Exercice 1 4951 MINES (PC)

Soit $P \in ℝ [X]$ un polynôme unitaire de degré $n \in ℕ$ .

Montrer que $P$ est scindé sur $ℝ$ si, et seulement si,

{| Im (z) |}^{n} \leq | P (z) | pour tout z \in ℂ .

Exercice 2 4978 MINES (PSI)

Soit $P$ un polynôme complexe non constant. Existe-t-il $λ \in ℂ$ tel que $P - λ$ soit scindé à racines simples?

Exercice 3 2160 Correction

Soit $P$ un polynôme de degré $n + 1 \in ℕ^{*}$ à coefficients réels possédant $n + 1$ racines réelles distinctes.

(a)

Montrer que son polynôme dérivé $P^{'}$ possède exactement $n$ racines réelles distinctes.
(b)

En déduire que les racines du polynôme $P^{2} + 1$ sont toutes simples dans $ℂ$ .

Solution

(a)

Notons $a_{0} < a_{1} < \dots < a_{n}$ les racines de $P$ .
En appliquant le théorème de Rolle à la fonction $x \mapsto P (x)$ sur l’intervalle $[a_{i - 1}; a_{i}]$ , on justifie l’existence d’un réel $b_{i} \in] a_{i - 1}; a_{i} [$ tels que $P^{'} (b_{i}) = 0$ . Puisque

$a_{0} < b_{1} < a_{1} < b_{2} < \dots < b_{n} < a_{n}$

les réels $b_{1}, \dots, b_{n}$ sont deux à deux distincts ce qui fournit $n$ racines réelles au polynôme $P^{'}$ .
Puisque $\deg (P^{'}) = \deg (P) - 1 = n$ , il ne peut y en avoir d’autres.
(b)

Une racine multiple de $P^{2} + 1$ est aussi racine du polynôme dérivé

${(P^{2} + 1)}^{'} = 2 P P^{'} .$

Or les racines de $P$ ne sont pas racines de $P^{2} + 1$ et les racines de $P^{'}$ sont réelles et ne peuvent donc être racines de $P^{2} + 1$ . Par suite, $P^{2} + 1$ et ${(P^{2} + 1)}^{'}$ n’ont aucunes racines communes: les racines de $P^{2} + 1$ sont simples.

Exercice 4 3339 Correction

Soit $P \in ℝ [X]$ scindé à racines simples dans $ℝ$ . Montrer que pour tout $α \in ℝ^{*}$ les racines de $P^{2} + α^{2}$ dans $ℂ$ sont toutes simples.

Solution

Notons que par application du théorème de Rolle, les racines de $P^{'}$ sont réelles (et simples)
Les racines multiples de $P^{2} + α^{2}$ sont aussi racines de ${(P^{2} + α^{2})}^{'} = 2 P P^{'}$ .
Or les racines de $P^{2} + α^{2}$ ne peuvent être réelles et les racines de $P P^{'}$ sont toutes réelles.
Il n’y a donc pas de racines multiples au polynôme $P^{2} + α^{2}$ .

Exercice 5 4547

Soit $P$ un polynôme de degré $n \in ℕ$ possédant au moins $n$ racines distinctes. Peut-il y en avoir d’autres? Quelles sont leurs multiplicités?

Exercice 6 4561

Soit $P$ un polynôme réel non constant.

(a)

On suppose que $P$ est scindé sur $ℝ$ à racines simples. Montrer que le polynôme $P^{'}$ est lui aussi scindé sur $ℝ$ .
(b)

Montrer que le résultat perdure même si les racines de $P$ ne sont plus supposées simples.
(c)

Le polynôme $X^{6} - X + 1$ est-il scindé sur $ℝ$ ?

Exercice 7 2669 MINES (MP)Correction

(a)

Si $P \in ℝ [X]$ est scindé sur $ℝ$ , montrer que $P^{'}$ est scindé ou constant sur $ℝ$ .
(b)

Si $(a, b, c) \in ℝ^{3}$ , montrer que $X^{10} + a X^{9} + b X^{8} + c X^{7} + X + 1$ n’est pas scindé sur $ℝ$ .

