Sachant $1-{\alpha }^{k}x\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1$, on peut affirmer que, pour $N$ assez grand,

$$\forall k\ge N\mathrm{,\hspace{0.25em}1}-{\alpha }^{k}x>0\text{.}$$

Considérons alors la suite définie par la portion de produit au-delà du rang $N$

$${\left(\prod _{k=N}^n(1-{\alpha }^{k}x)\right)}_{n\ge N}\text{.}$$

On a

$$\ln \left(\prod _{k=N}^n(1-{\alpha }^{k}x)\right)=\sum _{k=N}^n\ln (1-{\alpha }^{k}x)$$

avec

$$\ln (1-{\alpha }^{k}x)\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{=}\mathrm{O}({\alpha }^k)\text{.}$$

La série de terme général ${\alpha }^k$ est absolument convergente et donc, par comparaison, la série $\sum \ln (1-{\alpha }^{k}x)$ est aussi absolument convergente. On en déduit la convergence de la suite

$${\left(\sum _{k=N}^n\ln (1-{\alpha }^{k}x)\right)}_{n\ge N}$$

puis, en composant avec la fonction exponentielle, la convergence de la suite

$${\left(\prod _{k=N}^n(1-{\alpha }^{k}x)\right)}_{n\ge N}\text{.}$$

Enfin, en tenant compte de la portion initiale (constante) du produit définissant $P_n(x)$, on obtient la convergence de la suite $\left(P_n(x)\right)$.