Exercice 1 4554

(a)

Vérifier que $X^{2} + X + 1$ divise¹¹ 1 Le sujet ne précise pas si la divisibilité est à entendre dans $ℝ [X]$ ou dans $ℂ [X]$ car cela est sans incidence. En effet, les deux polynômes étant réels, quotient et reste de la division euclidienne de l’un par l’autre peuvent se calculer dans $ℝ [X]$ et ce sont les mêmes que l’on retrouve dans $ℂ [X]$ . $X^{10} + X^{5} + 1$ .
(b)

Montrer que $X^{3} - X^{2} + 1$ et $X^{2} - 2 X + 2$ sont premiers entre eux²² 2 Encore une fois il n’est pas nécessaire de préciser si l’étude a lieu dans $ℝ [X]$ ou dans $ℂ [X]$ car le pgcd se calcule par une succession de divisions euclidiennes et ce sont les mêmes qui sont réalisées dans $ℝ [X]$ et dans $ℂ [X]$ . En substance le pgcd unitaire de deux polynômes réels est identique dans $ℝ [X]$ et dans $ℂ [X]$ ..

Exercice 2 4551

Soient $A = 2 X^{4} + X^{3} - X^{2} - X - 1$ et $B = X^{3} + X^{2} + X - 3$

(a)

Calculer le quotient $Q$ et le reste $R$ de la division euclidienne de $A$ par $B$ .
(b)

Calculer un pgcd $D$ des polynômes $A$ et $B$ .
(c)

Déterminer deux polynômes $U$ et $V$ tels que $D = A U + B V$ .

Exercice 3 2138 Correction

Soient $A, B \in 𝕂 [X]$ non nuls.

Montrer que $A$ et $B$ sont premiers entre eux si, et seulement si, $A + B$ et $A B$ le sont.

Solution

Si $A \land B = 1$ alors il existe $U, V \in 𝕂 [X]$ tels que $A U + B V = 1$ . On a alors $A (U - V) + (A + B) V = 1$ donc $A \land (A + B) = 1$ . De même, $B \land (A + B) = 1$ et, par produit, $A B \land (A + B) = 1$ .

Si $A B \land (A + B) = 1$ alors, puisque $pgcd (A, B) ∣ A B$ et $pgcd (A, B) ∣ A + B$ , on a $pgcd (A, B) = 1$ puis $A \land B = 1$ .

Exercice 4 2139 Correction

Soient $A, B, C \in 𝕂 [X]$ tels que $A$ et $B$ soient premiers entre eux.
Montrer

pgcd (A, B C) = pgcd (A, C) .

Solution

$pgcd (A, C) ∣ A$ et $pgcd (A, C) ∣ C$ donc $pgcd (A, C) ∣ B C$ puis $pgcd (A, C) ∣ pgcd (A, B C)$ .
Inversement. Posons $D = pgcd (A, B C)$ . On a $D ∣ A$ et $A \land B = 1$ donc $D \land B = 1$ .
De plus, $D ∣ B C$ donc par le théorème de Gauss, $D ∣ C$ et finalement $D ∣ pgcd (A, C)$ .

Exercice 5 2135 Correction

Soient $A, B \in 𝕂 [X]$ tels que $A^{2} ∣ B^{2}$ . Montrer que $A ∣ B$ .

Solution

Posons $D = pgcd (A, B)$ . On a $D^{2} = pgcd (A^{2}, B^{2})$ associé à $A^{2}$ donc $\deg (D^{2}) = \deg (A^{2})$ puis $\deg (D) = \deg (A)$ .

Or $D ∣ A$ et les polynômes $D$ et $A$ sont donc associés. Puisque $D ∣ B$ , on obtient $A ∣ B$ .

Exercice 6 2136

Soient $A$ et $B$ deux polynômes non constants de $𝕂 [X]$ premiers entre eux.

Montrer qu’il existe un unique couple $(U, V) \in 𝕂 {[X]}^{2}$ vérifiant

A U + B V = 1 et {\begin{matrix} \deg (U) & < \deg (B) \\ \deg (V) & < \deg (A) . \end{matrix}

Exercice 7 2137 Correction

Soient $A, B \in 𝕂 [X]$ non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:

(i)

$A$ et $B$ ne sont pas premiers entre eux.
(ii)

il existe $(U, V) \in {(𝕂 [X] - {0})}^{2}$ tel que

$A U + B V = 0, \deg (U) < \deg (B) et \deg (V) < \deg (A) .$

Solution

(i) $⟹$ (ii) Posons $D = pgcd (A, B)$ qui est non constant.
Puisque $D ∣ A$ et $D ∣ B$ on peut écrire $A = D V$ et $- B = D U$ avec $\deg (V) < \deg (A)$ et $\deg (U) < \deg (B)$ .
de sorte que $A U + B V = D U V - D U V = 0$ .

