Notons $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les coefficients de $1,X$ et $X^2$ dans $P_n$.

Puisque $P_1=X-2$, on a $a_1=-2$, $b_1=1$ et $c_1=0$.

Puisque $P_{n+1}=P_n^2-2$, on a $a_{n+1}=a_n^2-2$, $b_{n+1}=2a_n{b}_n$ et $c_{n+1}=b_n^2+2a_n{c}_n$.

On en déduit $a_2=2$, $b_2=-4$ et $c_2=1$ puis pour $n\ge 3$: $a_n=2$, $b_n=-4^{n-1}$,

• (a)

  Posons

  $$P(X)=(1+X)(1+X^2)(1+X^4)\mathrm{\dots }(1+X^{2^n})\text{.}$$

  En exploitant successivement $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, on obtient

  $$(1-X)P(X)=1-X^{2^{n+1}}\text{.}$$

  On en déduit

  $$P(X)=\frac{1-X^{2^{n+1}}}{1-X}=1+X+X^2+\mathrm{\cdots }+X^{2^{n+1}-1}\text{.}$$

• (b)

  Lorsque l’on développe directement le polynôme $P$, le coefficient de $X^k$ obtenu correspond au nombre de fois qu’il est possible d’écrire $k$ comme la somme des puissances de 2 suivantes: $\mathrm{1,2,4},\mathrm{\dots }{\mathrm{,2}}^n$. Ce nombre vaut 1 compte tenu de l’exercice précédent.

• (a)

  Pour $\mathrm{\ell }\in \mathbb{Z}$ On remarque

  $${\int }_0^{2\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\ell }t}dt=\{\begin{array}{cc}2\pi \hfill & \text{ si }\mathrm{\ell }=0\hfill \\ 0\hfill & \text{ sinon.}\hfill \end{array}$$

  Par combinaison linéaire,

  $${\int }_0^{2\pi }P\left(r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}kt}dt=\{\begin{array}{cc}2\pi a_k{r}^k\hfill & \text{ si }k\in ⟦0;n⟧\hfill \\ 0\text{ sinon.}\hfill & \end{array}$$

• (b)

  Supposons $\left|P(z)\right|\le M$ pour tout $z\in ℂ$. Pour $k\in ⟦0;n⟧$,

  $$2\pi |a_k|r^k=\left|{\int }_0^{2\pi }P\left(r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}kt}dt\right|\le {\int }_0^{2\pi }\left|P\left(r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\right)\right|dt\le 2\pi M$$

  et donc

  $$|a_k|\le \frac{M}{r^k}\underset{r\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\mathit{\hspace{1em}}\text{pour }k\in ⟦1;n⟧\text{.}$$

  On en déduit $a_1=\mathrm{\cdots }=a_n=0$ et le polynôme $P$ est constant.

Puisque le polynôme $P$ est non constant, on peut écrire

avec $a_q\ne 0$ et $Q\in ℂ[X]$.

Posons $\theta$ un argument du complexe $a_q$ et considérons la suite $(z_n)$ de terme général

On a $z_n\to 0$ et

On en déduit que $\left|P(z_n)\right|<1$ pour $n$ assez grand.