[<] Factorisation [>] Relations entre coefficients et racines d'un polynôme scindé

 
Exercice 1  4951    MINES (PC)

Soit P[X] un polynôme unitaire de degré n.

Montrer que P est scindé sur si, et seulement si,

|Im(z)|n|P(z)|pour tout z.
 
Exercice 2  4978    MINES (PSI)

Soit P un polynôme complexe non constant. Existe-t-il λ tel que P-λ soit scindé à racines simples?

 
Exercice 3  2160  Correction  

Soit P un polynôme de degré n+1* à coefficients réels possédant n+1 racines réelles distinctes.

  • (a)

    Montrer que son polynôme dérivé P possède exactement n racines réelles distinctes.

  • (b)

    En déduire que les racines du polynôme P2+1 sont toutes simples dans .

Solution

  • (a)

    Notons a0<a1<<an les racines de P.
    En appliquant le théorème de Rolle à la fonction xP(x) sur l’intervalle [ai-1;ai], on justifie l’existence d’un réel bi]ai-1;ai[ tels que P(bi)=0. Puisque

    a0<b1<a1<b2<<bn<an

    les réels b1,,bn sont deux à deux distincts ce qui fournit n racines réelles au polynôme P.
    Puisque deg(P)=deg(P)-1=n, il ne peut y en avoir d’autres.

  • (b)

    Une racine multiple de P2+1 est aussi racine du polynôme dérivé

    (P2+1)=2PP.

    Or les racines de P ne sont pas racines de P2+1 et les racines de P sont réelles et ne peuvent donc être racines de P2+1. Par suite, P2+1 et (P2+1) n’ont aucunes racines communes: les racines de P2+1 sont simples.

 
Exercice 4  3339  Correction  

Soit P[X] scindé à racines simples dans . Montrer que pour tout α* les racines de P2+α2 dans sont toutes simples.

Solution

Notons que par application du théorème de Rolle, les racines de P sont réelles (et simples)
Les racines multiples de P2+α2 sont aussi racines de (P2+α2)=2PP.
Or les racines de P2+α2 ne peuvent être réelles et les racines de PP sont toutes réelles.
Il n’y a donc pas de racines multiples au polynôme P2+α2.

 
Exercice 5  4547  

Soit P un polynôme de degré n possédant au moins n racines distinctes. Peut-il y en avoir d’autres? Quelles sont leurs multiplicités?

 
Exercice 6  4561   

Soit P un polynôme réel non constant.

  • (a)

    On suppose que P est scindé sur à racines simples. Montrer que le polynôme P est lui aussi scindé sur .

  • (b)

    Montrer que le résultat perdure même si les racines de P ne sont plus supposées simples.

  • (c)

    Le polynôme X6-X+1 est-il scindé sur ?

 
Exercice 7  2669     MINES (MP)Correction  
  • (a)

    Si P[X] est scindé sur , montrer que P est scindé ou constant sur .

  • (b)

    Si (a,b,c)3, montrer que X10+aX9+bX8+cX7+X+1 n’est pas scindé sur .

Solution

  • (a)

    Si P est degré 1 alors P est constant. Si P est de degré n2, par application du théorème de Rolle, il figure une racine de P entre deux racines consécutives de P. De surcroît, si a est racine de multiplicité α* de P, a est aussi racine de multiplicité α-1 de P. Par suite, P en admet n-1 racines comptées avec multiplicité et est donc scindé.

  • (b)

    0 est racine multiple du polynôme dérivé à l’ordre 2. Si le polynôme était scindé, l’étude qui précède permet d’observer que 0 est racine du polynôme. Ce n’est pas le cas.

 
Exercice 8  4575   

Soit P un polynôme réel scindé à racines simples de degré n2.

  • (a)

    Montrer que P ne peut pas posséder deux coefficients nuls successifs.

  • (b)

    Montrer que les coefficients situés de part et d’autre d’un coefficient nul de P ne peuvent être de même signe.

 
Exercice 9  3696     X (MP)Correction  

Soit P[X] scindé sur .

Montrer que pour tout réel α, le polynôme P+αP est lui aussi scindé sur .

Solution

Rappelons qu’un polynôme est scindé sur un corps si, et seulement si, la somme des multiplicités des racines de ce polynôme sur ce corps égale son degré.
Notons a0<a1<<am les racines réelles de P et α0,α1,,αm leurs multiplicités respectives. Le polynôme P étant scindé, on peut écrire

deg(P)=k=0mαk.

On convient de dire qu’une racine de multiplicité 0 n’est en fait pas racine d’un polynôme. Avec ses termes, si ak est racine de multiplicité αk1 de P alors ak est racine de multiplicité αk-1 du polynôme P et donc racine de multiplicité au moins (et même exactement) αk-1 du polynôme P+αP. Ainsi, les ak fournissent

k=0m(αk-1)=deg(P)-(m+1)

racines comptées avec multiplicité au polynôme P+αP.
Considérons ensuite la fonction réelle f:xP(x)eαx.
Cette fonction est indéfiniment dérivable et prend la valeur 0 en chaque ak.
En appliquant le théorème de Rolle à celle-ci sur chaque intervalle [ak-1;ak], on produit des réels bk]ak-1;ak[ vérifiant f(bk)=0. Or

f(x)=(P(x)+αP(x))eαx

et donc bk est racine du polynôme P+αP.
Ajoutons à cela que les bk sont deux à deux distincts et différents des précédents ak car, par construction

a0<b1<a1<b2<<bm<am.

On vient donc de déterminer m nouvelles racines au polynôme P+αP et ce dernier possède donc au moins

deg(P)-1

racines comptées avec multiplicité.

Cas: α=0. Ce qui précède suffit pour conclure car deg(P)=deg(P)-1.

Cas: α0. Il manque encore une racine car deg(P+αP)=deg(P). Par les racines précédentes, il est possible de factoriser P+αP par un polynôme scindé Q de degré deg(P)-1 et le facteur correspondant étant de degré 1, cela donne une écriture scindé du polynôme P+αP.

 
Exercice 10  3683   Correction  

Soit P[X] un polynôme non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou nulles. Montrer que le polynôme P+P¯ est scindé dans [X].

Solution

On peut écrire P sous forme factorisée

P(X)=λk=1n(X-zk)

avec n=deg(P)* et zk vérifiant Im(zk)0.

Un complexe z est racine du polynôme P+P¯ si, et seulement si,

λk=1n(z-zk)=-λ¯k=1n(z-zk¯).

Si Im(z)>0 alors

k{1,,n},|z-zk|<|z-zk¯|

et donc

|λk=1n(z-zk)|<λ¯|k=1n(z-zk¯)|.

Ainsi, z ne peut être racine de P+P¯ et z¯ non plus par le même raisonnement ou parce que P+P¯ est un polynôme réel.
On en déduit que les racines de P sont toutes réelles et donc P est scindé dans [X].
Ainsi, le polynôme Re(P) est scindé dans [X].

[<] Factorisation [>] Relations entre coefficients et racines d'un polynôme scindé



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax