[<] Nature de séries numériques [>] Séries dépendant d'un paramètre et de signe non constant

 
Exercice 1  4638  

Déterminer la nature des séries:

  • (a)

    n1(-1)n-1n

  • (b)

    n1(-1)nn+n

  • (c)

    n1(-1)nn2+3nsin(n).

 
Exercice 2  1034  Correction  

Déterminer la nature de un pour:

  • (a)

    un=(-1)nn2+1

  • (b)

    un=(-1)nn+1

  • (c)

    un=ln(1+(-1)nn+1)

  • (d)

    un=cos(πn2+n+1)

Solution

  • (a)

    |un|1/n2 donc la série un est absolument convergente donc convergente.

  • (b)

    On applique le critère spécial et l’on conclut que un converge.

  • (c)

    un=(-1)nn+1+O(1n2) et l’on peut conclure que un converge.

  • (d)
    un=cos(nπ+π2+3π8n+O(1n2))=(-1)n+1.3π8n+O(1n2)

    donc un converge.

 
Exercice 3  5315     ENSTIM (MP)Correction  

Donner la nature de la série

n1(-1)nn+cos(n).
  • (a)

    Par développement limité.

  • (b)

    En étudiant la série

    n1((-1)nn+cos(n)-(-1)nn).
  • (c)

    En observant que le critère des séries alternées s’applique.

Solution

  • (a)

    Par développement limité,

    (-1)nn+cos(n)=n+(-1)nn+O(1n2).

    La série étudiée converge en tant que somme d’une série convergeant par le critère spécial et d’une autre convergeant absolument par comparaison.

  • (b)

    Pour n1,

    (-1)nn+cos(n)-(-1)nn=(-1)ncos(n)n(n+cos(n))=n+O(1n2).

    On peut reprendre les arguments précédents, la méthode n’est pas franchement différente de la résolution ci-dessus…

  • (c)

    La série est alternée et son terme général tend vers 0. Il reste à vérifier qu’il décroît en valeur absolue. Pour x, on remarque

    cos(x+1)-cos(x)=-2sin(12)sin(x+12)-2sin(12)-1

    car on sait sin(x)x pour tout x+. On en déduit

    n+1+cos(n+1)n+cos(n)pour tout n

    et l’on peut conclure que le critère spécial s’applique.

 
Exercice 4  1035  Correction  

Déterminer la nature de

n1(-1)nn!n.

Solution

Il s’agit d’une série alternée.

ln(n!n)=1nk=1nln(k)

et ainsi ln(n!n) est la moyenne arithmétique de ln(1),ln(2),,ln(n) et donc

ln(n!n)ln((n+1)!n+1)

puis

1nn1(n+1)!n+1.

De plus, par la croissance de la fonction xln(x),

1nk=1nln(k)1n1nln(x)dx=ln(n)-1+

et donc

1n!n0.

Finalement, on peut appliquer le critère spécial des séries alternées et conclure.

 
Exercice 5  1039  Correction  

Déterminer la nature de

n1sin(nπ+πn).

Solution

On a

sin(nπ+πn)=(-1)nsin(πn)=(-1)nπn+O(1n3)

donc la série est semi-convergente.

 
Exercice 6  2793     MINES (MP)Correction  

Convergence de la série de terme général

un=sin(πn2+1).

Solution

n2+1=n+12n+O(1n2) donc un=(-1)nπ2n+O(1n2) est terme général d’une série convergente.

 
Exercice 7  3772     ENSTIM (MP)

Déterminer la nature de la série de terme général

un=cos(n2πln(1+1n)).
 
Exercice 8  2794     MINES (MP)

Déterminer la nature de la série de terme général

un=sin((2+3)nπ).
 
Exercice 9  2351   Correction  

Déterminer la nature de un pour:

  • (a)

    un=n+(-1)n-n

  • (b)

    un=(-1)nln(n+(-1)n)

  • (c)

    un=(-1)nln(n)+(-1)n

Solution

  • (a)

    On a

    un=(-1)n2n+O(1n3/2)

    donc un converge.

  • (b)

    On a

    un =n+(-1)nln(n)+(-1)nn+o(1n)
    =n+(-1)nln(n)-1nln2(n)+o(1nln2(n)).

