• (a)

  On remarque

  $$p^n(p-1)u_{p^{n+1}}\le \sum _{k=p^n}^{p^{n+1}-1}{u}_k\le p^n(p-1)u_{p^n}$$

  et donc

  $$\frac{p-1}{p}\sum _{\mathrm{\ell }=1}^{n+1}{v}_{\mathrm{\ell }}\le \sum _{k=1}^{p^{n+1}-1}{u}_k\le (p-1)\sum _{\mathrm{\ell }=0}^n{v}_{\mathrm{\ell }}\text{.}$$

  Si $\sum u_n$ converge alors la première inégalité donne

  $$\sum _{\mathrm{\ell }=1}^{n+1}{v}_{\mathrm{\ell }}\le \frac{p}{p-1}\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$$

  ce qui assure la convergence de la série $\sum v_n$ car c’est une série à termes positifs aux sommes partielles majorées.
  Si $\sum v_n$ converge alors la deuxième inégalité de l’encadrement précédent donne

  $$\sum _{k=1}^{p^{n+1}-1}{u}_k\le (p-1)\sum _{\mathrm{\ell }=0}^{+\mathrm{\infty }}{v}_{\mathrm{\ell }}$$

  et puisque les sommes partielles de la série $\sum u_n$ sont croissantes et que ce qui précède permet de les majorer, on peut conclure à la convergence de la série $\sum u_n$.

• (b)

  Prenons $p=2$ et

  $$u_n=\frac{1}{n\ln (n)}\text{.}$$

  La suite $(u_n)$ est décroissante positive et

  $$v_n=2^n{u}_{2^n}=\frac{1}{n\ln (2)}\text{.}$$

  Puisque $\sum v_n$ diverge, $\sum u_n$ diverge aussi.
  Prenons toujours $p=2$ et cette fois-ci

  $$u_n=\frac{1}{n\ln (n)\ln \left(\ln (n)\right)}\text{.}$$

  La suite $(u_n)$ est décroissante positive et

  $$v_n=2^n{u}_{2^n}=\frac{1}{n\ln \left(2\ln (n\ln (2))\right)}\sim \frac{1}{\ln (2)}\frac{1}{n\ln (n)}$$

  et à nouveau nous pouvons conclure à la divergence de $\sum u_n$.

On remarque

$$v_n\ge u_{2^n}+u_{2^n+1}+\mathrm{\cdots }+u_{2^{n+1}-1}$$

de sorte que

$$\sum _{k=0}^n{v}_k\ge \sum _{k=1}^{2^{n+1}-1}{u}_k\text{.}$$

Ainsi, si $\sum u_n$ diverge alors $\sum v_n$ aussi par comparaison de séries à termes positifs.
Aussi

$$u_{2^n}+\mathrm{\cdots }+u_{2^{n+1}-1}\ge \frac{1}{2}{v}_{n+1}$$

donc

$$\sum _{k=1}^{2^n-1}{u}_k\ge \frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{v}_k\text{.}$$

Ainsi, si $\sum u_n$ converge alors $\sum v_n$ aussi par comparaison de séries à termes positifs.

On remarque

$$(2n+1)u_{{(n+1)}^2}\le \sum _{k=n^2}^{{(n+1)}^2-1}{u}_k\le (2n+1)u_{n^2}$$

et donc

$$\sum _{\mathrm{\ell }=1}^{n+1}(2\mathrm{\ell }-1)u_{{\mathrm{\ell }}^2}\le \sum _{k=1}^{{(n+1)}^2-1}{u}_k\le \sum _{\mathrm{\ell }=0}^n(2\mathrm{\ell }+1)u_{{\mathrm{\ell }}^2}\text{.}$$

Si $\sum u_n$ converge alors la première inégalité donne

$$\sum _{\mathrm{\ell }=1}^{n+1}{v}_{\mathrm{\ell }}=\sum _{\mathrm{\ell }=1}^{n+1}\mathrm{\ell }{u}_{{\mathrm{\ell }}^2}\le \sum _{\mathrm{\ell }=1}^{n+1}(2\mathrm{\ell }-1)u_{{\mathrm{\ell }}^2}\le \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$$

ce qui assure la convergence de la série $\sum v_n$ car c’est une série à termes positifs aux sommes partielles majorées.
Si $\sum v_n$ converge alors la série $\sum u_{n^2}$ converge aussi car

$$0\le u_{n^2}\le n{u}_{n^2}=v_n\text{.}$$

On en déduit la convergence de $\sum (2n+1)u_{n^2}$ et la deuxième inégalité de l’encadrement précédent donne

$$\sum _{k=1}^{p^{n+1}-1}{u}_k\le \sum _{\mathrm{\ell }=0}^{+\mathrm{\infty }}(2\mathrm{\ell }+1)u_{{\mathrm{\ell }}^2}\text{.}$$

Puisque les sommes partielles de la série $\sum u_n$ sont croissantes et que ce qui précède permet de les majorer, on peut conclure la convergence de la série $\sum u_n$.

Supposons que $\sum v_n$ converge. Pour $n^2\le k<{(n+1)}^2$,

$$0\le u_k\le u_{n^2}\le \frac{v_n}{n^2}$$

donc

$$0\le \sum _{k=n^2}^{{(n+1)}^2-1}{u}_k\le v_n\frac{{(n+1)}^2-n^2}{n^2}$$

ce qui permet d’affirmer que les sommes partielles de la série à termes positifs $\sum u_n$ sont majorées et donc $\sum u_n$ converge.
Inversement, pour $u_n=\frac{1}{n^{3/2}}$ on a $v_n=\frac{1}{n}$ de sorte que $\sum u_n$ converge et $\sum v_n$ diverge.