Si $(P,Q)$ est un couple solution de polynômes non nuls alors $Q^2=X{P}^2$ donne $2\mathrm{deg}(Q)=1+2\mathrm{deg}(P)$ avec $\mathrm{deg}(P),\mathrm{deg}(Q)\in \mathbb{N}$ ce qui est impossible. Il reste le cas où l’un des polynômes $P$ ou $Q$ est nul et l’autre, alors, l’est aussi. Inversement, le couple nul est effectivement solution.

Si $\mathrm{deg}(P)\ge 2$ alors $\mathrm{deg}(P\circ P)={\left(\mathrm{deg}(P)\right)}^2>\mathrm{deg}(P)$ et donc $P$ n’est pas solution.
Si $\mathrm{deg}(P)\le 1$ alors on peut écrire $P=aX+b$ et alors

Après résolution on obtient

Finalement, les solutions sont le polynôme $X$ et les polynômes constants.

Parmi les polynômes constants, seul le polynôme nul est solution.
Parmi les polynômes non constants, si $P$ est solution alors $2\left(\mathrm{deg}(P)-1\right)=\mathrm{deg}(P)$ et donc $\mathrm{deg}(P)=2$. On peut alors écrire $P=a{X}^2+bX+c$ avec $a\ne 0$.
$P^{\prime 2}=4P\iff 4a^2{X}^2+4abX+b^2=4a{X}^2+4bX+4c\iff \{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill a=1& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill c=b^2/4& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$
Les solutions de l’équation sont $P=0$ et $P=X^2+bX+b^2/4$ avec $b\in 𝕂$.

Parmi les polynôme de degré inférieur à 1, seul le polynôme nul est solution.
Pour $P$ polynôme tel que $\mathrm{deg}(P)\ge 2$ alors la relation $(X^2+1)P^{\prime \prime }-6P=0$ implique, en raisonnant sur l’annulation des coefficients dominants, $\mathrm{deg}(P)(\mathrm{deg}P-1)=6$ donc $\mathrm{deg}(P)=3$.
En cherchant $P$ sous la forme $P=a{X}^3+b{X}^2+cX+d$ avec $a\in {𝕂}^{*}$, on obtient que seuls les polynômes $P=a(X^3+X)$ avec $a\in {𝕂}^{*}$ sont solutions.

Finalement, les polynômes solutions sont les $a(X^3+X)$ avec $a\in 𝕂$.