[<] Racines [>] Division euclidienne

 
Exercice 1  2133  Correction  

Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant:

  • (a)

    X-1X3-2X2+3X-2

  • (b)

    X-2X3-3X2+3X-2

  • (c)

    X+1X3+3X2-2.

Solution

  • (a)

    X3-2X2+3X-2=(X-1)(X2-X+2).

  • (b)

    X3-3X2+3X-2=(X-2)(X2-X+1).

  • (c)

    X3+3X2-2=(X+1)(X2+2X-2).

 
Exercice 2  4549  

Vérifier que pour tout n*,

(X-1)2(nXn+1-(n+1)Xn+1).

Déterminer le quotient de cette division.

 
Exercice 3  3632   

Montrer que, pour tous a et b*,

baXb-1Xa-1.
 
Exercice 4  2134   Correction  

Soit P𝕂[X].

  • (a)

    Montrer que P(X)-X divise P(P(X))-P(X).

  • (b)

    En déduire que P(X)-X divise P(P(X))-X.

  • (c)

    On note P[n]=PP (composition à n1 facteurs).
    Établir que P(X)-X divise P[n](X)-X

Solution

On écrit P=k=0pakXk𝕂[X]

  • (a)

    On a

    P(P(X))-P(X)=k=0nak([P(X)]k-Xk)

    avec P(X)-X divisant [P(X)]k-Xk car

    ak-bk=(a-b)=0k-1abk-1-.
  • (b)

    P(X)-X divise le polynôme P(P(X))-P(X) et le polynôme P(X)-X. Il divise donc leur somme P(P(X))-X.

  • (c)

    Par récurrence sur n*.
    La propriété est immédiate pour n=1 et vient d’être établie pour n=2.
    Supposons la propriété vraie au rang n1.

    P[n+1](X)-P(X)=k=0pak([P[n](X)]k-Xk)

    P[n](X)-X divise [P[n](X)]k-Xk donc P[n](X)-X divise P[n+1](X)-P(X).
    Par hypothèse de récurrence, P(X)-X divise alors P[n+1](X)-P(X) et enfin on en déduit que P(X)-X divise P[n+1](X)-X.
    Récurrence établie.

 
Exercice 5  4564    

Soit P𝕂[X]. Montrer que P(X)-X divise P(P(X))-X.

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Édité le 08-11-2019

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