• (a)

  Soit $(x,y,z)$ un triplet solution
  On a ${\sigma }_1=x+y+z=1,{\sigma }_3=xyz=-4$ et

  $${\sigma }_2=xy+yz+zx=xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=-4\text{.}$$

  Par suite, $x,y,z$ sont les racines de:

  $$X^3-{\sigma }_1{X}^2+{\sigma }_{2}X-{\sigma }_3=X^3-X^2-4X+4=(X-1)(X-2)(X+2)\text{.}$$

  Donc $\{x,y,z\}=\{1,-\mathrm{2,2}\}$.
  Inversement, de tels triplets sont solutions.

• (b)

  Soit $(x,y,z)$ un triplet solution de

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x(y+z)& =1\hspace{1em}(1)\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill y(z+x)& =1\hspace{1em}(2)\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill z(x+y)& =1\hspace{1em}(3)\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  $(1)-(2)$ donne $xz=yz$, $(3)$ donne $z\ne 0$ donc $x=y$.
  De même, on obtient $x=z$.
  Ainsi $x=y=z=1/\sqrt{2}$ ou $-1/\sqrt{2}$.
  Inversement, de tels triplets sont solutions.

• (c)

  Soit $(x,y,z)$ un triplet solution.
  Posons $S_1=x+y+z=2,S_2=x^2+y^2+z^2=14$ et $S_3=x^3+y^3+z^3$.
  Déterminons ${\sigma }_1=x+y+z,{\sigma }_2=xy+yz+zx$ et ${\sigma }_3=xyz$.
  On a ${\sigma }_1=2$.
  $S_1^2-S_2=2{\sigma }_2$. Par suite, ${\sigma }_2=-5$.
  Posons $t=x^{2}y+y{x}^2+y^{2}z+z{y}^2+z^{2}x+x{z}^2$.
  On a $S_1{S}_2=S_3+t$ d’où $t=S_1{S}_2-S_3=8$
  On a $S_1^3=S_3+3t+6{\sigma }_3$ d’où ${\sigma }_3=\frac{1}{6}(S_1^3-S_3-3t)=-6$.
  Par suite, $x,y,z$ sont les racines de

  $$X^3-{\sigma }_1{X}^2+{\sigma }_{2}X-{\sigma }_3=X^3-2X^2-5X+6=(X-1)(X+2)(X-3)\text{.}$$

  Donc $\{x,y,z\}=\{1,-\mathrm{2,3}\}$.
  Inversement, de tels triplets sont solutions.

Soit $(x,y,z)$ un triplet de complexes et $P(X)=(X-x)(X-y)(X-z)=X^3-p{X}^2+qX-r$ avec

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill p& =x+y+z\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill q& =xy+yz+zx\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill r& =xyz\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

On a

$${(x+y+z)}^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\text{.}$$

Posons $t=x^3+y^3+z^3$ et $s=x{y}^2+y{x}^2+y{z}^2+z{y}^2+z{x}^2+x{z}^2$
On a

$$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)=t+s\text{ et }pq=s+3r$$

donc $t=3r-pq$.
Puisque $x,y,z$ sont racines de $XP(X)=X^4-p{X}^3+q{X}^2-rX$, on a

$$x^4+y^4+z^4=pt-q\times (x^2+y^2+z^2)+rp\text{.}$$

Puisque $x,y,z$ sont racine de $X^{2}P(X)=X^5-p{X}^4+q{X}^3-r{X}^2$, on a

$$x^5+y^5+z^5=p(x^4+y^4+z^4)-q(x^3+y^3+z^3)+r(x^2+y^2+z^2)\text{.}$$

On en déduit que $(x,y,z)$ est solution du système posé si, et seulement si,

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill p^2& =2q\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill pt+rp& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill -qt& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

c’est-à-dire, sachant $t=3r-pq$,

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill p^2& =2q\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill p(4r-pq)& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill q(3r-pq)& =0\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Ce système équivaut encore à

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill p^2& =2q\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill 2pr& =q^2\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill 3qr& =p{q}^2\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

et aussi à

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill p^2& =2q\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill 2pr& =q^2\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill qr& =0\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Que $r$ soit nul ou non, le système entraîne $q=0$ et est donc équivalent au système

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill p& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill q& =0\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Ainsi, un triplet $(x,y,z)$ est solution du système proposé si, et seulement si, $x$, $y$ et $z$ sont les trois racines du polynôme $P_r(X)=X^3-r$ (pour $r\in ℂ$ quelconque).
En introduisant $a\in ℂ$ tel que $a^3=r$, les racines de $P_r(X)$ sont $a,aj$ et $a{j}^2$.
Finalement, les solutions du système sont les triplets $(x,y,z)$ avec

$$x=a,y=aj\text{ et }z=a{j}^2$$

pour $a\in ℂ$ quelconque.

Notons $x_1,x_2,x_3,x_4$ les racines du polynôme considéré avec $x_1+x_2=2$.

