[<] Racines et équations polynomiales [>] Polynômes scindés

 
Exercice 1  2171  Correction  

Factoriser dans [X] puis dans [X] les polynômes suivants:

  • (a)

    X4-1

  • (b)

    X5-1

  • (c)

    (X2-X+1)2+1.

Solution

  • (a)

    Dans [X]

    X4-1=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i)

    et dans [X]

    X4-1=(X-1)(X+1)(X2+1).
  • (b)

    Dans [X]

    X5-1=k=04(X-e2ikπ5)

    et dans [X]

    X5-1=(X-1)(X2-2cos(2π5)X+1)(X2-2cos(4π5)X+1).
  • (c)

    Dans [X]

    (X2-X+1)2+1=(X2-X+1+i)(X2-X+1-i)=(X-i)(X-1+i)(X+i)(X-1-i)

    et dans [X]

    (X2-X+1)2+1=(X2+1)(X2-2X+2).
 
Exercice 2  4553  
  • (a)

    Décomposer X4+2X3+X2-2X-2 en facteurs irréductibles dans [X].

  • (b)

    Décomposer X4+1 en facteurs irréductibles dans [X].

 
Exercice 3  2172   Correction  

Factoriser dans [X] les polynômes suivants:

  • (a)

    X4+X2+1

  • (b)

    X4+X2-6

  • (c)

    X8+X4+1

Solution

  • (a)

    X4+X2+1=(X2+1)2-X2=(X2+X+1)(X2-X+1)

  • (b)

    X4+X2-6=(X2+1/2)2-25/4=(X2-2)(X2+3)=(X-2)(X+2)(X2+3)

  • (c)

    X8+X4+1=(X4+1)2-(X2)2=(X4-X2+1)(X4+X2+1) puis
    X8+X4+1==(X2+X+1)(X2-X+1)(X2+3X+1)(X2-3X+1).

 
Exercice 4  4552  

Soit n*.

  • (a)

    Décomposer Xn-1 en facteurs irréductibles dans [X].

  • (b)

    Décomposer Xn-1 en facteurs irréductibles dans [X].

 
Exercice 5  2174  Correction  

Former la décomposition primaire dans [X] de P=X2n+1-1 (avec n).

Solution

Les racines complexes de P sont les ωk=e2ikπ2n+1 avec k{0,,2n}.
On observe ωk¯=ω2n-k pour k{1,,n} donc

P=(X-1)k=1n(X-ωk)(X-ωk¯)=(X-1)k=1n(X2-2cos(2kπ2n+1)X+1).
 
Exercice 6  2173   Correction  

Factoriser le polynôme (X+i)n-(X-i)n pour n*.

Solution

Les racines de (X+i)n-(X-i)n sont les zk=cotkπn avec k{1,2,,n-1}.
Par suite,

k=1n-1(X-cotkπn)(X+i)n-(X-i)n

et il existe λ𝕂 tel que

(X+i)n-(X-i)n=λk=1n-1(X-cotkπn).

Le coefficient dominant de (X+i)n-(X-i)n étant 2ni, on obtient

(X+i)n-(X-i)n=2nik=1n-1(X-cotkπn).
 
Exercice 7  4565   

Soient a]0;π[ et n*. Décomposer en facteurs irréductibles dans [X]

X2n-2cos(a)Xn+1.
 
Exercice 8  2182   Correction  

Pour n* on pose Pn=k=0nXk.

  • (a)

    Former la décomposition en facteurs premiers de Pn dans [X].

  • (b)

    En déduire la valeur de k=1nsin(kπn+1).

Solution

  • (a)

    On a

    (X-1)Pn=Xn+1-1=k=0n(X-e2ikπ/(n+1))

    donc

    Pn=k=1n(X-e2ikπ/(n+1)).
  • (b)

    Pn(1)=n+1 et

    Pn(1)=k=1n(1-e2ikπ/(n+1))=(-2i)nk=1nsin(kπn+1)k=1neikπn+1

    mais

    k=1neikπn+1=exp(inπ/2)=in

    donc

    k=1nsin(kπn+1)=n+12n.
 
Exercice 9  2183   

Soient a, n* et Pn=(X+1)n-e2ina

  • (a)

    Déterminer les racines du polynôme Pn ainsi que leurs multiplicités.

  • (b)

    En déduire la valeur de

    k=0n-1sin(a+kπn).
 
Exercice 10  4574    

Soit P[X].

  • (a)

    On suppose P(x)0 pour tout réel x.

    Montrer qu’il existe deux polynômes A,B[X] tels que P=A2+B2.

  • (b)

    On suppose P(x)0 pour tout réel x0.

    Montrer qu’il existe deux polynômes A,B[X] tels que P=A2+XB2.

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Édité le 08-11-2019

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