[<] Polynômes scindés [>] Familles de polynômes classiques

 
Exercice 1  4550   

Déterminer les triplets complexes (x,y,z) tels que:

  • (a)

    {x+y+z=2xy+yz+zx=-5xyz=-6

  • (b)

    {x+y+z=2x2+y2+z2=6x3+y3+z3=8.

 
Exercice 2  2180   Correction  

Déterminer les triplets (x,y,z)3 tels que:

  • (a)

    {x+y+z=11/x+1/y+1/z=1xyz=-4

  • (b)

    {x(y+z)=1y(z+x)=1z(x+y)=1

  • (c)

    {x+y+z=2x2+y2+z2=14x3+y3+z3=20

Solution

  • (a)

    Soit (x,y,z) un triplet solution
    On a σ1=x+y+z=1,σ3=xyz=-4 et

    σ2=xy+yz+zx=xyz(1x+1y+1z)=-4.

    Par suite, x,y,z sont les racines de:

    X3-σ1X2+σ2X-σ3=X3-X2-4X+4=(X-1)(X-2)(X+2).

    Donc {x,y,z}={1,-2,2}.
    Inversement, de tels triplets sont solutions.

  • (b)

    Soit (x,y,z) un triplet solution de

    {x(y+z)=1(1)y(z+x)=1(2)z(x+y)=1(3)

    (1)-(2) donne xz=yz, (3) donne z0 donc x=y.
    De même, on obtient x=z.
    Ainsi x=y=z=1/2 ou -1/2.
    Inversement, de tels triplets sont solutions.

  • (c)

    Soit (x,y,z) un triplet solution.
    Posons S1=x+y+z=2,S2=x2+y2+z2=14 et S3=x3+y3+z3.
    Déterminons σ1=x+y+z,σ2=xy+yz+zx et σ3=xyz.
    On a σ1=2.
    S12-S2=2σ2. Par suite, σ2=-5.
    Posons t=x2y+yx2+y2z+zy2+z2x+xz2.
    On a S1S2=S3+t d’où t=S1S2-S3=8
    On a S13=S3+3t+6σ3 d’où σ3=16(S13-S3-3t)=-6.
    Par suite, x,y,z sont les racines de

    X3-σ1X2+σ2X-σ3=X3-2X2-5X+6=(X-1)(X+2)(X-3).

    Donc {x,y,z}={1,-2,3}.
    Inversement, de tels triplets sont solutions.

 
Exercice 3  3336     X (PC)Correction  

Résoudre dans 3 le système

{x2+y2+z2=0x4+y4+z4=0x5+y5+z5=0.

Solution

Soit (x,y,z) un triplet de complexes et P(X)=(X-x)(X-y)(X-z)=X3-pX2+qX-r avec

{p=x+y+zq=xy+yz+zxr=xyz.

On a

(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx).

Posons t=x3+y3+z3 et s=xy2+yx2+yz2+zy2+zx2+xz2
On a

(x+y+z)(x2+y2+z2)=t+s et pq=s+3r

donc t=3r-pq.
Puisque x,y,z sont racines de XP(X)=X4-pX3+qX2-rX, on a

x4+y4+z4=pt-q×(x2+y2+z2)+rp.

Puisque x,y,z sont racine de X2P(X)=X5-pX4+qX3-rX2, on a

x5+y5+z5=p(x4+y4+z4)-q(x3+y3+z3)+r(x2+y2+z2).

On en déduit que (x,y,z) est solution du système posé si, et seulement si,

{p2=2qpt+rp=0-qt=0

c’est-à-dire, sachant t=3r-pq,

{p2=2qp(4r-pq)=0q(3r-pq)=0.

Ce système équivaut encore à

{p2=2q2pr=q23qr=pq2

et aussi à

{p2=2q2pr=q2qr=0.

Que r soit nul ou non, le système entraîne q=0 et est donc équivalent au système

{p=0q=0.

Ainsi, un triplet (x,y,z) est solution du système proposé si, et seulement si, x, y et z sont les trois racines du polynôme Pr(X)=X3-r (pour r quelconque).
En introduisant a tel que a3=r, les racines de Pr(X) sont a,aj et aj2.
Finalement, les solutions du système sont les triplets (x,y,z) avec

x=a,y=aj et z=aj2

pour a quelconque.

