ une borne¹¹ 1 Cela est possible car $(a_n)$ est convergente donc bornée. de la suite ${(a_n)}_{n\in \mathbb{N}}$

$$\left|\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{a}_k(b_{n-k}-{\mathrm{\ell }}^{\prime })\right|\le \frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^{n}M\left|b_{n-k}-{\mathrm{\ell }}^{\prime }\right|=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^{n}M\left|b_k-{\mathrm{\ell }}^{\prime }\right|\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$$

et donc

$$\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{a}_k(b_{n-k}-{\mathrm{\ell }}^{\prime })\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

Par opérations,

$$u_n-\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

• (a)

  Par l’absurde, supposons la convergence de la suite $(S_n)$. On sait alors que $\left(a_n^2\right)$ donc $(a_n)$ tendent vers $0$. On en déduit que $(a_n{S}_n)$ est de limite nulle ce qui est absurde.

  La suite $(S_n)$ étant croissante puisque suite des sommes partielles d’une série à termes positifs et étant divergente en vertu de ce qui précède, elle tend vers $+\mathrm{\infty }$. On en déduit

  $$a_n=\frac{a_n{S}_n}{S_n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{S_n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

• (b)

  Puisque $a_n^2=S_n-S_{n-1}$,

  $$\frac{S_{n-1}}{S_n}=1-\frac{a_n^2}{S_n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1\text{.}$$

  Aussi,

  	${\displaystyle {\int }_{S_{n-1}}^{S_n}}{t}^{2}dt$	$={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(S_n^3-S_{n-1}^3\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}(S_n-S_{n-1})\left(S_n^2+S_n{S}_{n-1}+S_{n-1}^2\right)$
  		$={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n^2\left(S_n^2+S_n{S}_{n-1}+S_{n-1}^2\right)={\displaystyle \frac{a_n^2{S}_n^2}{3}}\left(1+{\displaystyle \frac{S_{n-1}}{S_n}}+{\displaystyle \frac{S_{n-1}^2}{S_n^2}}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1\text{.}$

• (c)

  Par le théorème de Cesàro,

  $$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\int }_{S_{k-1}}^{S_k}{t}^{2}dt\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1\text{.}$$

  Or

  $$\sum _{k=1}^n{\int }_{S_{k-1}}^{S_k}{t}^{2}dt={\int }_0^{S_n}{t}^{2}dt=\frac{1}{3}{S}_n^3$$

  donc

  $$S_n^3\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }3n$$

  puis

  $$a_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{S_n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{\sqrt[3]{3n}}\text{.}$$