[<] Séries dont le terme général est défini par récurrence [>] Applications diverses
On étudie la suite définie par
Montrer que la suite tend vers par valeurs strictement positives.
Déterminer la limite de
En déduire un équivalent de
Solution
La suite est bien définie et à valeurs dans car
La suite est décroissante car
La suite est aussi minorée par donc convergente. Notons sa limite. En passant la relation de récurrence à la limite, on obtient
La seule solution de cette équation est et on peut donc affirmer que tend vers par valeurs strictement supérieures.
Pour
Par développement limité
car .
Par le théorème de Cesàro,
puis
Finalement,
On étudie la suite définie par
Déterminer la limite de la suite .
Déterminer la limite de
En déduire un équivalent de quand tend vers l’infini.
Soient et la suite déterminée par
Montrer que tend vers par valeurs strictement supérieures.
Étudier
Déterminer un équivalent simple de .
Solution
Par récurrence, on vérifie aisément pour tout .
On en déduit
La suite est décroissante et minorée, elle admet donc une limite finie . En passant la relation de récurrence à la limite, il vient .
Par l’absurde, si , on simplifie pour écrire et obtenir . C’est absurde. On conclut que la suite tend vers .
Pour ,
Par Cesàro,
et donc
On en déduit
Soit une suite récurrente déterminée par
Montrer que
Solution
La suite est bien définie et à termes dans car la fonction est définie de vers . Aussi, la suite est croissante car
Par l’absurde, si admet une limite finie . Celle-ci vérifie et, par passage à la limite de la relation de récurrence, . C’est absurde et l’on en déduit par croissance que la suite tend vers .
Pour , on observe
et donc
Par le théorème de Cesàro,
et donc
On conclut
Soient et la suite récurrente déterminée par
Étudier la limite de .
Donner un équivalent simple de .
Former un développement asymptotique à deux termes de .
Solution
La suite est croissante. Par l’absurde, si celle-ci admet une limite finie , le passage à la limite de la relation de récurrence donne ce qui est impossible. On en déduit que croît vers .
Introduisons déterminée par
La suite tend vers et
donc
Par le théorème de Cesàro,
et donc
On en déduit
puis
On reprend les calculs qui précèdent en approfondissant le développement limité
On en déduit
Par comparaison à une série à termes positifs divergente,
et donc
puis
Soient et la suite déterminée par
Étudier la limite de .
On pose
Montrer la convergence de la suite .
En déduire l’existence d’un réel tel que
Solution
Pour tout , . La suite est croissante.
Par l’absurde, si admet une limite finie , celle-ci vérifie par croissance et par passage à la limite dans la relation de récurrence . On en déduit respectivement et . C’est absurde.
La suite croissante est donc de limite .
On emploie le lien suite-série pour étudier la convergence de en étudiant celle de la série . Pour ,
Or
et donc
La série géométrique converge absolument car . La série converge donc aussi absolument. On en déduit la convergence de la série télescopique donc la convergence de la suite .
Posons la limite de la suite et . Par télescopage,
Par sommation de relation de comparaison dans le cas de la comparaison à une série à termes positifs convergente,
et donc
Par continuité de l’exponentielle,
et donc
Soient et la suite déterminée par puis
Montrer que tend vers .
Montrer que la suite admet une limite .
Trouver un équivalent simple de .
Solution
La fonction itératrice est définie de vers (intervalle stable). On en déduit que la suite est bien définie et que ses termes appartiennent tous à .
De plus, on sait pour tout et l’on peut alors établir par récurrence
On en déduit que est de limite nulle.
Posons et déterminée par
Puisque est de limite nulle,
La série télescopique converge absolument et la suite est donc convergente de limite . On en déduit que tend vers
Puisque est de limite nulle,
Par comparaison à une série à termes positifs convergente,
puis
Soient et la suite déterminée par
Déterminer la limite de la suite .
Déterminer la forme d’un équivalent simple de .
On introduira une constante que l’on ne cherchera pas à calculer.
Déterminer la forme d’un développement asymptotique à deux termes de .
Solution
La fonction itératrice est définie de vers (intervalle stable). La suite est bien définie et ses termes appartiennent à .
Sachant pour tout , on peut affirmer la comparaison sous-géométrique . Par récurrence, on obtient alors
La suite est donc de limite nulle. Notons de plus, et cela sera utile pour la suite,
Introduisons et déterminées par
Puisque est de limite nulle,
La série télescopique converge absolument et la suite est donc convergente de limite . On en déduit que tend vers puis
Puisque est de limite nulle
Par l’équivalent qui précède,
Par comparaison à une série à termes positifs convergente,
et donc
Pour , on pose
Montrer qu’il existe un réel tel que
Soient et une suite strictement positive telle que pour tout ,
En étudiant la nature de la série de terme général
établir que la suite est de limite nulle.
Soient et la suite de terme général
Déterminer pour qu’il y ait convergence de la série de terme général
En déduire qu’il existe tel que
Donner la nature de la série de terme général
Solution
On a
Par équivalence de séries à termes de signe constant, la série de terme général diverge. Or il s’agit d’une série à termes négatifs et donc
Par télescopage, cela produit
On en déduit que tens vers . Par composition avec la fonction exponentielle, on conclut que est de limite nulle.
Par développement limité,
Pour , la série des converge absolument. Par suite, converge vers un réel et alors
Par intégration par parties,
On en déduit
Par équivalence de séries à termes positifs, diverge.
(Formule de Stirling)
L’enjeu de ce sujet est d’établir la formule de Stirling. Pour , on pose
Montrer la convergence de la suite et en déduire l’existence d’une constante telle que
Calculer en admettant11 1 Voir le sujet 4761.
Former un développement asymptotique à trois termes de la suite définie par
Solution
On observe
Puisque une série à termes positifs divergente on peut, par sommation de relation de comparaison, affirmer
En composant avec le logarithme népérien cet équivalent de limite infini, on obtient
puis
Par suite, puis
Posons
L’égalité
donne
Or donc
puis . Ainsi,
On note la suite de terme général
Étudier
Solution
Posons
On a
Puisque
on obtient
Sachant , on peut écrire
Ainsi,
Sachant , on a
Posons le second membre de cette comparaison. D’une part
D’autre part
avec
Après calculs asymptotiques, on obtient
Sachant , on a
Puisque ,
Finalement, est encadré par deux quantités de limite . On en déduit
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Édité le 29-08-2023
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