 
Exercice 4  2176   Correction  

Trouver les racines dans du polynôme X4+12X-5 sachant qu’il possède deux racines dont la somme est 2.

Solution

Notons x1,x2,x3,x4 les racines du polynôme considéré avec x1+x2=2.

{σ1=x1+x2+x3+x4=0σ2=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=0σ3=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=-12σ4=x1x2x3x4=-5

σ1 donne x3+x4=-2, σ2 donne x1x2+x3x4=4 et σ3 donne x1x2-x3x4=6.
On obtient x1x2=5 et x3x4=-1.
x1 et x2 sont les racines de X2-2X+5 c’est-à-dire 1±2i.
x3 et x4 sont les racines de X2+2X-1 c’est-à-dire -1±2.

 
Exercice 5  2177   Correction  

Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ pour que X3-7X+λ admette une racine qui soit le double d’une autre. Résoudre alors l’équation.

Solution

Notons x1,x2,x3 les racines de X3-7X+λ. On peut supposer x2=2x1.
Les relations entre coefficients et racines donnent:

{x1+x2+x3=0x1x2+x2x3+x3x1=-7x1x2x3=-λ

d’où

{x3=-3x12x12-6x12-3x12=-7-6x13=-λ

puis

{x3=-3x1x12=1λ=6x13.

Pour que X3-7X+λ admette une racine double d’une autre il est nécessaire que λ=6 ou -6.
Pour λ=6, X3-7X+6 admet 1,2 et -3 pour racines.
Pour λ=-6, X3-7X-6 admet -1,-2 et 3 pour racines.

 
Exercice 6  2178   Correction  

Résoudre x3-8x2+23x-28=0 sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.

Solution

Notons x1,x2,x3 les racines de X3-8X2+23X-28. On peut supposer x1+x2=x3.
Les relations entre coefficients et racines donnent:
{x1+x2+x3=8x1x2+x2x3+x3x1=23x1x2x3=28 d’où {x3=4x1x2+4(x2+x1)=234x1x2=28.
Pour déterminer x1 et x2 il reste à résoudre x2-4x+7=0.

Finalement, x1=2+i3,x2=2-i3 et x3=4.

 
Exercice 7  2179   Correction  

On considère l’équation: x3-(2+2)x2+2(2+1)x-22=0 de racines x1,x2 et x3.

  • (a)

    Former une équation dont x12,x22 et x32 seraient racines.

  • (b)

    En déduire les valeurs de x1,x2,x3.

Solution

  • (a)

    {σ1=x1+x2+x3=2+2σ2=x1x2+x2x3+x3x1=22+2σ3=x1x2x3=22,
    On en déduit x12+x22+x32=σ12-2σ2=2, x12x22+x22x32+x32x12=σ22-2σ3σ1=4 et x12x22x32=8.
    Donc x12,x22 et x32 sont racines de x3-2x2+4x-8=0.

  • (b)

    2 est racine de l’équation ci-dessus: x3-2x2+4x-8=(x-2)(x2+4)=(x-2)(x+2i)(x-2i).
    Quitte à réindexer: x12=2,x22=2i et x32=-2i d’où x1=±2,x2=±(1+i) et x3=±(1-i).
    Puisque x1+x2+x3=2+2, on a x1=2,x2=1+i et x3=1-i.

 
Exercice 8  5419     MINES (MP)Correction  

Déterminer les triplets (x,y,z)3 vérifiant

|x|=|y|=|z|etx+y+z=xyz=1.

Solution

Soit (x,y,z) un triplet solution. Les complexes x,y,z sont les trois racines du polynôme

(X-x)(X-y)(X-z)=X3-σ1X2+σ2X-σ3

avec

{σ1=x+y+zσ2=xy+yz+zxσ3=xyz.

On a immédiatement σ1=σ3=1. Aussi,

(xyz=1 et |x|=1)yz=x¯

et donc

σ2=x+y+z¯=1.

Ainsi,

(X-x)(X-y)(X-z)=X3-X2+X-1=(X-1)(X-i)(X+i).

À l’ordre près, x, y et z sont égaux à 1, i et -i.

