• (a)

  $|u_n|\sim 1/n^2$ donc la série $\sum u_n$ est absolument convergente donc convergente.

• (b)

  On applique le critère spécial et l’on conclut que $\sum u_n$ converge.

• (c)

  $u_n=\frac{{(-1)}^n}{n+1}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et l’on peut conclure que $\sum u_n$ converge.

• (d)

  $$u_n=\cos \left(n\pi +\frac{\pi }{2}+\frac{3\pi }{8n}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)=\frac{{(-1)}^{n+1}.3\pi }{8n}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

  donc $\sum u_n$ converge.

• (a)

  Par développement limité,

  $$\frac{{(-1)}^n}{n+\cos (n)}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\frac{{(-1)}^n}{n}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\text{.}$$

  La série étudiée converge en tant que somme d’une série convergeant par le critère spécial et d’une autre convergeant absolument par comparaison.

• (b)

  Pour $n\ge 1$,

  $$\frac{{(-1)}^n}{n+\cos (n)}-\frac{{(-1)}^n}{n}=\frac{{(-1)}^n\cos (n)}{n\left(n+\cos (n)\right)}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\text{.}$$

  On peut reprendre les arguments précédents, la méthode n’est pas franchement différente de la résolution ci-dessus…

• (c)

  La série est alternée et son terme général tend vers $0$. Il reste à vérifier qu’il décroît en valeur absolue. Pour $x\in ℝ$, on remarque

  $$\cos (x+1)-\cos (x)=-2\sin \left(\frac{1}{2}\right)\sin \left(\frac{x+1}{2}\right)\ge -2\sin \left(\frac{1}{2}\right)\ge -1$$

  car on sait $\sin (x)\le x$ pour tout $x\in {ℝ}_{+}$. On en déduit

  $$n+1+\cos (n+1)\ge n+\cos (n)\mathit{\hspace{1em}}\text{pour tout }n\in \mathbb{N}$$

  et l’on peut conclure que le critère spécial s’applique.

Il s’agit d’une série alternée.

$$\ln \left(\sqrt[n]{n!}\right)=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln (k)$$

et ainsi $\ln \left(\sqrt[n]{n!}\right)$ est la moyenne arithmétique de $\ln (1),\ln (2),\mathrm{\dots },\ln (n)$ et donc

$$\ln \left(\sqrt[n]{n!}\right)\le \ln \left(\sqrt[n+1]{(n+1)!}\right)$$

puis

$$\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\ge \frac{1}{\sqrt[n+1]{(n+1)!}}\text{.}$$

De plus, par la croissance de la fonction $x\mapsto \ln (x)$,

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln (k)\ge \frac{1}{n}{\int }_1^n\ln (x)dx=\ln (n)-1\to +\mathrm{\infty }$$

et donc

$$\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\to 0\text{.}$$

Finalement, on peut appliquer le critère spécial des séries alternées et conclure.

On a

$$\sin \left(n\pi +\frac{\pi }{n}\right)={(-1)}^n\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)=\frac{{(-1)}^n\pi }{n}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^3}\right)$$

donc la série est semi-convergente.

$\sqrt{n^2+1}=n+\frac{1}{2n}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$ donc $u_n=\frac{{(-1)}^n\pi }{2n}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$ est terme général d’une série convergente.

• (a)

  On a

  $$u_n=\frac{{(-1)}^n}{2\sqrt{n}}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$

  donc $\sum u_n$ converge.

• (b)

  On a

  	$u_n$	$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}{\displaystyle \frac{{(-1)}^n}{\ln (n)+\frac{{(-1)}^n}{n}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{n}\right)}}$
  		$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}{\displaystyle \frac{{(-1)}^n}{\ln (n)}}-{\displaystyle \frac{1}{n{\ln }^2(n)}}+\mathrm{o}\left({\displaystyle \frac{1}{n{\ln }^2(n)}}\right)\text{.}$

  Or la série de la série de terme général $\frac{1}{n{\ln }^2(n)}$ est absolument convergente (utiliser une comparaison avec une intégrale) donc $\sum u_n$ est convergente.

• (c)

  On a

  $$u_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\frac{{(-1)}^n}{\ln (n)}+\frac{1}{{\left(\ln (n)\right)}^2}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{{\left(\ln (n)\right)}^2}\right)\text{.}$$

  La série de terme général $\frac{{(-1)}^n}{\ln (n)}$ est convergente alors que la série de terme général $\frac{1}{{\left(\ln (n)\right)}^2}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{{\left(\ln (n)\right)}^2}\right)$ est divergente par équivalence de séries à termes positifs. On conclut que $\sum u_n$ est divergente.

