[<] Comportement asymptotique de sommes [>] Séries dont le terme général est défini par récurrence

 
Exercice 1  4646  

(Lemme de l’escalier)

Soit (un) une suite réelle telle que un+1-un tend vers 1. Déterminer un équivalent de un quand n tend vers l’infini.

 
Exercice 2  307   Correction  

Soit (un)n1 une suite réelle convergeant vers . On désire établir que la suite (vn)n1 de terme général

vn=u1+u2++unn

converge aussi vers . Soit ε>0.

  • (a)

    Justifier qu’il existe n0 tel que pour tout n, n>n0 entraîne

    |un-|ε/2.
  • (b)

    Établir que pour tout entier n>n0 on a

    |vn-||u1-|++|un0-|n+n-n0nε2.
  • (c)

    En déduire qu’il existe n1 tel que pour tout n, n>n1 entraîne

    |vn-|ε.
  • (d)

    Application: Soit (un) une suite réelle telle que un+1-unα0.
    Donner un équivalent simple de un.

Solution

  • (a)

    C’est la convergence de un vers .

  • (b)

    On a

    |vn-|=1n|(u1-)++(un-)|

    et par l’inégalité triangulaire

    |vn-||u1-|++|un0-|n+|un0+1-|++|un-|n.

    On conclut en exploitant |uk-|ε2 pour k>n0.

  • (c)

    Quand n+,

    |u1-|++|un0-|n=Cten0

    donc pour n assez grand

    |u1-|++|un0-|nε2.

    Ainsi il existe un rang n1 au-delà duquel

    |vn-|ε2+n-n0nε2ε.
  • (d)

    On applique le résultat précédent à la suite de terme général un+1-un et l’on peut affirmer

    1nk=0n-1uk+1-ukα.

    Après télescopage

    1n(un-u0)α

    puis

    1nunα

    et enfin

    unαn.
 
Exercice 3  309   Correction  

Soit (un) une suite de réels strictement positifs.
On suppose

un+1unn+]0;+[.

Montrer

unn.

Solution

On a ln(un+1)-ln(un)ln() donc, par le théorème de Cesàro,

1nk=1nln(uk)-ln(uk-1)n+ln()

d’où

1nln(un)n+ln()

puis

unnn+.
 
Exercice 4  308   Correction  

Soit (un) une suite réelle.

  • (a)

    On suppose que (un) converge vers et l’on considère

    vn=u1+2u2++nunn2.

    Déterminer limn+vn.

  • (b)

    On suppose

    un-un-1nn+.

    Déterminer

    limn+unn2.

Solution

  • (a)

    Cas: =0. Soit ε>0, il existe n0 tel que

    n>n0,|un|ε/2.

    On a alors

    |vn||u1++n0un0n2|+|(n0+1)un0+1++nunn2|Cten2+ε2ε

    pour n assez grand.
    Ainsi vn0.
    Cas général: un=+wn avec ωn0:

    vn=n(n+1)2n2+w1++nwnn22.
  • (b)

    On peut écrire

    unn2=(un-un-1)++(u1-u0)n2+u0n2

    donc

    unn2=n(un-un-1)n++(u1-u0)1n2+u0n22.
 
Exercice 5  3850      MINES (MP)

Soit un une série à termes strictement positifs convergente. On note Rn son reste de rang n et l’on suppose

unn+Rn2.

Déterminer un équivalent de un quand n tend vers l’infini.

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Édité le 08-11-2019

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