(i)$⟹$(ii) Posons $D=\mathrm{pgcd}(A,B)$ qui est non constant.
Puisque $D\mid A$ et $D\mid B$ on peut écrire $A=DV$ et $-B=DU$ avec $\mathrm{deg}(V)<\mathrm{deg}(A)$ et $\mathrm{deg}(U)<\mathrm{deg}(B)$.
de sorte que $AU+BV=DUV-DUV=0$.

(ii)$⟹$(i) Supposons (ii).
Si par l’absurde $A\wedge B=1$ alors, puisque $A\mid -BV$ on a $A\mid V$.
Or $V\ne 0$ donc $\mathrm{deg}(A)\le \mathrm{deg}(V)$ ce qui est exclu. Absurde.

Si $a=b$ alors ${(X-a)}^2$ divise ${(X^3-a)}^2$ si, et seulement si, $a$ est racine au moins double de ${(X^3-a)}^2$. Ceci équivaut à $a^3=a$ ce qui donne $a\in \{-\mathrm{1,0,1}\}$.
Les polynômes solutions correspondant sont alors $X^2,{(X-1)}^2$ et ${(X+1)}^2$, tous réels.
Si $a\ne b$ alors $(X-a)(X-b)$ divise $(X^3-a)(X^3-b)$ si, et seulement si, $a$ et et $b$ sont racines de $(X^3-a)(X^3-b)$.
Si $a^3\ne b^3$ alors $a$ et $b$ sont racines $(X^3-a)(X^3-b)$ si, et seulement si,

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill a^3& =a\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill b^3& =b\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}\mathit{\hspace{1em}}\text{ou}\mathit{\hspace{1em}}\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill a^3& =b\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill b^3& =a\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Dans le premier cas, sachant $a\ne b$, on parvient aux polynômes $X(X-1),X(X+1)$ et $(X-1)(X+1)$.
Puisque

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill a^3& =b\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill b^3& =a\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill b& =a^3\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill a^9& =a\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array},$$

dans le second cas, on parvient à $(X-{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /4})(X-{\mathrm{e}}^{3\mathrm{i}\pi /4})$, $X^2+1$ et $(X-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4})(X-{\mathrm{e}}^{-3\mathrm{i}\pi /4})$.
Ainsi quand $a\ne b$ et $a^3\ne b^3$, on parvient à 6 polynômes dont 4 réels.
Enfin, si $a\ne b$ et $a^3=b^3$ alors $(X-a)(X-b)$ divise $(X^3-a)(X^3-b)$ si, et seulement si, $a^3=a$ ou $a^3=b$. Quitte à échanger $a$ et $b$, on peut supposer $a^3=a$ et l’on parvient alors aux polynômes $(X-1)(X-j)$, $(X-1)(X-j^2)$, $(X+1)(X+j)$ et $(X+1)(X+j^2)$ selon que $a=1$ ou $a=-1$ (le cas $a=0$ étant à exclure car entraînant $b=a$).
Au final on obtient $3+6+4=13$ polynômes solutions dont $3+4+0=7$ réels.

Par l’absurde, si le polynôme $P=X^3+X+1$ n’est pas irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$, il est possible de l’écrire comme produit de deux polynômes à coefficients rationnels non constants. L’un d’eux est de degré $1$ et détermine donc une racine $r\in \mathbb{Q}$ de $P$. On écrit $r$ sous forme irréductible $p/q$ (avec $p\in \mathbb{Z}$, $q\in {\mathbb{N}}^{*}$ et $p\wedge q=1$) et l’égalité $P(r)=0$ donne, après réduction au même dénominateur,

$$p^3+p{q}^2+q^3=0\text{.}$$

L’entier $p$ divise $p^3+p{q}^2$ et donc divise $q^3=q^3\times 1$. Or $p$ est premier avec $q$ et donc (par le lemme de Gauss) $p$ divise $1$, c’est-à-dire $p=\pm 1$. Aussi, $q$ divise $p{q}^2+q^3=-p^3$ mais est premier avec $p$ et donc $q=1$. Ainsi, $r=\pm 1$. Cependant, ni $1$, ni $-1$, ne sont racines de $P$. C’est absurde. Le polynôme $P$ est donc irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$.