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Exercice 1  4548  

Montrer qu’il existe un unique polynôme P[X] vérifiant

P(sin(t))=sin(3t)pour tout t.
 
Exercice 2  5210   

Soit P[X]. Montrer qu’il existe un unique polynôme Q[X] vérifiant

Q(z+1z)=P(z)+P(1z)pour tout z*.
 
Exercice 3  3269     CENTRALE (MP)Correction  

On pose

f(x)=1cos(x).

Démontrer l’existence d’un polynôme Pn de degré n et à coefficients positifs ou nul vérifiant

n1,f(n)(x)=Pn(sin(x))(cos(x))n+1.

Préciser P1,P2,P3 et calculer Pn(1).

Solution

Montrons la propriété par récurrence sur n1.
Pour n=1, P1(X)=X convient.
Supposons la propriété vraie au rang n1.
En dérivant la relation

f(n)(x)=Pn(sin(x))(cos(x))n+1

on obtient

f(n+1)(x)=(n+1)sin(x)Pn(sin(x))+cos2(x)Pn(sin(x))(cos(x))n+2.

Posons alors

Pn+1(X)=(n+1)XPn(X)+(1-X2)Pn(X)

de sorte que

f(n+1)(x)=Pn+1(sin(x))(cos(x))n+2.

On peut écrire

Pn(X)=k=0nakXk avec ak0,an0

et alors

Pn+1(X)=k=0n(n+1-k)akXk+1+k=1nkakXk-1

est un polynôme de degré n+1 à coefficients positif ou nul.
Récurrence établie.
Par la relation de récurrence obtenue ci-dessus

P1(X)=X,P2(X)=1+X2 et P3(X)=5X+X3

et

Pn+1(1)=(n+1)Pn(1)

donc

Pn(1)=n!.

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Édité le 08-11-2019

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