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Exercice 1  3097      X (PSI)Correction  

On dit que la série de terme général un enveloppe le réel A si, pour tout entier naturel n, on a

un0 et |A-(u0+u1++un)||un+1|.

On dit qu’elle enveloppe strictement le réel A s’il existe une suite (θn)n1 d’éléments de ]0;1[ telle que pour tout entier naturel n:

A-(u0+u1++un)=θn+1un+1.
  • (a)

    Donner un exemple de série divergente qui enveloppe A>0.
    Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel.
    Donner un exemple de série convergente qui n’enveloppe aucun réel.

  • (b)

    Démontrer que, si la série de terme général un enveloppe strictement A, alors elle est alternée.
    Démontrer que A est alors compris entre deux sommes partielles consécutives.

  • (c)

    Démontrer que, si la série de terme général un est alternée et que, pour tout entier n*
    A-(u0+u1++un) est du signe de un+1, alors, elle enveloppe strictement A.

  • (d)

    Démontrer que, si la série de terme général un enveloppe A et si la suite de terme général |un| est strictement décroissante, alors, la série est alternée et encadre strictement A.

Solution

  • (a)

    Pour un=(-1)n, la série de terme général un est divergente et puisque ces sommes partielles valent 0 ou 1, elle enveloppe tout réel de l’intervalle [0;1].
    Pour un=(-1)n/(n+1), la série de terme général un satisfait le critère spécial des séries alternées et donc elle converge et la valeur absolue de son reste est inférieure à son premier terme. Cette série enveloppe donc sa somme, à savoir ln(2).
    Pour un=1/2n, la série de terme général un converge. Puisque un0, le seul réel qu’elle peut envelopper est sa somme, or

    k=0+12k-k=0n12k=k=n+1+12k=12n

    n’est pas inférieur à un+1. Cette série convergente n’enveloppe aucun réel.

  • (b)

    Posons pour la suite de notre étude

    Sn=k=0nuk.

    On a

    θn+2un+2=A-Sn+1=A-Sn-un+1=(θn+1-1)un+1.

    Puisque θn+2>0 et θn+1-1<0, on peut affirmer que un+2 et un+1 sont de signes opposés.
    Puisque A-Sn=θn+1un+1 est du signe de un+1, les réels A-Sn et A-Sn+1 sont de signes opposés et donc A est encadré par Sn et Sn+1.

  • (c)

    Puisque A-Sn est du signe de un+1, on peut écrire A-Sn=θn+1un+1 avec θn+1+.
    Puisque A-Sn+1=(θn+1-1)un+1 est du signe de un+2 et puisque un+1 et un+2 sont de signes opposés, on a θn+1-10 et donc θn+1[0;1].
    On ne peut rien dire de plus, sauf à savoir que A-Sn est non nul pour tout n.
    En effet, pour un=(-1)n et A=1, la série de terme général un est alternée et
    pour n pair: A-Sn=1-1=0 est du signe de un+1.
    pour n impair: A-Sn=1-0=1 est du signe de un+1.
    Si en revanche, on suppose A-Sn0 pour tout n, obtenir θn+1]0;1[ est désormais immédiat.

  • (d)

    Par l’absurde, supposons un+1,un+2>0.
    On a A-Snun+1 donc A-Sn+10 puis A-Sn+2-un+2 et donc |A-Sn+2||un+2|. Or |A-Sn+2||un+3| et |un+3|<|un+2|, c’est absurde et donc un+1 et un+2 ne sont pas tous deux strictement positifs. Un raisonnement symétrique établit qu’ils ne sont pas non plus tous deux strictement négatifs et donc la série de terme général un est alternée à partir du rang 1 (on ne peut rien affirmer pour le rang 0).
    Puisque A-Sn+1=A-Sn-un+1, on a -|un+1|-un+1A-Sn+1|un+1|-un+1.
    Si un+1>0 alors A-Sn+10 et donc du signe de un+2.
    Si un+1<0 alors A-Sn+10 et donc à nouveau du signe de un+2.
    Enfin A-Sn+1 n’est pas nul, car sinon A-Sn+3=A-Sn+1-(un+2+un+3)=-(un+2+un+3) est de signe strict opposé à un+2 et n’est donc pas du signe de un+4.
    On peut alors exploiter le résultat du c) et affirmer que la série de terme général un encadre strictement A.

