Exercice 1 1034 Correction

Déterminer la nature de $\sum u_{n}$ pour:

(a)

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1}$
(b)

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n + 1}}$
(c)

$u_{n} = \ln (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{n + 1})$
(d)

$u_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{\ln (n)}{n}$

Solution

(a)

On a

$| u_{n} | \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n^{2}} .$

La série $\sum u_{n}$ est absolument convergente donc convergente.
(b)

La série étudiée est alternée car $u_{n} = {(- 1)}^{n} | u_{n} |$ pour tout $n \in ℕ$ . Puisque $| u_{n} |$ décroît et tend vers $0$ , le critère spécial s’applique et l’on conclut que $\sum u_{n}$ converge.
(c)

Par développement limité,

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n + 1} + O (\frac{1}{n^{2}}) .$

La série étudiée est la somme d’une série convergeant par le critère spécial et d’une autre absolument convergente. La série $\sum u_{n}$ converge.
(d)

La fonction $x \mapsto \ln (x) / x$ est décroissante sur $[e; + \infty [$ . On peut appliquer le critère spécial à la série étudiée à partir d’un certain rang.

Exercice 2 1035 Correction

Déterminer la nature de

\sum_{n \geq 1} \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt[n]{n!}} .

Solution

Il s’agit d’une série alternée.

\ln (\sqrt[n]{n!}) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \ln (k)

et ainsi $\ln (\sqrt[n]{n!})$ est la moyenne arithmétique de $\ln (1), \ln (2), \dots, \ln (n)$ et donc

\ln (\sqrt[n]{n!}) \leq \ln (\sqrt[n + 1]{(n + 1)!})

puis

\frac{1}{\sqrt[n]{n}} \geq \frac{1}{\sqrt[n + 1]{(n + 1)!}} .

De plus, par la croissance de la fonction $x \mapsto \ln (x)$ ,

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \ln (k) \geq \frac{1}{n} \int_{1}^{n} \ln (x) d x = \ln (n) - 1 \to_{n \to + \infty}^{} + \infty

et donc

\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Finalement, on peut appliquer le critère spécial des séries alternées et conclure.

Exercice 3 5991 Correction

Étudier la convergence et la convergence absolue de

\sum_{n \geq 0} \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{2 n}} (\binom{2 n}{n}) .

Solution

La série étudiée est de la forme $\sum {(- 1)}^{n} u_{n}$ avec

u_{n} = \frac{1}{2^{2 n}} (\binom{2 n}{n}) = \frac{(2 n)!}{2^{2 n} {(n!)}^{2}} pour tout n \in ℕ .

La suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est à termes strictement positifs avec

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{(2 n + 1) (2 n + 2)}{4 {(n + 1)}^{2}} = \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \leq 1 .

La suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est donc décroissante.

Par l’équivalent de Stirling,

u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{\sqrt{4 π n} {(2 n / e)}^{2 n}}{2^{2 n + 1} π n {(n / e)}^{2 n}} = \frac{1}{\sqrt{π n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Par le critère spécial des séries alternées, $\sum {(- 1)}^{n} u_{n}$ converge.

En revanche, par l’équivalent qui précède et par équivalence de séries à termes positifs, $\sum | {(- 1)}^{n} u_{n} | = \sum u_{n}$ diverge.

La série étudiée converge mais ne converge pas absolument.

Exercice 4 2793 MINES (PSI)Correction

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = \sin (π \sqrt{n^{2} + 1}) .

Solution

Par développement limité,

\sqrt{n^{2} + 1} \underset{n \to + \infty}{=} n + \frac{1}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}})

donc

	$u_{n}$	$\underset{n \to + \infty}{=} \sin (n π + \frac{π}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}}))$
		$= {(- 1)}^{n} \sin (\frac{π}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}}))$
		$= \frac{{(- 1)}^{n} π}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}}) .$

Le terme $u_{n}$ est la somme d’un terme d’une série qui converge par le critère spécial et d’un autre d’une série absolument convergente. La série étudiée converge.

Exercice 5 3772 ENSTIM (MP)

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = \cos (n^{2} π \ln (1 + \frac{1}{n})) .