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill {\sigma }_1=x_1+x_2+x_3+x_4& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill {\sigma }_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill {\sigma }_3=x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-12& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill {\sigma }_4=x_1{x}_2{x}_3{x}_4& =-5\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

${\sigma }_1$ donne $x_3+x_4=-2$, ${\sigma }_2$ donne $x_1{x}_2+x_3{x}_4=4$ et ${\sigma }_3$ donne $x_1{x}_2-x_3{x}_4=6$.
On obtient $x_1{x}_2=5$ et $x_3{x}_4=-1$.
$x_1$ et $x_2$ sont les racines de $X^2-2X+5$ c’est-à-dire $1\pm 2\mathrm{i}$.
$x_3$ et $x_4$ sont les racines de $X^2+2X-1$ c’est-à-dire $-1\pm \sqrt{2}$.

Notons $x_1,x_2,x_3$ les racines de $X^3-7X+\lambda$. On peut supposer $x_2=2x_1$.
Les relations entre coefficients et racines donnent:

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x_1+x_2+x_3& =0\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1& =-7\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x_1{x}_2{x}_3& =-\lambda \hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

d’où

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x_3& =-3x_1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill 2x_1^2-6x_1^2-3x_1^2& =-7\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill -6x_1^3& =-\lambda \hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

puis

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x_3& =-3x_1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x_1^2& =1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill \lambda & =6x_1^3\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Pour que $X^3-7X+\lambda$ admette une racine double d’une autre il est nécessaire que $\lambda =6\text{ ou }-6$.
Pour $\lambda =6$, $X^3-7X+6$ admet $\mathrm{1,2}\text{ et }-3$ pour racines.
Pour $\lambda =-6$, $X^3-7X-6$ admet $-1,-2\text{ et }3$ pour racines.

Notons $x_1,x_2,x_3$ les racines de $X^3-8X^2+23X-28$. On peut supposer $x_1+x_2=x_3$.
Les relations entre coefficients et racines donnent:
$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x_1+x_2+x_3& =8\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1& =23\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x_1{x}_2{x}_3& =28\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$ d’où $\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x_3& =4\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x_1{x}_2+4(x_2+x_1)& =23\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill 4x_1{x}_2& =28\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$.
Pour déterminer $x_1\text{ et }{x}_2$ il reste à résoudre $x^2-4x+7=0$.

Finalement, $x_1=2+\mathrm{i}\sqrt{3},x_2=2-\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $x_3=4$.

• (a)

  $\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill {\sigma }_1=x_1+x_2+x_3& =2+\sqrt{2}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill {\sigma }_2=x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1& =2\sqrt{2}+2\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill {\sigma }_3=x_1{x}_2{x}_3& =2\sqrt{2}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$,
  On en déduit $x_1^2+x_2^2+x_3^2={\sigma }_1^2-2{\sigma }_2=2$, $x_1^2{x}_2^2+x_2^2{x}_3^2+x_3^2{x}_1^2={\sigma }_2^2-2{\sigma }_3{\sigma }_1=4$ et $x_1^2{x}_2^2{x}_3^2=8$.
  Donc $x_1^2,x_2^2$ et $x_3^2$ sont racines de $x^3-2x^2+4x-8=0$.

• (b)

  2 est racine de l’équation ci-dessus: $x^3-2x^2+4x-8=(x-2)(x^2+4)=(x-2)(x+2\mathrm{i})(x-2\mathrm{i})$.
  Quitte à réindexer: $x_1^2=2,x_2^2=2\mathrm{i}$ et $x_3^2=-2\mathrm{i}$ d’où $x_1=\pm \sqrt{2},x_2=\pm (1+\mathrm{i})$ et $x_3=\pm (1-\mathrm{i})$.
  Puisque $x_1+x_2+x_3=2+\sqrt{2}$, on a $x_1=\sqrt{2},x_2=1+\mathrm{i}$ et $x_3=1-\mathrm{i}$.

Puisque $\alpha +\beta +\gamma =-a$, on a

$$\frac{\alpha }{\beta +\gamma }+\frac{\beta }{\gamma +\alpha }+\frac{\gamma }{\alpha +\beta }=-\left(\frac{\alpha }{a+\alpha }+\frac{\beta }{a+\beta }+\frac{\gamma }{a+\gamma }\right)$$

et réduisant au même dénominateur

$$\frac{\alpha }{\beta +\gamma }+\frac{\beta }{\gamma +\alpha }+\frac{\gamma }{\alpha +\beta }=\frac{a^3-2ab+3c}{ab-c}$$

car $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =b$ et $\alpha \beta \gamma =-c$.

On écrit

$$P=\sum _{k=0}^n{a}_k{X}^k\text{ avec }{a}_n\ne 0\text{.}$$

Notons ${\alpha }_k$ la somme des zéros de $P^{(k)}$. Par les relations coefficients racines d’un polynôme scindé

$${\alpha }_0=-\frac{a_{n-1}}{a_n},{\alpha }_1=-\frac{(n-1)a_{n-1}}{n{a}_n},{\alpha }_2=-\frac{(n-2)a_{n-1}}{n{a}_n},\mathrm{\dots }$$

$${\alpha }_k=-\frac{(n-k)a_{n-1}}{n{a}_n},\mathrm{\dots },{\alpha }_{n-1}=-\frac{a_{n-1}}{n{a}_n}\text{.}$$

Les ${\alpha }_0,{\alpha }_1,\mathrm{\dots },{\alpha }_{n-1}$ sont donc en progression arithmétique de raison $a_{n-1}/n{a}_n$.

En développant

$${\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}$$

avec

$$\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=\frac{2(z+x+y)}{2xyz}=0\text{.}$$