[<] Théorème de Cesaro [>] Application à l'étude de suites

 
Exercice 1  3371    CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Déterminer la limite de la suite définie par

    u00etun+1=e-unn+1pour tout n.
  • (b)

    Déterminer la limite de la suite définie par

    vn=nun.
  • (c)

    Donner la nature de la série un et celle de la série (-1)nun

Solution

  • (a)

    La suite étudiée est bien définie et à termes tous positifs. On en déduit

    0un+1=e-unn+11n+1n+0

    Par encadrement, (un) tend vers 0.

  • (b)

    Pour n1, on peut écrire vn=e-un-1 et alors vn1 par composition de limites.

  • (c)

    On en déduit

    unn+1/n.

    Par équivalence de séries à termes positifs, la série un est divergente.

    Aussi,

    un=e-un-1n=n+1-un-1+o(un-1)n=1n-1n2+o(1n2)

    donc

    (-1)nun=n+(-1)nn+O(1n2).

    La série (-1)n/n converge en vertu du critère spécial et O(1/n2) est absolument convergente par argument de comparaison. Par opérations sur les séries convergentes, la série (-1)nun converge.

 
Exercice 2  2440   Correction  

Soit (an)n0 une suite définie par a0+* et pour n,

an+1=1-e-an.
  • (a)

    Étudier la convergence de la suite (an).

  • (b)

    Déterminer la nature de la série de terme général (-1)nan.

  • (c)

    Déterminer la nature de la série de terme général an2.

  • (d)

    Déterminer la nature de la série de terme général an à l’aide de la série

    ln(an+1an).

Solution

  • (a)

    La suite (an) est bien définie et à termes positifs puisque pour tout x0, 1-e-x0.
    Puisque pour tout x,ex1+x, on a an+1an et la suite (an) est donc décroissante.
    Puisque décroissante et minorée, (an) converge et sa limite vérifie =1-e-. On en déduit =0.

    Finalement, (an) décroît vers 0.

  • (b)

    Par le critère spécial des séries alternées, (-1)nan converge.

  • (c)

    Puisque an0, on peut écrire an+1=1-e-an=an-12an2+o(an2).
    Par suite, an2-2(an+1-an).
    Par équivalence de séries à termes positifs, la nature de la série de terme général an2 est celle de la série de terme général an+1-an qui est celle de la suite de terme général an.

    Finalement, la série an2 converge.

  • (d)

    La nature de la série de terme général ln(an+1/an) est celle de la suite de terme général ln(an). C’est donc une série divergente. Or

    ln(an+1an)=ln(1-12an+o(an))-12an.

    Par équivalence de série de terme de signe constant, on peut affirmer an diverge.

 
Exercice 3  5277     St Cyr (MP)Correction  

On étudie la suite (an) définie par

a0=1etan+1=1-e-anpour tout n.
  • (a)

    Écrire une fonction récursive a(n) donnant la valeur de an.

  • (b)

    Écrire une fonction ListeA(n) de complexité O(n) qui renvoie la liste des n premiers termes de la suite (an).

  • (c)

    Représenter les premiers termes de la suite (an) en fonction de n. Que conjecturer sur la convergence de la suite (an) ? Le démontrer.

  • (d)

    Pour tout n, on pose

    Sn=k=0nak2.

    Écrire une fonction ListeS(n) de complexité O(n) qui renvoie la liste des n premiers termes de la suite (Sn).

  • (e)

    Représenter les premiers termes de la suite (Sn) en fonction de n. Que conjecturer sur la convergence de la suite (Sn) ? Le démontrer. On pourra rechercher un équivalent de an+1-an.

Solution

  • (a)
    from math import exp
    
    def a(n):
        if n == 0: return 1
        return  1 - exp(-a(n-1))
    
  • (b)
    def ListeA(n):
        a = 1
        L = [a]
        for _ in range(n-1):
            a = 1 - exp(-a)
            L.append(a)
        return L
    
  • (c)
    import  matplotlib.pyplot as plt
    
    n = 20
    plt.plot(range(n),ListeA(n),’*’)
    plt.show()
    

    La suite (an) semble converger en décroissant vers 0. On établit cette propriété en constatant que l’intervalle [0;+[ est stable par la fonction itératrice f:x1-e-x, en vérifiant que 0 est le seul point fixe de cette fonction continue et, enfin, en soulignant que f(x)x pour tout x+ car on connaît l’inégalité de convexité

    et1+tpour tout t.
  • (d)
    def ListeS(n):
        a = 1
        S = a**2
        L = [S]
        for _ in range(n-1):
             a = 1 - exp(-a)
             S = S + a**2
             L.append(S)
        return L
    
    n = 20
    plt.plot(range(n),ListeS(n),’*’)
    plt.show()
    

    La série an2 semble converger. On justifie cette propriété en observant

    an-an+1=an-1+e-ann+12an2 car (an) est de limite nulle.

    Par équivalence de séries à termes positifs, la série de terme général an2 a la nature de la série télescopique (an-an+1) et cette dernière a la nature de la suite an qui converge.

 
Exercice 4  2961     X (MP)Correction  

Soit (un) une suite réelle telle que u0>0 et pour tout n>0,

un=ln(1+un-1).

Étudier la suite (un) puis la série de terme général un.