Exercice 6 2794 MINES (MP)

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = \sin ({(2 + \sqrt{3})}^{n} π) .

Exercice 7 2351 Correction

Déterminer la nature de $\sum u_{n}$ pour:

(a)

$u_{n} = \sqrt{n + {(- 1)}^{n}} - \sqrt{n}$
(b)

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{\ln (n + {(- 1)}^{n})}$
(c)

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{\ln (n) + {(- 1)}^{n}}$

Solution

(a)

On a

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2 \sqrt{n}} + O (\frac{1}{n^{3 / 2}})$

donc $\sum u_{n}$ converge.
(b)

On a

$u_{n}$ $\underset{n \to + \infty}{=} \frac{{(- 1)}^{n}}{\ln (n) + \frac{{(- 1)}^{n}}{n} + o (\frac{1}{n})}$

$\underset{n \to + \infty}{=} \frac{{(- 1)}^{n}}{\ln (n)} - \frac{1}{n \ln^{2} (n)} + o (\frac{1}{n \ln^{2} (n)}) .$

Or la série de la série de terme général $\frac{1}{n \ln^{2} (n)}$ est absolument convergente (utiliser une comparaison avec une intégrale) donc $\sum u_{n}$ est convergente.
(c)

On a

$u_{n} \underset{n \to + \infty}{=} \frac{{(- 1)}^{n}}{\ln (n)} + \frac{1}{{(\ln (n))}^{2}} + o (\frac{1}{{(\ln (n))}^{2}}) .$

La série de terme général $\frac{{(- 1)}^{n}}{\ln (n)}$ est convergente alors que la série de terme général $\frac{1}{{(\ln (n))}^{2}} + o (\frac{1}{{(\ln (n))}^{2}})$ est divergente par équivalence de séries à termes positifs. On conclut que $\sum u_{n}$ est divergente.

Exercice 8 4639

Déterminer la nature de la série

\sum_{n \geq 1} \ln (1 + \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{\sqrt{n}}) .

Exercice 9 1045 Correction

Déterminer la nature de la série de terme général:

u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} + {(- 1)}^{n - 1}} .

Solution

Par comparaison avec une intégrale,

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \underset{n \to + \infty}{\sim} 2 \sqrt{n} .

On a alors

	$u_{n}$	$= \frac{{(- 1)}^{n}}{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}} \frac{1}{1 + \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}}}$
		$\underset{n \to + \infty}{=} \frac{{(- 1)}^{n}}{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}} + \frac{1}{{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}})}^{2}} + o (\frac{1}{{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}})}^{2}}) .$

La série de terme général

\frac{{(- 1)}^{n}}{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}}

converge en vertu du critère spécial.
On a

\frac{1}{{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}})}^{2}} + o (\frac{1}{{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}})}^{2}}) \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{4 n}

donc par comparaison de série à termes positifs il y a divergence de la série de terme général

\frac{1}{{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}})}^{2}} + o (\frac{1}{{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}})}^{2}}) .

Par sommation d’une série convergente et d’une série divergente la série de terme général diverge.

Exercice 10 5035

Déterminer les natures des séries:

(a)

$\sum \frac{{(- 1)}^{⌊ \sqrt{n} ⌋}}{n}$
(b)

$\sum \frac{{(- 1)}^{⌊ \ln (n) ⌋}}{n}$ .

Exercice 11 1335 X (MP)Correction

Étudier la série de terme général

u_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{\sin (\ln (n))}{n} .

Solution

Puisque $u_{n} \to 0$ , il revient au même d’étudier la nature de la série de terme général

v_{n} = u_{2 n} + u_{2 n + 1} .

v_{n} = \frac{\sin (\ln (2 n))}{2 n (2 n + 1)} + \frac{\sin (\ln (2 n + 1)) - \sin (\ln (2 n))}{2 n + 1} .

D’une part,

\frac{\sin (\ln (2 n))}{2 n (2 n + 1)} \underset{n \to + \infty}{=} O (\frac{1}{n^{2}}) .