Par comparaison avec une intégrale:

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }2\sqrt{n}\text{.}$$

On a alors

	$u_n$	$={\displaystyle \frac{{(-1)}^n}{{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}}}{\displaystyle \frac{1}{1+\frac{{(-1)}^{n-1}}{{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}}}}$
		$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}{\displaystyle \frac{{(-1)}^n}{{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{\left({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}^2}}+\mathrm{o}\left({\displaystyle \frac{1}{{\left({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}^2}}\right)\text{.}$

La série de terme général

$$\frac{{(-1)}^n}{{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}}$$

converge en vertu du critère spécial.
On a

$$\frac{1}{{\left({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}^2}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{{\left({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}^2}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{4n}$$

donc par comparaison de série à termes positifs il y a divergence de la série de terme général

$$\frac{1}{{\left({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}^2}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{{\left({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}^2}\right)\text{.}$$

Par sommation d’une série convergente et d’une série divergente la série de terme général diverge.

Puisque $u_n\to 0$, il revient au même d’étudier la nature de la série de terme général

$$v_n=u_{2n}+u_{2n+1}\text{.}$$

Or

$$v_n=\frac{\sin \left(\ln (2n)\right)}{2n(2n+1)}+\frac{\sin (\ln (2n+1))-\sin \left(\ln (2n)\right)}{2n+1}\text{.}$$

D’une part,

$$\frac{\sin \left(\ln (2n)\right)}{2n(2n+1)}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

D’autre part, en vertu du théorème des accroissements finis, il existe $c$ compris entre $\ln (2n)$ et $\ln (2n+1)$ tel que

$$\frac{\sin (\ln (2n+1))-\sin \left(\ln (2n)\right)}{2n+1}=\frac{\cos (c)\left(\ln (2n+1)-\ln (2n)\right)}{2n+1}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\text{.}$$

On en déduit

$$v_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

La série de terme général $v_n$ est absolument convergente et donc convergente.

Montrons que la série étudiée est divergente. Notons $S_n$ la somme partielle de rang $n$ de cette série. Nous allons construire deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ de limite $+\mathrm{\infty }$ telles que $S_{b_n}-S_{a_n}$ ne tend pas zéros ce qui assure la divergence de la série étudiée.
Soit $n\ge 1$ fixé. Les indices $k$ vérifiant

$$2n\pi -\frac{\pi }{4}\le \sqrt{k}\le 2n\pi +\frac{\pi }{4}$$

sont tels que

$$\mathrm{Re}({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\sqrt{k}})\ge \frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}$$

Posons alors

$$a_n=\lfloor 2n\pi -\pi /4\rfloor \mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{b}_n=\lfloor 2n\pi +\pi /4\rfloor \text{.}$$

On a

$$S_{b_n}-S_{a_n}=\sum _{k=a_n+1}^{b_n}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\sqrt{k}}}{\sqrt{k}}$$

et donc par construction

$$\mathrm{Re}(S_{b_n}-S_{a_n})\ge \frac{1}{\sqrt{2}}\sum _{k=a_{n+1}}^{b_n}\frac{1}{\sqrt{k}}\text{.}$$

Puisque la fonction $t\mapsto 1/\sqrt{t}$ est décroissante, on a la comparaison intégrale

$$\mathrm{Re}(S_{b_n}-S_{a_n})\ge \frac{1}{\sqrt{2}}\sum _{k=a_n+1}^{b_n}{\int }_k^{k+1}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=\sqrt{2}\left(\sqrt{b_n+1}-\sqrt{a_n+1}\right)\text{.}$$

Or

$$\sqrt{b_n+1}-\sqrt{a_n+1}=\frac{b_n-a_n}{\sqrt{b_n+1}+\sqrt{a_n+1}}\sim \frac{2n{\pi }^2}{4n\pi }\to \frac{\pi }{2}$$

donc $S_{b_n}-S_{a_n}$ ne tend par 0 et l’on peut conclure que la série étudiée diverge.

Pour

$$\frac{k(k-1)}{2}<n\le \frac{k(k+1)}{2}$$

on pose

$$u_n=\frac{{(-1)}^{k-1}}{k}\text{.}$$

Cela définit la suite ${(u_n)}_{n\ge 1}$ de sorte que ses premiers termes sont:

$$1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\mathrm{\dots }$$

Les termes sommées tendent vers 0 et les sommes partielles oscillent entre 0 et 1.