Exercice 1 2171 Correction

Factoriser dans $ℂ [X]$ puis dans $ℝ [X]$ les polynômes suivants:

(a)

$X^{4} - 1$
(b)

$X^{5} - 1$
(c)

${(X^{2} - X + 1)}^{2} + 1$ .

Solution

(a)

Dans $ℂ [X]$

$X^{4} - 1 = (X - 1) (X + 1) (X - i) (X + i)$

et dans $ℝ [X]$

$X^{4} - 1 = (X - 1) (X + 1) (X^{2} + 1) .$
(b)

Dans $ℂ [X]$

$X^{5} - 1 = \prod_{k = 0}^{4} (X - e^{\frac{2 i k π}{5}})$

et dans $ℝ [X]$

$X^{5} - 1 = (X - 1) (X^{2} - 2 \cos (\frac{2 π}{5}) X + 1) (X^{2} - 2 \cos (\frac{4 π}{5}) X + 1) .$
(c)

Dans $ℂ [X]$

${(X^{2} - X + 1)}^{2} + 1 = (X^{2} - X + 1 + i) (X^{2} - X + 1 - i) = (X - i) (X - 1 + i) (X + i) (X - 1 - i)$

et dans $ℝ [X]$

${(X^{2} - X + 1)}^{2} + 1 = (X^{2} + 1) (X^{2} - 2 X + 2) .$

Exercice 2 4553

(a)

Décomposer $X^{4} + 2 X^{3} + X^{2} - 2 X - 2$ en facteurs irréductibles dans $ℝ [X]$ .
(b)

Décomposer $X^{4} + 1$ en facteurs irréductibles dans $ℝ [X]$ .

Exercice 3 2172 Correction

Factoriser dans $ℝ [X]$ les polynômes suivants:

(a)

$X^{4} + X^{2} + 1$
(b)

$X^{4} + X^{2} - 6$
(c)

$X^{8} + X^{4} + 1$

Solution

(a)

$X^{4} + X^{2} + 1 = {(X^{2} + 1)}^{2} - X^{2} = (X^{2} + X + 1) (X^{2} - X + 1)$
(b)

$X^{4} + X^{2} - 6 = {(X^{2} + 1 / 2)}^{2} - 25 / 4 = (X^{2} - 2) (X^{2} + 3) = (X - \sqrt{2}) (X + \sqrt{2}) (X^{2} + 3)$
(c)

$X^{8} + X^{4} + 1 = {(X^{4} + 1)}^{2} - {(X^{2})}^{2} = (X^{4} - X^{2} + 1) (X^{4} + X^{2} + 1)$ puis
$X^{8} + X^{4} + 1 = = (X^{2} + X + 1) (X^{2} - X + 1) (X^{2} + \sqrt{3} X + 1) (X^{2} - \sqrt{3} X + 1)$ .

Exercice 4 4552

Soit $n \in ℕ^{*}$ .

(a)

Décomposer $X^{n} - 1$ en facteurs irréductibles dans $ℂ [X]$ .
(b)

Décomposer $X^{n} - 1$ en facteurs irréductibles dans $ℝ [X]$ .

Exercice 5 2174 Correction

Former la décomposition primaire dans $ℝ [X]$ de $P = X^{2 n + 1} - 1$ (avec $n \in ℕ$ ).

Solution

Les racines complexes de $P$ sont les $ω_{k} = e^{\frac{2 i k π}{2 n + 1}}$ avec $k \in {0, \dots,2 n}$ .
On observe $\bar{ω_{k}} = ω_{2 n - k}$ pour $k \in {1, \dots, n}$ donc

P = (X - 1) \prod_{k = 1}^{n} (X - ω_{k}) (X - \bar{ω_{k}}) = (X - 1) \prod_{k = 1}^{n} (X^{2} - 2 \cos (\frac{2 k π}{2 n + 1}) X + 1) .