Solution

(a)

Si $P$ est degré 1 alors $P^{'}$ est constant. Si $P$ est de degré $n \geq 2$ , par application du théorème de Rolle, il figure une racine de $P^{'}$ entre deux racines consécutives de $P$ . De surcroît, si $a$ est racine de multiplicité $α \in ℕ^{*}$ de $P$ , $a$ est aussi racine de multiplicité $α - 1$ de $P^{'}$ . Par suite, $P^{'}$ en admet $n - 1$ racines comptées avec multiplicité et est donc scindé.
(b)

0 est racine multiple du polynôme dérivé à l’ordre 2. Si le polynôme était scindé, l’étude qui précède permet d’observer que 0 est racine du polynôme. Ce n’est pas le cas.

Exercice 8 4575

Soit $P$ un polynôme réel scindé à racines simples de degré $n \geq 2$ .

(a)

Montrer que $P$ ne peut pas posséder deux coefficients nuls successifs.
(b)

Montrer que les coefficients situés de part et d’autre d’un coefficient nul de $P$ ne peuvent être de même signe.

Exercice 9 3696 X (MP)Correction

Soit $P \in ℝ [X]$ scindé sur $ℝ$ .

Montrer que pour tout réel $α$ , le polynôme $P^{'} + α P$ est scindé sur $ℝ$ .

Solution

Rappelons qu’un polynôme est scindé sur un corps si, et seulement si, la somme des multiplicités des racines de ce polynôme sur ce corps égale son degré.
Notons $a_{0} < a_{1} < \dots < a_{m}$ les racines réelles de $P$ et $α_{0}, α_{1}, \dots, α_{m}$ leurs multiplicités respectives. Le polynôme $P$ étant scindé, on peut écrire

\deg (P) = \sum_{k = 0}^{m} α_{k} .

On convient de dire qu’une racine de multiplicité 0 n’est en fait pas racine d’un polynôme. Avec ses termes, si $a_{k}$ est racine de multiplicité $α_{k} \geq 1$ de $P$ alors $a_{k}$ est racine de multiplicité $α_{k} - 1$ du polynôme $P^{'}$ et donc racine de multiplicité au moins (et même exactement) $α_{k} - 1$ du polynôme $P^{'} + α P$ . Ainsi, les $a_{k}$ fournissent

\sum_{k = 0}^{m} (α_{k} - 1) = \deg (P) - (m + 1)

racines comptées avec multiplicité au polynôme $P^{'} + α P$ .
Considérons ensuite la fonction réelle $f : x \mapsto P (x) e^{α x}$ .
Cette fonction est indéfiniment dérivable et prend la valeur 0 en chaque $a_{k}$ .
En appliquant le théorème de Rolle à celle-ci sur chaque intervalle $[a_{k - 1}; a_{k}]$ , on produit des réels $b_{k} \in] a_{k - 1}; a_{k} [$ vérifiant $f^{'} (b_{k}) = 0$ . Or

f^{'} (x) = (P^{'} (x) + α P (x)) e^{α x}

et donc $b_{k}$ est racine du polynôme $P^{'} + α P$ .
Ajoutons à cela que les $b_{k}$ sont deux à deux distincts et différents des précédents $a_{k}$ car, par construction

a_{0} < b_{1} < a_{1} < b_{2} < \dots < b_{m} < a_{m} .

On vient donc de déterminer $m$ nouvelles racines au polynôme $P^{'} + α P$ et ce dernier possède donc au moins

\deg (P) - 1

racines comptées avec multiplicité.

Cas: $α = 0$ . Ce qui précède suffit pour conclure car $\deg (P^{'}) = \deg (P) - 1$ .

Cas: $α \neq 0$ . Il manque encore une racine car $\deg (P^{'} + α P) = \deg (P)$ . Par les racines précédentes, il est possible de factoriser $P^{'} + α P$ par un polynôme scindé $Q$ de degré $\deg (P) - 1$ et le facteur correspondant étant de degré $1$ , cela donne une écriture scindé du polynôme $P^{'} + α P$ . On peut aussi considérer \ogune racine \ogen $\pm \infty$ selon le signe de $α$ .

