Exercice 1 4646

(Lemme de l’escalier)

Soit $(u_{n})$ une suite réelle telle que la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ tend vers $1$ .

Déterminer un équivalent de $u_{n}$ quand $n$ tend vers l’infini.

Exercice 2 307 Correction

Soit ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ une suite réelle convergeant vers $ℓ \in ℝ$ . On désire établir que la suite ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ de terme général

v_{n} = \frac{u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}}{n}

converge aussi vers $ℓ$ . Soit $ε > 0$ .

(a)

Justifier qu’il existe $n_{0} \in ℕ$ tel que pour tout $n \in ℕ$ , $n > n_{0}$ entraîne

$| u_{n} - ℓ | \leq ε / 2 .$
(b)

Établir que pour tout entier $n > n_{0}$ on a

$| v_{n} - ℓ | \leq \frac{| u_{1} - ℓ | + \dots + | u_{n_{0}} - ℓ |}{n} + \frac{n - n_{0}}{n} \frac{ε}{2} .$
(c)

En déduire qu’il existe $n_{1} \in ℕ$ tel que pour tout $n \in ℕ$ , $n > n_{1}$ entraîne

$| v_{n} - ℓ | \leq ε .$
(d)

Application : Soit $(u_{n})$ une suite réelle telle que $u_{n + 1} - u_{n} \to α \neq 0$ .
Donner un équivalent simple de $u_{n}$ .

Solution

Exercice 3 309 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite de réels strictement positifs.
On suppose

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ \in] 0; + \infty [.

Montrer

\sqrt[n]{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ .

Solution

On a $\ln (u_{n + 1}) - \ln (u_{n}) \to \ln (ℓ)$ donc, par le théorème de Cesàro,

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \ln (u_{k}) - \ln (u_{k - 1}) \to_{n \to + \infty}^{} \ln (ℓ)

d’où

\frac{1}{n} \ln (u_{n}) \to_{n \to + \infty}^{} \ln (ℓ)

puis

\sqrt[n]{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ .

Exercice 4 308 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

Solution

Exercice 5 5900 Correction

Soient $(a_{n})$ et $(b_{n})$ deux suites réelles convergentes.

Étudier la limite de la suite de terme général

u_{n} = \frac{a_{0} b_{n} + a_{1} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{0}}{n + 1} = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k} .

Solution

Notons $ℓ$ et $ℓ^{'}$ les limites des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ et montrons que $u_{n}$ tend vers $ℓ ℓ^{'}$ . Artificiellement, on écrit

a_{k} b_{n - k} - ℓ ℓ^{'} = a_{k} b_{n - k} - a_{k} ℓ^{'} + a_{k} ℓ^{'} - ℓ ℓ^{'}

de sorte que

u_{n} - ℓ ℓ^{'} = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (b_{n - k} - ℓ^{'}) + \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} (a_{k} - ℓ) ℓ^{'} .

D’une part, le théorème de Cesàro donne

\frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} (a_{k} - ℓ) ℓ^{'} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

D’autre part, en introduisant $M$ une borne¹¹ 1 Cela est possible car $(a_{n})$ est convergente donc bornée. de la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$

| \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (b_{n - k} - ℓ^{'}) | \leq \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} M | b_{n - k} - ℓ^{'} | = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} M | b_{k} - ℓ^{'} | \to_{n \to + \infty}^{} 0

et donc

\frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (b_{n - k} - ℓ^{'}) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Par opérations,

u_{n} - ℓ ℓ^{'} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 6 3850 MINES (MP)

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs convergente. On note $R_{n}$ son reste de rang $n$ et l’on suppose

u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} R_{n}^{2} .

Déterminer un équivalent de $u_{n}$ quand $n$ tend vers l’infini.

Édité le 08-12-2023

Théorème de Cesaro