Solution

La suite (un) est à terme strictement positifs car u0>0 et la fonction xln(1+x) laisse stable l’intervalle ]0;+[.
Puisque pour tout x0, ln(1+x)x, la suite (un) est décroissante.
Puisque décroissante et minorée, la suite (un) converge et sa limite vérifie ln(1+)= ce qui donne =0.

1un+1-1un=un-un+1unun+112un2un212.

Par le théorème de Cesaro,

1nk=0n-1(1uk+1-1uk)12

et donc

1nun12.

On en déduit un2n et donc la série de terme général un diverge.

 
Exercice 5  3012     ENTPECorrection  

La suite (an)n0 est définie par a0]0;π/2[ et

an+1=sin(an)pour tout n.

Quelle est la nature de la série de terme général an?

Solution

La suite (an) est décroissante et minorée par 0 donc convergente. En passant la relation de récurrence à la limite, on obtient que (an) tend vers 0. Puisque

1an+12-1an2=an2-an+12an2an+1213

on obtient par le théorème de Cesàro

1nk=0n-1(1ak+12-1ak2)n+13

puis

1n1an2n+13.

Finalement,

ann+3n

et la série étudiée est divergente.

 
Exercice 6  2951      X (MP)Correction  

Soit (un)n0 la suite définie par u0[0;1] et

n,un+1=un-un2.
  • (a)

    Quelle est la nature de la série de terme général un?

  • (b)

    Même question lorsque un est définie par la récurrence un+1=un-un1+α (avec α>0).

Solution

Dans le cas où u0=0, la suite est nulle.

Dans le cas où u0=1, la suite est nulle à partir du rang 1.

On suppose désormais ces cas exclus.

  • (a)

    La suite (un) est à termes dans ]0;1[ car l’application xx-x2 laisse stable cet intervalle.

    La suite (un) est décroissante et minorée donc convergente. Sa limite vérifie =-2 et donc =0.

    Finalement, (un) décroît vers 0 par valeurs strictement supérieures.

    1un+1-1un=un-un+1unun+1=un2un2-un31.

    Par le théorème de Cesàro,

    1nk=0n-1(1uk+1-1uk)n+1

    et donc

    1nunn+1.

    On en déduit que

    unn+1n

    et donc un diverge.

  • (b)

    Comme ci-dessus, on obtient que (un) décroît vers 0 par valeurs strictement supérieures.

    1un+1α-1unα=unα-un+1α(unun+1)ααunαun+1αα.

    Par le théorème de Cesàro,

    1nunαn+α

    et donc

    unn+λn1/α avec λ>0

    Si α]0;1[, un converge et si α1, un diverge.

 
Exercice 7  2960      X (MP)Correction  

Soit u telle que u0]0;1] et que, pour un certain β>0 et pour tout n,

un+1β=sin(unβ).

Étudier la nature de la série de terme général un.

Solution

Posons vn=unβ. La suite (vn) vérifie vn]0;1] et vn+1=sin(vn) pour tout n.

Puisque la fonction sinus laisse stable l’intervalle ]0;1], on peut affirmer que pour tout n, vn]0;1]. De plus, pour x0, sin(x)x donc la suite (vn) est décroissante. Puisque décroissante et minorée, (vn) converge et sa limite vérifie sin()= ce qui donne =0.

Finalement, (vn) décroît vers 0 par valeurs strictement supérieures.

On a

1vn+12-1vn2=(vn-vn+1)(vn+1+vn)vn2vn+1216vn3×2vnvn413.

Par le théorème de Cesàro,

1nk=0n-1(1vk+12-1vk2)n+13

et donc 1nvn213. On en déduit vn3n1/2 puis

unn+λn1/2β

avec λ>0.

Pour β]0;1/2[, vn converge et pour β1/2, un diverge.

 
Exercice 8  2433      CENTRALE (MP)Correction  

Soit α>0 et (un)n1 la suite définie par:

u1>0etun+1=un+1nαunpour tout n1.
  • (a)

    Condition nécessaire et suffisante sur α pour que (un) converge.

  • (b)

    Equivalent de un dans le cas où (un) diverge.

  • (c)

    Equivalent de (un-) dans le cas où (un) converge vers .

Solution

  • (a)

    Notons la suite (un) est bien définie, strictement positive et croissante.
    Si α>1, on a

    un+1un+1nαu1

    puis par récurrence

    unk=1n1kαu1.

    Ainsi (un) converge.
    Si (un) converge. Posons =limun, on observe >0. On a

    un+1-un=1nαun1nα

    or la série de terme général un+1-un est convergente donc α>1.

  • (b)

    On suppose α1. On a

    un+12-un2=2nα+1n2αun22nα

    donc par sommation de relation de comparaison de séries à termes positifs divergentes

    un22k=1n1kα

    or par comparaison série-intégrale,

    k=1n1kαn1-α1-α quand α<1

    et

    k=1n1kln(n) quand α=1.

    On conclut alors

    un2n1-α1-α si α<1 et un2ln(n) si α=1.
  • (c)

    On suppose α>1. Posons vn=un-. On a

    vn+1-vn=1nαun1nα

    donc par sommation de relation de comparaison de séries à termes positifs convergentes

    k=n+vk+1-vk=-vnk=n+1nα1α-11nα-1

    puis

    vn=11-α1nα-1.

[<] Théorème de Cesaro [>] Application à l'étude de suites



Édité le 08-11-2019

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