    Or la série de la série de terme général 1nln2(n) est absolument convergente (utiliser une comparaison avec une intégrale) donc un est convergente.

  • (c)

    On a

    un=n+(-1)nln(n)+1(ln(n))2+o(1(ln(n))2).

    La série de terme général (-1)nln(n) est convergente alors que la série de terme général 1(ln(n))2+o(1(ln(n))2) est divergente par équivalence de séries à termes positifs. On conclut que un est divergente.

 
Exercice 10  4639   

Déterminer la nature de la série

n1ln(1+(-1)n-1n).
 
Exercice 11  1045   Correction  

Déterminer la nature de la série de terme général:

un=(-1)nk=1n1k+(-1)n-1.

Solution

Par comparaison avec une intégrale:

k=1n1kn+2n.

On a alors

un =(-1)nk=1n1k11+(-1)n-1k=1n1k
=n+(-1)nk=1n1k+1(k=1n1k)2+o(1(k=1n1k)2).

La série de terme général

(-1)nk=1n1k

converge en vertu du critère spécial.
On a

1(k=1n1k)2+o(1(k=1n1k)2)n+14n

donc par comparaison de série à termes positifs il y a divergence de la série de terme général

1(k=1n1k)2+o(1(k=1n1k)2).

Par sommation d’une série convergente et d’une série divergente la série de terme général diverge.

 
Exercice 12  5035    

Déterminer les natures des séries:

  • (a)

    (-1)nn

  • (b)

    (-1)ln(n)n.

 
Exercice 13  1335     X (MP)Correction  

Étudier la série de terme général

un=(-1)nsin(ln(n))n.

Solution

Puisque un0, il revient au même d’étudier la nature de la série de terme général

vn=u2n+u2n+1.

Or

vn=sin(ln(2n))2n(2n+1)+sin(ln(2n+1))-sin(ln(2n))2n+1.

D’une part,

sin(ln(2n))2n(2n+1)=n+O(1n2)

D’autre part, en vertu du théorème des accroissements finis, il existe c compris entre ln(2n) et ln(2n+1) tel que

sin(ln(2n+1))-sin(ln(2n))2n+1=cos(c)(ln(2n+1)-ln(2n))2n+1=n+O(1n2).

On en déduit

vn=n+O(1n2)

La série de terme général vn est absolument convergente et donc convergente.

 
Exercice 14  3236    

Montrer la divergence de la série

cos(ln(n))n.
 
Exercice 15  1337      X (MP)Correction  

Quelle est la nature de la série de terme général

einn?

Solution

Montrons que la série étudiée est divergente. Notons Sn la somme partielle de rang n de cette série. Nous allons construire deux suites (an) et (bn) de limite + telles que Sbn-San ne tend pas zéros ce qui assure la divergence de la série étudiée.
Soit n1 fixé. Les indices k vérifiant

2nπ-π4k2nπ+π4

sont tels que

Re(eik)12.

Posons alors

an=2nπ-π/4etbn=2nπ+π/4.

On a

Sbn-San=k=an+1bneikk

et donc par construction

Re(Sbn-San)12k=an+1bn1k.

Puisque la fonction t1/t est décroissante, on a la comparaison intégrale

Re(Sbn-San)12k=an+1bnkk+1dtt=2(bn+1-an+1).

Or

bn+1-an+1=bn-anbn+1+an+12nπ24nππ2

donc Sbn-San ne tend par 0 et l’on peut conclure que la série étudiée diverge.

 
Exercice 16  4918   

Déterminer une suite réelle (un) de limite nulle telle que la suite des sommes partielles de la série un diverge sans limite.

 
Exercice 17  2962     X (MP)Correction  

Donner un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 et dont les sommes partielles sont bornées.

Solution

Pour

k(k-1)2<nk(k+1)2

on pose

un=(-1)k-1k.

Cela définit la suite (un)n1 de sorte que ses premiers termes sont:

1,-12,-12,13,13,13,-14,-14,-14,-14,

Les termes sommées tendent vers 0 et les sommes partielles oscillent entre 0 et 1.

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Édité le 08-11-2019

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