Exercice 1 3097 X (PSI)Correction

On dit que la série de terme général $u_{n}$ enveloppe le réel $A$ si, pour tout entier naturel $n$ , on a

u_{n} \neq 0 et | A - (u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}) | \leq | u_{n + 1} | .

On dit qu’elle enveloppe strictement le réel $A$ s’il existe une suite ${(θ_{n})}_{n \geq 1}$ d’éléments de $] 0; 1 [$ telle que pour tout entier naturel $n$ :

A - (u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}) = θ_{n + 1} u_{n + 1} .

(a)

Donner un exemple de série divergente qui enveloppe $A > 0$ .
Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel.
Donner un exemple de série convergente qui n’enveloppe aucun réel.
(b)

Démontrer que, si la série de terme général $u_{n}$ enveloppe strictement $A$ , alors elle est alternée.
Démontrer que $A$ est alors compris entre deux sommes partielles consécutives.
(c)

Démontrer que, si la série de terme général $u_{n}$ est alternée et que, pour tout entier $n \in ℕ^{*}$
$A - (u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n})$ est du signe de $u_{n + 1}$ , alors, elle enveloppe strictement $A$ .
(d)

Démontrer que, si la série de terme général $u_{n}$ enveloppe $A$ et si la suite de terme général $| u_{n} |$ est strictement décroissante, alors, la série est alternée et encadre strictement $A$ .

Solution

(a)

Pour $u_{n} = {(- 1)}^{n}$ , la série de terme général $u_{n}$ est divergente et puisque ces sommes partielles valent 0 ou 1, elle enveloppe tout réel de l’intervalle $[0; 1]$ .
Pour $u_{n} = {(- 1)}^{n} / (n + 1)$ , la série de terme général $u_{n}$ satisfait le critère spécial des séries alternées et donc elle converge et la valeur absolue de son reste est inférieure à son premier terme. Cette série enveloppe donc sa somme, à savoir $\ln (2)$ .
Pour $u_{n} = 1 / 2^{n}$ , la série de terme général $u_{n}$ converge. Puisque $u_{n} \to 0$ , le seul réel qu’elle peut envelopper est sa somme, or

$\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{1}{2^{k}} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{2^{k}} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2^{n}}$

n’est pas inférieur à $u_{n + 1}$ . Cette série convergente n’enveloppe aucun réel.
(b)

Posons pour la suite de notre étude

$S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k} .$

On a

$θ_{n + 2} u_{n + 2} = A - S_{n + 1} = A - S_{n} - u_{n + 1} = (θ_{n + 1} - 1) u_{n + 1} .$

Puisque $θ_{n + 2} > 0$ et $θ_{n + 1} - 1 < 0$ , on peut affirmer que $u_{n + 2}$ et $u_{n + 1}$ sont de signes opposés.
Puisque $A - S_{n} = θ_{n + 1} u_{n + 1}$ est du signe de $u_{n + 1}$ , les réels $A - S_{n}$ et $A - S_{n + 1}$ sont de signes opposés et donc $A$ est encadré par $S_{n}$ et $S_{n + 1}$ .
(c)

Puisque $A - S_{n}$ est du signe de $u_{n + 1}$ , on peut écrire $A - S_{n} = θ_{n + 1} u_{n + 1}$ avec $θ_{n + 1} \in ℝ_{+}$ .
Puisque $A - S_{n + 1} = (θ_{n + 1} - 1) u_{n + 1}$ est du signe de $u_{n + 2}$ et puisque $u_{n + 1}$ et $u_{n + 2}$ sont de signes opposés, on a $θ_{n + 1} - 1 \leq 0$ et donc $θ_{n + 1} \in [0; 1]$ .
On ne peut rien dire de plus, sauf à savoir que $A - S_{n}$ est non nul pour tout $n \in ℕ$ .
En effet, pour $u_{n} = {(- 1)}^{n}$ et $A = 1$ , la série de terme général $u_{n}$ est alternée et
pour $n$ pair: $A - S_{n} = 1 - 1 = 0$ est du signe de $u_{n + 1}$ .
pour $n$ impair: $A - S_{n} = 1 - 0 = 1$ est du signe de $u_{n + 1}$ .
Si en revanche, on suppose $A - S_{n} \neq 0$ pour tout $n \in ℕ$ , obtenir $θ_{n + 1} \in] 0; 1 [$ est désormais immédiat.
(d)