D’autre part, en vertu du théorème des accroissements finis, il existe $c$ compris entre $\ln (2 n)$ et $\ln (2 n + 1)$ tel que

\frac{\sin (\ln (2 n + 1)) - \sin (\ln (2 n))}{2 n + 1} = \frac{\cos (c) (\ln (2 n + 1) - \ln (2 n))}{2 n + 1} \underset{n \to + \infty}{=} O (\frac{1}{n^{2}}) .

On en déduit

v_{n} \underset{n \to + \infty}{=} O (\frac{1}{n^{2}}) .

La série de terme général $v_{n}$ est absolument convergente et donc convergente.

Exercice 12 3236

Montrer la divergence de la série

\sum \frac{\cos (\ln (n))}{n} .

Exercice 13 1337 X (MP)Correction

Quelle est la nature de la série de terme général

\frac{e^{i \sqrt{n}}}{\sqrt{n}} ?

Solution

Montrons que la série étudiée est divergente. Notons $S_{n}$ la somme partielle de rang $n$ de cette série. Nous allons construire deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ de limite $+ \infty$ telles que $S_{b_{n}} - S_{a_{n}}$ ne tend pas zéros ce qui assure la divergence de la série étudiée.
Soit $n \geq 1$ fixé. Les indices $k$ vérifiant

2 n π - \frac{π}{4} \leq \sqrt{k} \leq 2 n π + \frac{π}{4}

sont tels que

Re (e^{i \sqrt{k}}) \geq \frac{1}{\sqrt{2}} .

Posons alors

a_{n} = ⌊ 2 n π - π / 4 ⌋ et b_{n} = ⌊ 2 n π + π / 4 ⌋ .

On a

S_{b_{n}} - S_{a_{n}} = \sum_{k = a_{n} + 1}^{b_{n}} \frac{e^{i \sqrt{k}}}{\sqrt{k}}

et donc par construction

Re (S_{b_{n}} - S_{a_{n}}) \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k = a_{n + 1}}^{b_{n}} \frac{1}{\sqrt{k}} .

Puisque la fonction $t \mapsto 1 / \sqrt{t}$ est décroissante, on a la comparaison intégrale

Re (S_{b_{n}} - S_{a_{n}}) \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k = a_{n} + 1}^{b_{n}} \int_{k}^{k + 1} \frac{d t}{\sqrt{t}} = \sqrt{2} (\sqrt{b_{n} + 1} - \sqrt{a_{n} + 1}) .

\sqrt{b_{n} + 1} - \sqrt{a_{n} + 1} = \frac{b_{n} - a_{n}}{\sqrt{b_{n} + 1} + \sqrt{a_{n} + 1}} \sim \frac{2 n π^{2}}{4 n π} \to \frac{π}{2}

donc $S_{b_{n}} - S_{a_{n}}$ ne tend pas vers $0$ et l’on peut conclure que la série étudiée diverge.

Exercice 14 4918

Déterminer une suite réelle $(u_{n})$ de limite nulle telle que la suite des sommes partielles de la série $\sum u_{n}$ diverge sans limite.

Exercice 15 2962 X (MP)Correction

Donner un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 et dont les sommes partielles sont bornées.

Solution

Pour

\frac{k (k - 1)}{2} < n \leq \frac{k (k + 1)}{2}

on pose

u_{n} = \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k} .

Cela définit la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ de sorte que ses premiers termes sont:

1, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, \dots

Les termes sommées tendent vers 0 et les sommes partielles oscillent entre 0 et 1.

[<] Nature de séries numériques [>] Séries dépendant d'un paramètre et de signe non constant

Édité le 26-10-2024

	$u_{n}$	$\underset{n \to + \infty}{=} \frac{{(- 1)}^{n}}{\ln (n) + \frac{{(- 1)}^{n}}{n} + o (\frac{1}{n})}$
		$\underset{n \to + \infty}{=} \frac{{(- 1)}^{n}}{\ln (n)} - \frac{1}{n \ln^{2} (n)} + o (\frac{1}{n \ln^{2} (n)}) .$

Séries de signe non constant