Exercice 6 2173 Correction

Factoriser le polynôme ${(X + i)}^{n} - {(X - i)}^{n}$ pour $n \in ℕ^{*}$ .

Solution

Les racines de ${(X + i)}^{n} - {(X - i)}^{n}$ sont les $z_{k} = \cot (\frac{k π}{n})$ avec $k \in {1,2, \dots, n - 1}$ .
Par suite,

\prod_{k = 1}^{n - 1} (X - \cot (\frac{k π}{n})) ∣ {(X + i)}^{n} - {(X - i)}^{n}

et il existe $λ \in 𝕂$ tel que

{(X + i)}^{n} - {(X - i)}^{n} = λ \prod_{k = 1}^{n - 1} (X - \cot (\frac{k π}{n})) .

Le coefficient dominant de ${(X + i)}^{n} - {(X - i)}^{n}$ étant $2 n i$ , on obtient

{(X + i)}^{n} - {(X - i)}^{n} = 2 n i \prod_{k = 1}^{n - 1} (X - \cot (\frac{k π}{n})) .

Exercice 7 4565

Soient $a \in] 0; π [$ et $n \in ℕ^{*}$ . Décomposer en facteurs irréductibles dans $ℝ [X]$

X^{2 n} - 2 \cos (a) X^{n} + 1 .

Exercice 8 2182 Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ on pose $P_{n} = \sum_{k = 0}^{n} X^{k}$ .

(a)

Former la décomposition en facteurs irréductibles de $P_{n}$ dans $ℂ [X]$ .
(b)

En déduire la valeur de $\prod_{k = 1}^{n} \sin (\frac{k π}{n + 1})$ .

Solution

(a)

On a

$(X - 1) P_{n} = X^{n + 1} - 1 = \prod_{k = 0}^{n} (X - e^{2 i k π / (n + 1)})$

donc

$P_{n} = \prod_{k = 1}^{n} (X - e^{2 i k π / (n + 1)}) .$
(b)

D’une part,

$P_{n} (1) = \sum_{k = 0}^{n} 1^{k} = n + 1 .$

D’autre part,

$P_{n} (1) = \prod_{k = 1}^{n} (1 - e^{2 i k π / (n + 1)}) = {(- 2 i)}^{n} \prod_{k = 1}^{n} \sin (\frac{k π}{n + 1}) \prod_{k = 1}^{n} e^{i \frac{k π}{n + 1}} .$

Cependant,

$\prod_{k = 1}^{n} e^{i \frac{k π}{n + 1}} = \exp (i \frac{π}{n + 1} \sum_{k = 1}^{n} k) = \exp (i \frac{π}{n + 1} \cdot \frac{n (n + 1)}{2}) = \exp (i \frac{n π}{2}) = i^{n}$

et donc

$\prod_{k = 1}^{n} \sin (\frac{k π}{n + 1}) = \frac{n + 1}{2^{n}} .$

Exercice 9 2183

Soient $a \in ℝ$ , $n \in ℕ^{*}$ et $P_{n} = {(X + 1)}^{n} - e^{2 i n a}$

(a)

Déterminer les racines du polynôme $P_{n}$ ainsi que leurs multiplicités.
(b)

Application : Déterminer la valeur de

$\prod_{k = 0}^{n - 1} \sin (a + \frac{k π}{n}) .$

Exercice 10 4574

Soit $P \in ℝ [X]$ .

(a)

On suppose $P (x) \geq 0$ pour tout réel $x$ .

Montrer qu’il existe deux polynômes $A, B \in ℝ [X]$ tels que $P = A^{2} + B^{2}$ .
(b)

On suppose $P (x) \geq 0$ pour tout réel $x \geq 0$ .

Montrer qu’il existe deux polynômes $A, B \in ℝ [X]$ tels que $P = A^{2} + X B^{2}$ .

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Édité le 24-01-2025

Factorisation