Par l’absurde, supposons $u_{n + 1}, u_{n + 2} > 0$ .
On a $A - S_{n} \leq u_{n + 1}$ donc $A - S_{n + 1} \leq 0$ puis $A - S_{n + 2} \leq - u_{n + 2}$ et donc $| A - S_{n + 2} | \geq | u_{n + 2} |$ . Or $| A - S_{n + 2} | \leq | u_{n + 3} |$ et $| u_{n + 3} | < | u_{n + 2} |$ , c’est absurde et donc $u_{n + 1}$ et $u_{n + 2}$ ne sont pas tous deux strictement positifs. Un raisonnement symétrique établit qu’ils ne sont pas non plus tous deux strictement négatifs et donc la série de terme général $u_{n}$ est alternée à partir du rang 1 (on ne peut rien affirmer pour le rang 0).
Puisque $A - S_{n + 1} = A - S_{n} - u_{n + 1}$ , on a $- | u_{n + 1} | - u_{n + 1} \leq A - S_{n + 1} \leq | u_{n + 1} | - u_{n + 1}$ .
Si $u_{n + 1} > 0$ alors $A - S_{n + 1} \leq 0$ et donc du signe de $u_{n + 2}$ .
Si $u_{n + 1} < 0$ alors $A - S_{n + 1} \geq 0$ et donc à nouveau du signe de $u_{n + 2}$ .
Enfin $A - S_{n + 1}$ n’est pas nul, car sinon $A - S_{n + 3} = A - S_{n + 1} - (u_{n + 2} + u_{n + 3}) = - (u_{n + 2} + u_{n + 3})$ est de signe strict opposé à $u_{n + 2}$ et n’est donc pas du signe de $u_{n + 4}$ .
On peut alors exploiter le résultat du c) et affirmer que la série de terme général $u_{n}$ encadre strictement $A$ .

Exercice 2 3917 CENTRALE (MP)Correction

Soit $e = {(e_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite décroissante à termes strictement positifs telle que la série $\sum e_{n}$ converge.
On pose

s = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e_{n} et r_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} e_{k} pour n \in ℕ .

On introduit

G = {\sum_{n = 0}^{+ \infty} d_{n} e_{n} | (d_{n}) \in {- 1,1}^{ℕ}} .

On dit que la suite $e$ est une base discrète lorsque $G$ est un intervalle.

(a)

Montrer que $G$ est bien défini. Déterminer son maximum et son minimum.
(b)

On suppose dans cette question que $(e_{n})$ est une base discrète. Montrer que $e_{n} \leq r_{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .
(c)

On suppose que $e_{n} \leq r_{n}$ pour tout $n \in ℕ$ . Soit $t \in [- s; s]$ . On définit la suite $(t_{n})$ par

$t_{0} = 0 et t_{n + 1} = {\begin{matrix} t_{n} + e_{n} & si t_{n} \leq t \\ t_{n} - e_{n} & sinon. \end{matrix}$

Montrer que

$| t - t_{n} | \leq e_{n} + r_{n}$

et conclure.
(d)

Dans cette question, on suppose $e_{n} = 1 / 2^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .
Déterminer $G$ . Quelles suites $(d_{n})$ permettent d’obtenir respectivement $0,1,1 / 2,2$ et $1 / 3$ ?
Pour $x \in G$ , y a-t-il une unique suite $(d_{n}) \in {- 1,1}^{ℕ}$ telle que

$x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} d_{n} e_{n} ?.$

Solution

(a)

Puisque $| d_{n} e_{n} | \leq e_{n}$ avec convergence de $\sum e_{n}$ , on peut affirmer que les éléments de $G$ sont des sommes de séries absolument convergentes. Les éléments de $G$ sont donc bien définis et puisque

$| \sum_{n = 0}^{+ \infty} d_{n} e_{n} | \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} e_{n} = s$

on a $G \subset [- s; s]$ . Enfin $s \in G$ avec ${(d_{n})}_{n \in ℕ} = {(1)}_{n \in ℕ}$ et $- s \in G$ avec ${(d_{n})}_{n \in ℕ} = {(- 1)}_{n \in ℕ}$ .
(b)

Si $e$ est une base discrète alors $G = [- s; s]$ .
Par l’absurde, supposons qu’il existe $N \in ℕ$ tel que $e_{N} > r_{N}$ .
Introduisons

$x = \sum_{k = 0}^{N - 1} e_{k} \in [- s; s]$

(comprendre $x = 0$ si $N = 0$ ).
Soit

$y = \sum_{n = 0}^{+ \infty} d_{n} e_{n} avec d_{n} \in {- 1,1} .$

S’il existe $k \leq N$ tel que $d_{k} = - 1$ alors

$y \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} d_{n} e_{n} - 2 e_{k} = s - 2 e_{k} .$

