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Exercice 1  2159  Correction  

Soit P[X] un polynôme non nul tel que

P(X2)+P(X)P(X+1)=0.
  • (a)

    Montrer que si a est racine de P alors a2 l’est aussi

  • (b)

    En déduire que a=0 ou bien a est racine de l’unité.

Solution

  • (a)

    Si P(a)=0 alors P(a2)=-P(a)P(a+1)=0 donc a2 est racine de P.

  • (b)

    Si a0 et a non racine de l’unité alors la suite des a2n est une suite de complexe deux à deux distincts, or tous les termes de cette suite sont racines de P or P0 donc ce polynôme ne peut avoir une infinité de racines. Absurde.

 
Exercice 2  2668     MINES (MP)Correction  

Déterminer les P de [X] tels que

(X+4)P(X)=XP(X+1).

Solution

Soit P solution. X(X+4)P(X) donc XP puis (X+1)P(X+1) donc (X+1)(X+4)P(X) puis X+1P etc.
Ainsi on obtient que P(X)=X(X+1)(X+2)(X+3)Q(X) avec Q(X+1)=Q(X) donc Q constant.
La réciproque est immédiate.

 
Exercice 3  2164   Correction  

Montrer que si P[X]{0} vérifie

P(X2)=P(X)P(X+1)

ses racines sont parmi 0,1,-j,-j2. En déduire tous les polynômes solutions.

Solution

Si a est racine de P alors a2,a4, le sont aussi. Comme un polynôme non nul n’a qu’un nombre fini de racines, on peut affirmer que les a,a2,a4, sont redondants ce qui implique a=0 ou |a|=1.
Si a est racine de P alors (a-1)2 l’est aussi donc a-1=0 ou |a-1|=1.
Si a0 et a1 on a nécessairement |a|=|a-1|=1. Via parties réelle et imaginaire, on obtient a=-j ou -j2.
Si P est solution, non nulle, alors son coefficient dominant vaut 1 et l’on peut écrire:
P=Xα(X-1)β(X2-X+1)γ. En injectant une telle expression dans l’équation, on observe que celle-ci est solution si, et seulement si, α=β et γ=0.

 
Exercice 4  4558    

Déterminer les polynômes non nuls P de [X] vérifiant:

  • (a)

    P(X2)=P(X)P(X+1)

  • (b)

    P(X2)=P(X)P(X-1).

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Édité le 08-11-2019

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