[<] Division euclidienne [>] Racines et arithmétique

 
Exercice 1  4554  
  • (a)

    Vérifier que X2+X+1 divise11 1 Le sujet ne précise pas si la divisibilité est à entendre dans [X] ou dans [X] car cela est sans incidence. En effet, les deux polynômes étant réels, quotient et reste de la division euclidienne de l’un par l’autre peuvent se calculer dans [X] et ce sont les mêmes que l’on retrouve dans [X]. X10+X5+1.

  • (b)

    Montrer que X3-X2+1 et X2-2X+2 sont premiers entre eux22 2 Encore une fois il n’est pas nécessaire de préciser si l’étude a lieu dans [X] ou dans [X] car le pgcd se calcule par une succession de divisions euclidiennes et ce sont les mêmes qui sont réalisées dans [X] et dans [X]. En substance le pgcd unitaire de deux polynômes réels est identique dans [X] et dans [X]..

 
Exercice 2  4551  

Soient A=2X4+X3-X2-X-1 et B=X3+X2+X-3

  • (a)

    Calculer le quotient Q et le reste R de la division euclidienne de A par B.

  • (b)

    Calculer un pgcd D des polynômes A et B.

  • (c)

    Déterminer deux polynômes U et V tels que D=AU+BV.

 
Exercice 3  2138  Correction  

Soient A,B𝕂[X] non nuls.

Montrer que A et B sont premiers entre eux si, et seulement si, A+B et AB le sont.

Solution

Si AB=1 alors il existe U,V𝕂[X] tels que AU+BV=1. On a alors A(U-V)+(A+B)V=1 donc A(A+B)=1. De même, B(A+B)=1 et, par produit, AB(A+B)=1.

Si AB(A+B)=1 alors, puisque pgcd(A,B)AB et pgcd(A,B)A+B, on a pgcd(A,B)=1 puis AB=1.

 
Exercice 4  2139  Correction  

Soient A,B,C𝕂[X] tels que A et B soient premiers entre eux.
Montrer

pgcd(A,BC)=pgcd(A,C).

Solution

pgcd(A,C)A et pgcd(A,C)C donc pgcd(A,C)BC puis pgcd(A,C)pgcd(A,BC).
Inversement. Posons D=pgcd(A,BC). On a DA et AB=1 donc DB=1.
De plus, DBC donc par le théorème de Gauss, DC et finalement Dpgcd(A,C).

 
Exercice 5  2135   Correction  

Soient A,B𝕂[X] tels que A2B2. Montrer que AB.

Solution

Posons D=pgcd(A,B). On a D2=pgcd(A2,B2) associé à A2 donc deg(D2)=deg(A2) puis deg(D)=deg(A).

Or DA et les polynômes D et A sont donc associés. Puisque DB, on obtient AB.

 
Exercice 6  2136   

Soient A et B deux polynômes non constants de 𝕂[X] premiers entre eux.

Montrer qu’il existe un unique couple (U,V)𝕂[X]2 vérifiant

AU+BV=1et{deg(U)<deg(B)deg(V)<deg(A).
 
Exercice 7  2137   Correction  

Soient A,B𝕂[X] non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:

  • (i)

    A et B ne sont pas premiers entre eux.

  • (ii)

    il existe (U,V)(𝕂[X]-{0})2 tel que

    AU+BV=0,deg(U)<deg(B) et deg(V)<deg(A).

Solution

(i)(ii) Posons D=pgcd(A,B) qui est non constant.
Puisque DA et DB on peut écrire A=DV et -B=DU avec deg(V)<deg(A) et deg(U)<deg(B).
de sorte que AU+BV=DUV-DUV=0.

(ii)(i) Supposons (ii).
Si par l’absurde AB=1 alors, puisque A-BV on a AV.
Or V0 donc deg(A)deg(V) ce qui est exclu. Absurde.

 
Exercice 8  2580     CCP (MP)Correction  

On cherche les polynômes

P(X)=(X-a)(X-b)[X]

tels que P(X) divise P(X3).
Montrer que, si a=b, P[X] et que si ab et a3b3, il existe 6 polynômes dont 4 dans [X].
Trouver les polynômes P si ab et a3=b3 et en déduire que 13 polynômes en tout conviennent, dont 7 dans [X].

Solution

Si a=b alors (X-a)2 divise (X3-a)2 si, et seulement si, a est racine au moins double de (X3-a)2. Ceci équivaut à a3=a ce qui donne a{-1,0,1}.
Les polynômes solutions correspondant sont alors X2,(X-1)2 et (X+1)2, tous réels.
Si ab alors (X-a)(X-b) divise (X3-a)(X3-b) si, et seulement si, a et et b sont racines de (X3-a)(X3-b).
Si a3b3 alors a et b sont racines (X3-a)(X3-b) si, et seulement si,

{a3=ab3=bou{a3=bb3=a.

Dans le premier cas, sachant ab, on parvient aux polynômes X(X-1),X(X+1) et (X-1)(X+1).
Puisque

{a3=bb3=a{b=a3a9=a,

dans le second cas, on parvient à (X-eiπ/4)(X-e3iπ/4), X2+1 et (X-e-iπ/4)(X-e-3iπ/4).
Ainsi quand ab et a3b3, on parvient à 6 polynômes dont 4 réels.
Enfin, si ab et a3=b3 alors (X-a)(X-b) divise (X3-a)(X3-b) si, et seulement si, a3=a ou a3=b. Quitte à échanger a et b, on peut supposer a3=a et l’on parvient alors aux polynômes (X-1)(X-j), (X-1)(X-j2), (X+1)(X+j) et (X+1)(X+j2) selon que a=1 ou a=-1 (le cas a=0 étant à exclure car entraînant b=a).
Au final on obtient 3+6+4=13 polynômes solutions dont 3+4+0=7 réels.

 
Exercice 9  4211   
  • (a)

    Le polynôme X3-3X-1 est-il irréductible dans [X]? dans [X]?

  • (b)

    Mêmes questions avec X4+1.

 
Exercice 10  4576    

(Équation de Fermat polynomiale)

  • (a)

    Soit P un polynôme complexe non nul. Montrer que le nombre p de ses racines distinctes vérifie:

    p=deg(P)-deg(PP).
  • (b)

    Soient P,Q deux polynômes complexes premiers entre eux et vérifiant

    R=P+Q est non constant.

    On note p, q et r le nombre de racines distinctes des polynômes P, Q et R. En introduisant le polynôme PQ-QP, vérifier

    deg(R)<p+q+r.
  • (c)

    Soit n avec n3. Déterminer les triplets de polynômes complexes (P,Q,R) tels que

    Pn+Qn=Rn.

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Édité le 08-11-2019

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