(ii) $⟹$ (i) Supposons (ii).
Si par l’absurde $A \land B = 1$ alors, puisque $A ∣ - B V$ on a $A ∣ V$ .
Or $V \neq 0$ donc $\deg (A) \leq \deg (V)$ ce qui est exclu. Absurde.

Exercice 8 2580 CCP (MP)Correction

On cherche les polynômes

P (X) = (X - a) (X - b) \in ℂ [X]

tels que $P (X)$ divise $P (X^{3})$ .
Montrer que, si $a = b$ , $P \in ℝ [X]$ et que si $a \neq b$ et $a^{3} \neq b^{3}$ , il existe 6 polynômes dont 4 dans $ℝ [X]$ .
Trouver les polynômes $P$ si $a \neq b$ et $a^{3} = b^{3}$ et en déduire que 13 polynômes en tout conviennent, dont 7 dans $ℝ [X]$ .

Solution

Si $a = b$ alors ${(X - a)}^{2}$ divise ${(X^{3} - a)}^{2}$ si, et seulement si, $a$ est racine au moins double de ${(X^{3} - a)}^{2}$ . Ceci équivaut à $a^{3} = a$ ce qui donne $a \in {- 1,0,1}$ .
Les polynômes solutions correspondant sont alors $X^{2}, {(X - 1)}^{2}$ et ${(X + 1)}^{2}$ , tous réels.
Si $a \neq b$ alors $(X - a) (X - b)$ divise $(X^{3} - a) (X^{3} - b)$ si, et seulement si, $a$ et et $b$ sont racines de $(X^{3} - a) (X^{3} - b)$ .
Si $a^{3} \neq b^{3}$ alors $a$ et $b$ sont racines $(X^{3} - a) (X^{3} - b)$ si, et seulement si,

{\begin{matrix} a^{3} & = a \\ b^{3} & = b \end{matrix} ou {\begin{matrix} a^{3} & = b \\ b^{3} & = a \end{matrix} .

Dans le premier cas, sachant $a \neq b$ , on parvient aux polynômes $X (X - 1), X (X + 1)$ et $(X - 1) (X + 1)$ .
Puisque

{\begin{matrix} a^{3} & = b \\ b^{3} & = a \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} b & = a^{3} \\ a^{9} & = a \end{matrix},

dans le second cas, on parvient à $(X - e^{i π / 4}) (X - e^{3 i π / 4})$ , $X^{2} + 1$ et $(X - e^{- i π / 4}) (X - e^{- 3 i π / 4})$ .
Ainsi quand $a \neq b$ et $a^{3} \neq b^{3}$ , on parvient à 6 polynômes dont 4 réels.
Enfin, si $a \neq b$ et $a^{3} = b^{3}$ alors $(X - a) (X - b)$ divise $(X^{3} - a) (X^{3} - b)$ si, et seulement si, $a^{3} = a$ ou $a^{3} = b$ . Quitte à échanger $a$ et $b$ , on peut supposer $a^{3} = a$ et l’on parvient alors aux polynômes $(X - 1) (X - j)$ , $(X - 1) (X - j^{2})$ , $(X + 1) (X + j)$ et $(X + 1) (X + j^{2})$ selon que $a = 1$ ou $a = - 1$ (le cas $a = 0$ étant à exclure car entraînant $b = a$ ).
Au final on obtient $3 + 6 + 4 = 13$ polynômes solutions dont $3 + 4 + 0 = 7$ réels.

Exercice 9 4211

(a)

Le polynôme $X^{3} - 3 X - 1$ est-il irréductible dans $ℚ [X]$ ? dans $ℝ [X]$ ?
(b)

Mêmes questions avec $X^{4} + 1$ .

Exercice 10 4576

(Équation de Fermat polynomiale)

(a)

Soit $P$ un polynôme complexe non nul. Montrer que le nombre $p$ de ses racines distinctes vérifie:

$p = \deg (P) - \deg (P \land P^{'}) .$
(b)

Soient $P, Q$ deux polynômes complexes premiers entre eux et vérifiant

$R = P + Q est non constant.$

On note $p$ , $q$ et $r$ le nombre de racines distinctes des polynômes $P$ , $Q$ et $R$ . En introduisant le polynôme $P^{'} Q - Q^{'} P$ , vérifier

$\deg (R) < p + q + r .$
(c)

Soit $n \in ℕ$ avec $n \geq 3$ . Déterminer les triplets de polynômes complexes $(P, Q, R)$ tels que

$P^{n} + Q^{n} = R^{n} .$

Arithmétique