Exercice 1 3429 Correction

Soient $p \in ℕ$ et $α > 0$ . Déterminer la nature des séries de termes généraux

v_{n} = {(\binom{n + p}{p})}^{- α} et w_{n} = {(- 1)}^{n} {(\binom{n + p}{p})}^{- α} .

Solution

On a

(\binom{n + p}{p}) = \frac{(n + p) (n + p - 1) \dots (n + 1)}{p!} \sim \frac{1}{p!} n^{p}

donc

v_{n} \sim \frac{{(p!)}^{α}}{n^{p α}} .

Par équivalence de séries à termes positifs, la série numérique $\sum v_{n}$ converge si, et seulement si, $α > 1 / p$ .
On a

(\binom{n + p + 1}{p + 1}) = (\binom{n + p}{p + 1}) + (\binom{n + p}{p}) \geq (\binom{n + p}{p})

donc la suite $(| w_{n} |)$ est décroissante. De plus, elle de limite nulle et le critère spécial des séries alternées assure alors la convergence de $\sum w_{n}$ pour tout $α > 0$ .

Exercice 2 1087 Correction

Soit $α > 0$ . Préciser la nature de la série $\sum_{n \geq 2} u_{n}$ avec

u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n^{α} + {(- 1)}^{n}}} .

Solution

On a

u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{α / 2}} (1 - \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n^{α}} + O (\frac{1}{n^{2 α}})) = \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{α / 2}} - \frac{1}{2 n^{3 α / 2}} + O (\frac{1}{n^{5 α / 2}}) .

Si $α \leq 0$ alors $u_{n} \to̸ 0$ donc $\sum_{n \geq 2} u_{n}$ diverge. Si $α > 0$ alors $\sum_{n \geq 2} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{α}}$ converge.
Si $\frac{3 α}{2} > 1$ alors

- \frac{1}{2 n^{3 α / 2}} + O (\frac{1}{n^{5 α / 2}})

est le terme général d’une série absolument convergente et donc $\sum_{n \geq 2} u_{n}$ converge.
Si $\frac{3 α}{2} \leq 1$ alors

- \frac{1}{2 n^{3 α / 2}} + O (\frac{1}{n^{5 α / 2}}) \sim \frac{- 1}{2 n^{3 α / 2}}

(de signe constant) est le terme général d’une série divergente donc $\sum_{n \geq 2} u_{n}$ .

Exercice 3 2790 MINES (MP)Correction

Nature de la série de terme général

u_{n} = \ln (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{a}})

où $a > 0$ .

Solution

Par développement limité,

\ln (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{a}}) \underset{n \to + \infty}{=} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{a}} - \frac{1}{2} \frac{1}{n^{2 a}} + o (\frac{1}{n^{2 a}}) .

Par le critère spécial, $\frac{{(- 1)}^{n}}{n^{a}}$ est terme général d’une série convergente.

Par comparaison de séries à termes positifs

- \frac{1}{2} \frac{1}{n^{2 a}} + o (\frac{1}{n^{2 a}}) \underset{n \to + \infty}{\sim} - \frac{1}{2} \frac{1}{n^{2 a}}

est terme général d’une série convergente si, et seulement si, $a > 1 / 2$ .

Finalement, la série étudiée converge si, et seulement si, $a > 1 / 2$ .

Exercice 4 2515 CCINP (MP)Correction

Étudier la nature de la série de terme général

u_{n} = \ln (1 + \sin (\frac{{(- 1)}^{n}}{n^{α}}))

pour $α > 0$ .

Solution

Par développement

u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{α}} - \frac{1}{2 n^{2 α}} + o (\frac{1}{n^{2 α}}) = v_{n} + w_{n}

avec

v_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{α}} et w_{n} = - \frac{1}{2 n^{2 α}} + o (\frac{1}{n^{2 α}})

$\sum v_{n}$ converge en vertu du critère spécial des séries alternées et $\sum w_{n}$ converge si, et seulement si, $2 α > 1$ par équivalence de termes généraux de séries de signe constant. Au final, $\sum u_{n}$ converge si, et seulement si, $α > 1 / 2$ .

Exercice 5 1065 Correction

Soit $α \in ℝ$ .

