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Exercice 1  3676   Correction  

(Critère de condensation de Cauchy)

  • (a)

    Soient (un)n une suite réelle décroissante, positive et p tel que p2. On pose

    vn=pnupn.

    Montrer que

    un converge si, et seulement si, vn converge.
  • (b)

    Application: Étudier la convergence des séries

    1nln(n) et 1nln(n)ln(ln(n)).

Solution

  • (a)

    On remarque

    pn(p-1)upn+1k=pnpn+1-1ukpn(p-1)upn

    et donc

    p-1p=1n+1vk=1pn+1-1uk(p-1)=0nv.

    Si un converge alors la première inégalité donne

    =1n+1vpp-1k=1+uk

    ce qui assure la convergence de la série vn car c’est une série à termes positifs aux sommes partielles majorées.
    Si vn converge alors la deuxième inégalité de l’encadrement précédent donne

    k=1pn+1-1uk(p-1)=0+v

    et puisque les sommes partielles de la série un sont croissantes et que ce qui précède permet de les majorer, on peut conclure à la convergence de la série un.

  • (b)

    Prenons p=2 et

    un=1nln(n).

    La suite (un) est décroissante positive et

    vn=2nu2n=1nln(2).

    Puisque vn diverge, un diverge aussi.
    Prenons toujours p=2 et cette fois-ci

    un=1nln(n)ln(ln(n)).

    La suite (un) est décroissante positive et

    vn=2nu2n=1nln(2ln(nln(2)))1ln(2)1nln(n)

    et à nouveau nous pouvons conclure à la divergence de un.

 
Exercice 2  2796     MINES (MP)Correction  

Soit (un) une suite réelle décroissante et positive. On pose

vn=2nu2n.

Déterminer la nature de vn en fonction de celle de un.

Solution

On remarque

vnu2n+u2n+1++u2n+1-1

de sorte que

k=0nvkk=12n+1-1uk.

Ainsi, si un diverge alors vn aussi par comparaison de séries à termes positifs.
Aussi

u2n++u2n+1-112vn+1

donc

k=12n-1uk12k=1nvk.

Ainsi, si un converge alors vn aussi par comparaison de séries à termes positifs.

 
Exercice 3  3677   Correction  

Soit (un)n une suite réelle décroissante et positive. On pose

vn=nun2.

Montrer que

un converge si, et seulement si, vn converge.

Solution

On remarque

(2n+1)u(n+1)2k=n2(n+1)2-1uk(2n+1)un2

et donc

=1n+1(2-1)u2k=1(n+1)2-1uk=0n(2+1)u2.

Si un converge alors la première inégalité donne

=1n+1v==1n+1u2=1n+1(2-1)u2k=1+uk

ce qui assure la convergence de la série vn car c’est une série à termes positifs aux sommes partielles majorées.
Si vn converge alors la série un2 converge aussi car

0un2nun2=vn.

On en déduit la convergence de (2n+1)un2 et la deuxième inégalité de l’encadrement précédent donne

k=1pn+1-1uk=0+(2+1)u2.

Puisque les sommes partielles de la série un sont croissantes et que ce qui précède permet de les majorer, on peut conclure la convergence de la série un.

 
Exercice 4  2797     MINES (MP)Correction  

Soit (un) une suite décroissante d’éléments de +, de limite 0. Pour n1, on pose

vn=n2un2.

Y a-t-il un lien entre la convergence des séries de termes généraux un et vn?

Solution

Supposons que vn converge. Pour n2k<(n+1)2,

0ukun2vnn2

donc

0k=n2(n+1)2-1ukvn(n+1)2-n2n2

ce qui permet d’affirmer que les sommes partielles de la série à termes positifs un sont majorées et donc un converge.
Inversement, pour un=1n3/2 on a vn=1n de sorte que un converge et vn diverge.

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Édité le 08-11-2019

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