On écrit $P={\sum }_{k=0}^p{a}_k{X}^k\in 𝕂[X]$

• (a)

  On a

  $$P(P(X))-P(X)=\sum _{k=0}^n{a}_k\left({\left[P(X)\right]}^k-X^k\right)$$

  avec $P(X)-X$ divisant ${\left[P(X)\right]}^k-X^k$ car

  $$a^k-b^k=(a-b)\sum _{\mathrm{\ell }=0}^{k-1}{a}^{\mathrm{\ell }}{b}^{k-1-\mathrm{\ell }}\text{.}$$

• (b)

  $P(X)-X$ divise le polynôme $P(P(X))-P(X)$ et le polynôme $P(X)-X$. Il divise donc leur somme $P(P(X))-X$.

• (c)

  Par récurrence sur $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.
  La propriété est immédiate pour $n=1$ et vient d’être établie pour $n=2$.
  Supposons la propriété vraie au rang $n\ge 1$.

  $$P^{\left[n+1\right]}(X)-P(X)=\sum _{k=0}^p{a}_k\left({\left[P^{\left[n\right]}(X)\right]}^k-X^k\right)$$

  $P^{\left[n\right]}(X)-X$ divise ${\left[P^{\left[n\right]}(X)\right]}^k-X^k$ donc $P^{\left[n\right]}(X)-X$ divise $P^{\left[n+1\right]}(X)-P(X)$.
  Par hypothèse de récurrence, $P(X)-X$ divise alors $P^{\left[n+1\right]}(X)-P(X)$ et enfin on en déduit que $P(X)-X$ divise $P^{\left[n+1\right]}(X)-X$.
  Récurrence établie.