Inversement, on vérifie que de tels triplets sont solutions.

 
Exercice 9  2373    CENTRALE (MP)Correction  

Soit P=X3+aX2+bX+c un polynôme complexe de racines α,β,γ. Calculer

αβ+γ+βγ+α+γα+β.

Solution

Puisque α+β+γ=-a, on a

αβ+γ+βγ+α+γα+β=-(αa+α+βa+β+γa+γ)

et réduisant au même dénominateur

αβ+γ+βγ+α+γα+β=a3-2ab+3cab-c

car αβ+βγ+γα=b et αβγ=-c.

 
Exercice 10  2184   Correction  

Soit P[X] non nul et n=deg(P).
Montrer que les sommes des zéros de P,P,,P(n-1) sont en progression arithmétique.

Solution

On écrit

P=k=0nakXk avec an0.

Notons αk la somme des zéros de P(k). Par les relations coefficients racines d’un polynôme scindé

α0=-an-1an,α1=-(n-1)an-1nan,α2=-(n-2)an-1nan,...
αk=-(n-k)an-1nan,,αn-1=-an-1nan.

Les α0,α1,,αn-1 sont donc en progression arithmétique de raison an-1/nan.

 
Exercice 11  2181  Correction  

Soient x,y,z* tels que x+y+z=0. Montrer

1x2+1y2+1z2=(1x+1y+1z)2.

Solution

En développant

(1x+1y+1z)2=1x2+1y2+1z2+2xy+2yz+2zx

avec

2xy+2yz+2zx=2(z+x+y)2xyz=0.
 
Exercice 12  3333     CENTRALE (PSI)

Soit x,y,z trois nombres complexes de somme nulle. Vérifier

x5+y5+z55=(x2+y2+z22)(x3+y3+z33).
 
Exercice 13  3812     CENTRALE (PC)Correction  
  • (a)

    Déterminer trois éléments a,b,c de , non tous réels, tels que a+b+c, a2+b2+c2 et a3+b3+c3 soient trois réels.

  • (b)

    Montrer que, si a,b,c sont trois éléments de de modules différents et si a+b+c, a2+b2+c2 et a3+b3+c3, alors a,b et c sont trois réels.
    Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Solution

  • (a)

    1,j,j2 conviennent.

  • (b)

    Introduisons le polynôme P(X)=(X-a)(X-b)(X-c). Les coefficients de ce polynôme s’expriment à partir de S1=a+b+c, S2=a2+b2+c2 et S3=a3+b3+c3, le polynôme P est donc à coefficients réels. S’il n’admet pas trois racines, il possède deux racines complexes conjuguées. Celles-ci sont alors de même module ce qui est exclu.

 
Exercice 14  3345    Correction  

On considère le polynôme

P(X)=a0Xn+a1Xn-1++an[X]

de racines x1,,xn comptées avec multiplicité.

Pour tout p, on pose

Sp=x1p++xnp.

Établir

{a0S1+a1=0a0S2+a1S1+2a2=0a0Sp+a1Sp-1++ap-1S1+pap=0(0<pn)a0Sn+a1Sn-1++anS1=0a0Sn+k+a1Sn+k-1++anSk=0(k>0).

Solution

On a

P(X)P(X)=k=1n1X-xk

donc

xP(x)P(x)=k=1n11-xkx.

Par développement limité à un ordre N, on a quand x+

xP(x)P(x)=k=1n11-xkx==0NSx+o(1xN)

puis

xP(x)==0NSxP(x)+o(1xN-n).

Or

xP(x)=na0xn+(n-1)a1xn-1++an-1

et

=0NSxP(x)=b0xn+b1xn-1++bN+2nxN-n

avec

b0=a0S0,b1=a0S1+a1S0,
bk==0min(k,n)aSk-.

Par unicité des coefficients de xn,xn-1,,1 de notre développement limité généralisé, on obtient

0kn,=0kaSk-=(n-k)ak.

Pour k=0, on obtient S0=n (ce qui était immédiat) et l’on en déduit

0<kn,=0k-1aSk-+kak=0.

Par unicité des coefficients de 1/x,1/x2, de notre développement limité généralisé, on obtient

k>n,=0naSk-=0.

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Édité le 08-11-2019

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