(a)

Déterminer la nature de la série de terme général

$u_{n} = \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{α}} .$
(b)

Même question avec la série de terme général ${(- 1)}^{n} u_{n}$ .

Solution

(a)

La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ étant croissante,

$\int_{0}^{n} \sqrt{x} d x \leq \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \leq \int_{1}^{n + 1} \sqrt{x} d x$

et donc

$\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{2}{3} n^{3 / 2} .$

Il y a donc convergence de la série de terme général $u_{n}$ si, et seulement si, $α > 5 / 2$ .
(b)

Par l’encadrement qui précède,

$0 \leq \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} - \int_{0}^{n} \sqrt{x} d x \leq \int_{n}^{n + 1} \sqrt{x} d x \leq \sqrt{n + 1}$

donc

$\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \underset{n \to + \infty}{=} \frac{2}{3} n^{3 / 2} + O (\sqrt{n})$

puis

${(- 1)}^{n} u_{n} \underset{n \to + \infty}{=} \frac{{(- 1)}^{n} 2}{3 n^{α - 3 / 2}} + O (\frac{1}{n^{α - 1 / 2}}) .$

Cas: $α > 5 / 2$ . Il y a absolue convergence comme ci-dessus.

Cas: $3 / 2 < α \leq 5 / 2$ . Il y a convergence par somme d’une série convergente et d’une série absolument convergente.

Cas: $α \leq 3 / 2$ . Il y a divergence grossière.

Exercice 6 2791 MINES (MP)Correction

Nature de la série de terme général

u_{n} = \ln (\frac{\sqrt{n} + {(- 1)}^{n}}{\sqrt{n + a}})

où $a \in ℝ$ .

Solution

On a

u_{n} = \ln (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n}}) - \frac{1}{2} \ln (1 + \frac{a}{n}) = \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n}} - \frac{(a + 1)}{2 n} + O (\frac{1}{n^{3 / 2}}) .

Par suite, la série $\sum u_{n}$ converge si, et seulement si, $a = - 1$ .

Exercice 7 3208 Correction

$α$ désigne un réel strictement positif.
Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = \int_{0}^{{(- 1)}^{n} / n^{α}} \frac{\sqrt{| x |}}{1 + x} d x .

Solution

Quand $x \to 0$ , on a

\frac{\sqrt{| x |}}{1 + x} = \sqrt{| x |} - x \sqrt{| x |} + o (x^{3 / 2}) .

On en déduit

u_{n} = \int_{0}^{{(- 1)}^{n} / n^{α}} \sqrt{| x |} d x - \int_{0}^{{(- 1)}^{n} / n^{α}} x \sqrt{| x |} d x + o (\frac{1}{n^{5 α / 2}}) .

Par parité

u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} 2}{3 n^{3 α / 2}} - \frac{2}{5 n^{5 α / 2}} + o (\frac{1}{n^{5 α / 2}}) .

Par le critère spécial des séries alternées, la série de terme général ${(- 1)}^{n} / n^{3 α / 2}$ converge et par équivalence de séries à termes de signe constant, la série de terme général

- \frac{2}{5 n^{5 α / 2}} + o (\frac{1}{n^{5 α / 2}}) \sim - \frac{2}{5 n^{5 α / 2}}

converge si, et seulement si, $5 α / 2 > 1$ .
On en déduit que la série de terme général $u_{n}$ converge si, et seulement si, $α > 2 / 5$ .

Exercice 8 2423 CENTRALE (MP)Correction

On pose

u_{n} = \sum_{p = n}^{+ \infty} \frac{1}{{(p + 1)}^{α}} et v_{n} = \sum_{p = n}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{p}}{{(p + 1)}^{α}} .

(a)

Déterminer la nature de la série de terme général $u_{n}$ selon $α$ .
(b)

Déterminer la nature de la série de terme général $v_{n}$ selon $α$ .

