[>] Équations à inconnue polynomiale

 
Exercice 1  2553    CCP (MP)Correction  

Soit (Pn)n* la suite de polynômes définie par

P1=X-2etPn+1=Pn2-2pour tout n*.

Calculer le coefficient de X2 dans Pn.

Solution

Notons an ,bn et cn les coefficients de 1,X et X2 dans Pn.

Puisque P1=X-2, on a a1=-2, b1=1 et c1=0.

Puisque Pn+1=Pn2-2, on a an+1=an2-2, bn+1=2anbn et cn+1=bn2+2ancn.

On en déduit a2=2, b2=-4 et c2=1 puis pour n3: an=2, bn=-4n-1,

cn=4n-2+4n-1++42n-4=4n-24n-1-13.
 
Exercice 2  2377   Correction  
  • (a)

    Pour n, développer le polynôme

    (1+X)(1+X2)(1+X4)(1+X2n).
  • (b)

    En déduire que tout entier p>0 s’écrit de façon unique comme somme de puissance de 2: 1,2,4,8,

Solution

  • (a)

    Posons

    P(X)=(1+X)(1+X2)(1+X4)(1+X2n).

    En exploitant successivement (a-b)(a+b)=a2-b2, on obtient

    (1-X)P(X)=1-X2n+1.

    On en déduit

    P(X)=1-X2n+11-X=1+X+X2++X2n+1-1.
  • (b)

    Lorsque l’on développe directement le polynôme P, le coefficient de Xk obtenu correspond au nombre de fois qu’il est possible d’écrire k comme la somme des puissances de 2 suivantes: 1,2,4,,2n. Ce nombre vaut 1 compte tenu de l’exercice précédent.

 
Exercice 3  271     X (MP)Correction  

Soit P[X] non constant et tel que P(0)=1. Montrer que:

ε>0,z,|z|<ε et |P(z)|<1.

Solution

Puisque le polynôme P est non constant, on peut écrire

P(z)=1+aqzq+zq+1Q(z)

avec aq0 et Q[X].

Posons θ un argument du complexe aq et considérons la suite (zn) de terme général

zn=1nei(π-θ)/q.

On a zn0 et

P(zn)=n+1-|aq|nq+o(1nq)

On en déduit que |P(zn)|<1 pour n assez grand.

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Édité le 08-11-2019

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