[<] Racines et arithmétique [>] Factorisation
Soit un polynôme non nul tel que
Montrer que si est racine de alors l’est aussi
En déduire que ou bien est racine de l’unité.
Solution
Si alors donc est racine de .
Si et non racine de l’unité alors la suite des est une suite de complexe deux à deux distincts, or tous les termes de cette suite sont racines de or donc ce polynôme ne peut avoir une infinité de racines. Absurde.
Déterminer les de tels que
Solution
Soit solution. donc puis donc puis etc.
Ainsi on obtient que avec donc constant.
La réciproque est immédiate.
Montrer que si vérifie
ses racines sont parmi . En déduire tous les polynômes solutions.
Solution
Si est racine de alors le sont aussi. Comme un polynôme non nul n’a qu’un nombre fini de racines, on peut affirmer que les sont redondants ce qui implique ou .
Si est racine de alors l’est aussi donc ou .
Si et on a nécessairement . Via parties réelle et imaginaire, on obtient ou .
Si est solution, non nulle, alors son coefficient dominant vaut 1 et l’on peut écrire:
. En injectant une telle expression dans l’équation, on observe que celle-ci est solution si, et seulement si, et .
Déterminer les polynômes non nuls de vérifiant:
.
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Édité le 29-08-2023
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