Solution

(a)

Pour définir $u_{n}$ , il est nécessaire de supposer $α > 1$ .
Par comparaison avec une intégrale, on montre

$u_{n} \sim \frac{1}{α - 1} \frac{1}{n^{α - 1}} .$

Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum u_{n}$ converge si, et seulement si, $α > 2$ .
(b)

Pour définir $u_{n}$ , il est nécessaire de supposer $α > 0$ .
Par application du critère spécial des séries alternées, $v_{n}$ étant le reste de la série $\sum \frac{{(- 1)}^{p}}{{(p + 1)}^{α}}$ est du signe de ${(- 1)}^{n}$ et $| v_{n} | \leq \frac{1}{{(n + 1)}^{α}} \to 0$ .
De plus,

$| v_{n} | - | v_{n + 1} | = \sum_{p = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{p}}{{(p + n + 1)}^{α}} - \sum_{p = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{p}}{{(p + n + 2)}^{α}}$

donc

$| v_{n} | - | v_{n + 1} | = \sum_{p = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{p} (\frac{1}{{(p + n + 1)}^{α}} - \frac{1}{{(p + n + 2)}^{α}}) .$

Par le théorème des accroissements finis

$\frac{1}{{(p + n + 2)}^{α}} - \frac{1}{{(p + n + 1)}^{α}} = - \frac{α}{{(c_{n})}^{α + 1}}$

avec $c_{n} \in] p + n + 1; p + n + 2 [$ .
La suite $(c_{n})$ est croissante donc on peut appliquer le critère spécial des séries alternées à

$\sum {(- 1)}^{p} (\frac{1}{{(p + n + 1)}^{α}} - \frac{1}{{(p + n + 2)}^{α}})$

et conclure que sa somme est du signe de son premier terme. Au final, $(| v_{n} |)$ est décroissant et en appliquant une dernière fois le critère spécial des séries alternées, on conclut que $\sum v_{n}$ converge.

Exercice 9 2802 MINES (MP)Correction

Soit $(a, α) \in ℝ_{+} \times ℝ$ et, pour $n \in ℕ^{*}$ :

u_{n} = a^{\sum_{k = 1}^{n} 1 / k^{α}} .

(a)

Pour quels couples $(a, α)$ la suite $(u_{n})$ est-elle convergente?

Dans la suite, on suppose que tel est le cas, on note $ℓ = lim u_{n}$ et l’on pose, si $n \in ℕ^{*}$ ,

v_{n} = u_{n} - ℓ .

(b)

Nature des séries de termes généraux $v_{n}$ et ${(- 1)}^{n} v_{n}$ .

Solution

(a)

Si $α \leq 1$ alors

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{α}} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty$

et donc $u_{n} \to 0$ si $a \in [0; 1 [$ , $u_{n} \to 1$ si $a = 1$ et $(u_{n})$ diverge si $a > 1$ .

Si $α > 1$ alors $(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{α}})$ converge et donc $(u_{n})$ aussi.
(b)

Cas: $α \leq 1$ et $a = 1$ . $u_{n} = 1$ , $v_{n} = 0$ et l’on peut conclure.

Cas: $α < 1$ et $a \in [0; 1 [$ . $ℓ = 0$ , $v_{n} = u_{n}$ ,

$n^{2} v_{n} = e^{2 \ln (n) + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{α}} \ln (a)} \to_{n \to + \infty}^{} 0$

car

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{α}} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{α - 1} \frac{1}{n^{α - 1}} .$

Cas: $α = 1$ et $a \in [0; 1 [$ . $ℓ = 0$ ,

$v_{n} = u_{n} = e^{(\ln (n) + γ + o (1)) \ln (a)} \underset{n \to + \infty}{\sim} λ n^{\ln (a)}$

donc $\sum v_{n}$ converge si, et seulement si, $\ln (a) < - 1$ c’est-à-dire $a < - 1 / e$ .

Cas: $α > 1$ . $ℓ = a^{\sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^{α}}}$ ,

$v_{n} = ℓ (e^{- \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^{α}}} - 1) \underset{n \to + \infty}{\sim} - ℓ \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^{α}} = - \frac{ℓ}{(α - 1) n^{α - 1}} .$

Ainsi, $\sum v_{n}$ converge si, et seulement si, $α > 2$ .

Dans chacun des cas précédents, on peut appliquer le critère spécial aux séries alternées et affirmer que $\sum {(- 1)}^{n} v_{n}$ converge.

Séries dépendant d'un paramètre et de signe non constant