[<] Règle de Raabe-Duhamel [>] Emploi de la constante d'Euler

 
Exercice 1  4645  
  • (a)

    Soit n*. Vérifier l’identité

    k=12n(-1)k-1k=k=n+12n1k.
  • (b)

    En déduire la valeur de la somme harmonique alternée

    n=1+(-1)n-1n.
 
Exercice 2  1051  Correction  

Soit x]-1;1[. Calculer

k=0+kxk.

Solution

Tout d’abord la série converge en vertu de la règle de d’Alembert (en traitant x=0 séparément)
Puisque

k=0nkxk=xddx(k=0nxk)=x(1-xn+11-x)x(1-x)2

on obtient

k=0+kxk=x(1-x)2.
 
Exercice 3  3895  Correction  

Existence et valeur de

n=2+ln(1+(-1)nn).

Solution

On a

n=22N+1ln(1+(-1)nn)=k=1Nln(2k+1)-ln(2k+1)=0

et

n=22Nln(1+(-1)nn)=n=22N+1ln(1+(-1)nn)+o(1)N+0

donc

n=2+ln(1+(-1)nn)=0.
 
Exercice 4  1058     ENTPE

Justifier l’existence et calculer la somme suivante

n=1+(-1)nln(1+1n).
 
Exercice 5  1052   Correction  

Soit α>0. Montrer

k=0+(-1)kk+α=01xα-11+xdx.

Solution

Par sommation géométrique,

xα-11+x=k=0n(-1)kxk+α-1+(-1)n+1xn+α1+x

On peut alors écrire

01xα-11+xdx=k=0n01(-1)kxk+α-1dx+(-1)n+101xn+α1+xdx=k=0n(-1)kk+α+εn

avec

|εn|01xn+αdx=1n+α-1n+0.

On en déduit l’égalité proposée.

 
Exercice 6  2805     MINES (MP)Correction  

Calculer

n=0+(-1)n4n+1.

Solution

Par sommation géométrique

n=0N(-1)n4n+1=n=0N01(-t4)ndt=011-(-t4)N+11+t4dt.

Or

|01(-t4)N+11+t4dt|01t4N+4dt=14N+50

donc (-1)n4n+1 converge et

n=0+(-1)n4n+1=01dt1+t4.

Enfin

01dt1+t4=142(ln(2+22-2)+π).
 
Exercice 7  1053   Correction  

On pose

un=01xnsin(πx)dx.

Montrer que la série un converge et que sa somme vaut

0πsin(t)tdt.

Solution

Par sommation géométrique,

k=0nuk=011-xn+11-xsin(πx)dx.

Posons

I=01sin(πx)1-xdx.

Cette intégrale est bien définie car la fonction intégrée se prolonge par continuité en 1.

|k=0nuk-I|01sin(πx)1-xxn+1dxMn+1

avec

M=sup[0;1[sin(πx)1-x.

(M existe car on peut prolonger la fonction considérée en une fonction continue sur [0;π]).

On conclut que

k=0nukn+I

puis, par changement de variable,

k=0nukn+0πsin(t)tdt.
 
Exercice 8  2803     MINES (MP)Correction  

Étudier

limn+limm+i=0nj=0m(-1)i+jti+j+1.

Solution

Pour t=-1,

i=0nj=0m(-1)i+jti+j+1=-(m+1)(n+1)

ce qui permet de conclure.
Pour t-1,

i=0nj=0m(-1)i+jti+j+1=i=0n(-1)iti+11-(-t)m+11+t.

Quand m+,

i=0nj=0m(-1)i+jti+j+1i=0n(-1)iti+11+t

si |t|<1 et diverge sinon. Aussi, quand |t|<1

i=0n(-1)iti+11+t=t1-(-t)n+1(1+t)2

et quand n+,

t1-(-t)n+1(1+t)2t(1+t)2.

On conclut

limn+limm+i=0nj=0m(-1)i+jti+j+1=t(1+t)2.
 
Exercice 9  2806      MINES (MP)Correction  

Nature et calcul de la somme de la série de terme général

k=n+(-1)kk2.

Solution

Le terme

un=k=n+(-1)kk2

est bien défini en tant que reste d’une série alternée satisfaisant au critère spécial.
Pour NK entiers,

n=1Nk=nK(-1)kk2=k=1Nn=1k(-1)kk2+k=N+1Kn=1N(-1)kk2.

D’une part

k=1Nn=1k(-1)kk2=k=1N(-1)kk.

D’autre part

k=N+1Kn=1N(-1)kk2=Nk=N+1K(-1)kk2.

En passant à la limite quand K+

n=1Nun=k=1N(-1)kk+Nk=N+1+(-1)kk2.

Or

k=N+1+(-1)kk2=O(1N2)

donc quand N+,

n=1Nunk=1+(-1)kk.

Ainsi, un est convergente et

n=1+un=-ln(2).

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Édité le 08-11-2019

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