Exercice 1 5044

Soit $(a_{n})$ une suite de réels tous différents de $- 1$ et telle que la série $\sum a_{n}$ converge. On pose

P_{n} = \prod_{k = 0}^{n} (1 + a_{k}) pour tout n \in ℕ .

Montrer que la suite $(P_{n})$ admet une limite finie et que celle-ci est non nulle si, et seulement si, la série de terme général $a_{n}^{2}$ converge.

Exercice 2 5043

Soit $q$ un réel tel que $| q | < 1$ . Établir l’identité

\prod_{k = 1}^{+ \infty} (1 + q^{k}) = \frac{1}{\prod_{k = 1}^{+ \infty} (1 - q^{2 k - 1})}

où les produits infinis correspondent aux limites quand $n$ tend vers $+ \infty$ des produits pour $k$ allant de $1$ à $n$ .

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