 
Exercice 2  3917      CENTRALE (MP)Correction  

Soit e=(en)n une suite décroissante à termes strictement positifs telle que la série en converge.
On pose

s=n=0+en et rn=k=n+1+ek pour n.

On introduit

G={n=0+dnen|(dn){-1,1}}.

On dit que la suite e est une base discrète lorsque G est un intervalle.

  • (a)

    Montrer que G est bien défini. Déterminer son maximum et son minimum.

  • (b)

    On suppose dans cette question que (en) est une base discrète. Montrer que enrn pour tout n.

  • (c)

    On suppose que enrn pour tout n. Soit t[-s;s]. On définit la suite (tn) par

    t0=0 et tn+1={tn+en si tnttn-en sinon.

    Montrer que

    |t-tn|en+rn

    et conclure.

  • (d)

    Dans cette question, on suppose en=1/2n pour tout n.
    Déterminer G. Quelles suites (dn) permettent d’obtenir respectivement 0,1,1/2,2 et 1/3?
    Pour xG, y a-t-il une unique suite (dn){-1,1} telle que

    x=n=0+dnen?.

Solution

  • (a)

    Puisque |dnen|en avec convergence de en, on peut affirmer que les éléments de G sont des sommes de séries absolument convergentes. Les éléments de G sont donc bien définis et puisque

    |n=0+dnen|n=0+en=s

    on a G[-s;s]. Enfin sG avec (dn)n=(1)n et -sG avec (dn)n=(-1)n.

  • (b)

    Si e est une base discrète alors G=[-s;s].
    Par l’absurde, supposons qu’il existe N tel que eN>rN.
    Introduisons

    x=k=0N-1ek[-s;s]

    (comprendre x=0 si N=0).
    Soit

    y=n=0+dnen avec dn{-1,1}.

    S’il existe kN tel que dk=-1 alors

    yn=0+dnen-2ek=s-2ek.

    Or

    ekeN

    donc

    y<s-2eN=x+rN-eN<x.

    Si dk=1 pour tout kN alors

    y=n=0Nek+n=N+1+dkekx+eN-rN>x.

    Dans tous les cas, yx et donc xG. C’est absurde.

  • (c)

    Raisonnons par récurrence sur n.

    Cas: n=0. On a bien

    |t-t0|=|t|s=e0+r0.

    Supposons la propriété vérifiée au rang n0.
    Si tnt alors

    t-tn+1=t-tn-enrn

    et

    t-tn+1-en-rn.

    Ainsi,

    |t-tn+1|rn=en+1+rn+1.

    Si tn>t alors

    tn+1-t=tn-t-en

    et l’étude est analogue.
    Récurrence établie.
    On en déduit que tnt puis que tG.
    En conclusion,

    e est une base discrète si, et seulement si, n,enrn.
  • (d)

    La condition précédente est vérifiée et, puisque s=2, on obtient G=[-2;2].
    On peut écrire

    0=1+n=1+(-1)12n,1=1+12+n=2+(-1)12n,12=1-12-14+n=3+12n

    et

    2=n=0+12n.

    En remarquant

    n=0+(-1)n2n=23

    on peut proposer

    13=1-12+n=2+(-1)n-12n.

    Il peut y avoir unicité de la suite (dn) (c’est le cas pour x=s) ou non (c’est le cas pour x=0 où lorsque (dn) convient, (-dn) convient aussi).

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Édité le 08-11-2019

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