Or

$e_{k} \geq e_{N}$

donc

$y < s - 2 e_{N} = x + r_{N} - e_{N} < x .$

Si $d_{k} = 1$ pour tout $k \leq N$ alors

$y = \sum_{n = 0}^{N} e_{k} + \sum_{n = N + 1}^{+ \infty} d_{k} e_{k} \geq x + e_{N} - r_{N} > x .$

Dans tous les cas, $y \neq x$ et donc $x \notin G$ . C’est absurde.
(c)

Raisonnons par récurrence sur $n \in ℕ$ .

Cas: $n = 0$ . On a bien

$| t - t_{0} | = | t | \leq s = e_{0} + r_{0} .$

Supposons la propriété vérifiée au rang $n \geq 0$ .
Si $t_{n} \leq t$ alors

$t - t_{n + 1} = t - t_{n} - e_{n} \leq r_{n}$

et

$t - t_{n + 1} \geq - e_{n} \geq - r_{n} .$

Ainsi,

$| t - t_{n + 1} | \leq r_{n} = e_{n + 1} + r_{n + 1} .$

Si $t_{n} > t$ alors

$t_{n + 1} - t = t_{n} - t - e_{n}$

et l’étude est analogue.
Récurrence établie.
On en déduit que $t_{n} \to t$ puis que $t \in G$ .
En conclusion,

$e$ est une base discrète si, et seulement si, $\forall n \in ℕ, e_{n} \leq r_{n}$ .
(d)

La condition précédente est vérifiée et, puisque $s = 2$ , on obtient $G = [- 2; 2]$ .
On peut écrire

$0 = 1 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1) \frac{1}{2^{n}},1 = 1 + \frac{1}{2} + \sum_{n = 2}^{+ \infty} (- 1) \frac{1}{2^{n}}, \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \sum_{n = 3}^{+ \infty} \frac{1}{2^{n}}$

et

$2 = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{2^{n}} .$

En remarquant

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n}} = \frac{2}{3}$

on peut proposer

$\frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{2} + \sum_{n = 2}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}} .$

Il peut y avoir unicité de la suite $(d_{n})$ (c’est le cas pour $x = s$ ) ou non (c’est le cas pour $x = 0$ où lorsque $(d_{n})$ convient, $(- d_{n})$ convient aussi).

Exercice 3 5960 CENTRALE (MP)Correction

On pose

F_{0} = 0, F_{1} = 1 et \forall n \in ℕ, F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n} .

(a)

Écrire une fonction fib(n) renvoyant $F_{n}$ avec une complexité en $O (n)$ .
(b)

Montrer que la série $\sum \frac{1}{7^{F_{n} F_{n + 1}}}$ converge et calculer sa somme à $10^{- 5}$ près.
(c)

Soit $x \in] 0; 1]$ . Montrer que l’on peut définir deux suites $(x_{n})$ et $(a_{n})$ en posant $x_{0} = x$ et, pour tout $n \in ℕ$ ,

$a_{n} = 1 + ⌊ \frac{1}{x_{n}} ⌋ et x_{n + 1} = a_{n} x_{n} - 1 .$

Montrer que $(x_{n})$ est décroissante et $\forall n \in ℕ, 0 < x_{n} \leq 1$ .
(d)

Montrer que $(a_{n})$ est une suite croissante d’entiers avec $a_{0} \geq 2$ .
(e)

Montrer que si $x$ est rationnel alors $(a_{n})$ est stationnaire. Étudier la réciproque.
(f)

En déduire que $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{7^{F_{n} F_{n + 1}}}$ est irrationnel.

Solution

(a)

À l’aide d’un couple de valeurs on peut calculer $F_{n}$ en temps linéaire.

def fib(n):
    if n == 0:
        return 0
    a, b = 0, 1
    for _ in range(1, n):
        a, b = b, a + b
    return b

(b)

Par une récurrence facile,on établit $F_{n} \geq n$ pour tout $n \geq 5$ . On a alors

$\forall n \in ℕ, 0 \leq \frac{1}{7^{F_{n} F_{n + 1}}} \leq \frac{1}{7^{n}} .$

Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum \frac{1}{7^{F_{n} F_{n + 1}}}$ converge.

Le reste de rang $n$ de cette série vérifie

$0 \leq R_{n} \leq \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{7^{k}} = \frac{1}{7^{n + 1}} \cdot \frac{1}{1 - 1 / 7} = \frac{1}{6 \cdot 7^{n}} .$

Pour $n = 6$ , on constate $R_{n} \leq 0, 5 \cdot 10^{- 5}$ . Une valeur décimale par défaut $10^{- 5}$ près de la somme partielle de rang correspondant donne la valeur souhaitée.
```
def S(n):
    res = 0
    for k in range(n + 1):
        res += 1 / 7**(fib(k) * fib(k+1))
    return res

S(6)
```
On obtient $1, 16327$ .
(c)

La définition des deux suites est possible sous la réserve que $x_{n}$ ne s’annule pas. Or, par calcul d’une partie entière,

$\frac{1}{x_{n}} < a_{n} \leq 1 + \frac{1}{x_{n}}$

et donc $x_{n + 1} = a_{n} x_{n} - 1 > 0$ . Sachant $x_{0} \neq 0$ , on peut calculer les valeurs successives des suites $(x_{n})$ et $(a_{n})$ .

Pour $n \in ℕ$ ,

$x_{n + 1} \leq (1 + \frac{1}{x_{n}}) x_{n} - 1 = x_{n} + 1 - 1 = x_{n} .$

La suite $(x_{n})$ est décroissante.

Comme vu au-dessus, les termes de la suite $(x_{n})$ sont strictement positifs et donc vérifient $0 < x_{n} \leq x_{0} = 1$ .
(d)

Par composition de monotonies, la suite $(a_{n})$ est croissante. C’est évidemment une suite d’entiers et l’on a $a_{0} \geq 2$ car $⌊ 1 / x ⌋ \geq 1$ .
(e)

Si $x$ est rationnel, les termes de la suite $(x_{n})$ sont aussi des nombres rationnels et ceux-ci peuvent s’écrire avec le même dénominateur que celui employé pour $x_{0}$ car $x_{n + 1} = a_{n} x_{n} - 1$ avec $a_{n}$ entier. Les numérateurs associés forment une suite décroissante d’entiers naturels: elle est stationnaire. La suite $(a_{n})$ est alors aussi stationnaire.

Inversement, supposons que la suite $(a_{n})$ soit stationnaire. On remarque

$x = x_{0} = \frac{1}{a_{0}} + \frac{x_{1}}{a_{0}} = \frac{1}{a_{0}} + \frac{1}{a_{0} a_{1}} + \frac{x_{2}}{a_{0} a_{1}} .$

Plus généralement, par une récurrence facile,

$x = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{a_{0} a_{1} \dots a_{k}} + \frac{x_{n + 1}}{a_{0} a_{1} \dots a_{n}} .$

À la limite, on obtient

$x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{a_{0} a_{1} \dots a_{n}} .$

En notant $N$ un rang à partir duquel la suite $(a_{n})$ est stationnaire égale à $q \in ℕ ∖ {0, 1}$ ,

$x$ $= \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{1}{a_{0} a_{1} \dots a_{n}} + \frac{1}{a_{0} a_{1} \dots a_{N - 1}} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{q^{n}}$

$= \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{1}{a_{0} a_{1} \dots a_{n}} + \frac{1}{a_{0} a_{1} \dots a_{N - 1}} \cdot \frac{1}{1 - q} \in ℚ .$
(f)

On remarque

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{7^{F_{n} F_{n + 1}}} = 1 + x avec x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{α_{0} α_{1} \dots α_{n}}$

pour $(α_{n}) = (7^{F_{n + 1} F_{n + 2} - F_{n} F_{n + 1}}) = (7^{F_{n + 1}^{2}})$ suite croissante. On peut établir qu’alors $a_{n} = α_{n}$ pour tout $n \in ℕ$ . En effet,

$\frac{1}{α_{0}} < x \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{α_{0}^{n}} = \frac{1}{α_{0} - 1}$

donc $a_{0} = α_{0}$ . On a ensuite

$x_{1} = a_{0} x_{0} - 1 = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{α_{1} \dots α_{n}}$

ce qui permet de répéter l’opération.

La suite $(a_{n})$ n’étant pas stationnaire, on obtient que $x$ est irrationnel et donc la somme étudiée aussi.

	$x$	$= \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{1}{a_{0} a_{1} \dots a_{n}} + \frac{1}{a_{0} a_{1} \dots a_{N - 1}} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{q^{n}}$
		$= \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{1}{a_{0} a_{1} \dots a_{n}} + \frac{1}{a_{0} a_{1} \dots a_{N - 1}} \cdot \frac{1}{1 - q} \in ℚ .$

Applications diverses