Exercice 10 3683 Correction

Soit $P \in ℂ [X]$ un polynôme non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou nulles. Montrer que le polynôme $P + \bar{P}$ est scindé dans $ℝ [X]$ .

Solution

On peut écrire $P$ sous forme factorisée

P (X) = λ \prod_{k = 1}^{n} (X - z_{k})

avec $n = \deg (P) \in ℕ^{*}$ et $z_{k} \in ℂ$ vérifiant $Im (z_{k}) \geq 0$ .

Un complexe $z$ est racine du polynôme $P + \bar{P}$ si, et seulement si,

λ \prod_{k = 1}^{n} (z - z_{k}) = - \bar{λ} \prod_{k = 1}^{n} (z - \bar{z_{k}}) .

Si $Im (z) > 0$ alors

\forall k \in {1, \dots, n}, | z - z_{k} | < | z - \bar{z_{k}} |

et donc

| λ \prod_{k = 1}^{n} (z - z_{k}) | < \bar{λ} | \prod_{k = 1}^{n} (z - \bar{z_{k}}) | .

Ainsi, $z$ ne peut être racine de $P + \bar{P}$ et $\bar{z}$ non plus par le même raisonnement ou parce que $P + \bar{P}$ est un polynôme réel.
On en déduit que les racines de $P$ sont toutes réelles et donc $P$ est scindé dans $ℝ [X]$ .
Ainsi, le polynôme $Re (P)$ est scindé dans $ℝ [X]$ .

Exercice 11 5481 Correction

Soient $p, q$ deuxs réels.

Montrer que $P = X^{3} + p X + q$ est scindé sur $ℝ$ si, et seulement si, $4 p^{3} + 27 q^{2} \leq 0$ .

Solution

Étudions les variations de la fonction

P : {\begin{matrix} ℝ & \to & ℝ \\ t & \mapsto & t^{3} + p t + q . \end{matrix}

Cette fonction est dérivable de dérivée $P^{'} (t) = 3 t^{2} + p$ .

Cas: $p > 0$ . La dérivée est strictement positive et la fonction polynomiale $P$ est strictement croissante. Dans ce cas, le polynôme $P$ n’admet qu’une seule racine réelle et c’est une racine simple car elle n’est pas racine de $P^{'}$ . Le polynôme $P$ n’est alors pas scindé sur $ℝ$ . La condition $4 p^{3} + 27 q^{2} \leq 0$ n’est quant à elle pas vérifiée.

Cas: $p = 0$ . À nouveau la fonction polynomiale $P$ est strictement croissante et admet une seule racine. Si $q \neq 0$ , cette racine est non nulle et c’est une racine simple. Si $q = 0$ , cette racine est une racine triple. Le polynôme $P$ est donc scindé sur $ℝ$ si, et seulement si, $q = 0$ ce qui est aussi la seule situation où $4 p^{3} + 27 q^{2} \leq 0$ dans le cas considéré.

Cas: $p < 0$ . La dérivée de $P$ s’annule en $- α$ et $α$ avec $α = \sqrt{- p / 3}$ .

On dresse le tableau des variations de la fonction $t \mapsto P (t)$

Compte tenu de ces variations, le polynôme $P$ présente trois racines réelles si, et seulement si, $P (- α) \geq 0$ et $P (α) \leq 0$ (un cas d’égalité correspondant à une situation de racine double). Puisque $P (- α) \geq P (α)$ , la condition précédente équivaut encore à $P (- α) P (α) \leq 0$ avec

	$P (- α) P (α)$	$= - (α^{3} + p α + q) (α^{3} + p α - q)$
		$= - (\frac{2 p α}{3} + q) (\frac{2 p α}{3} - q) = \frac{4 p^{3} + 27 q^{2}}{27} .$

Ainsi, $P$ est scindé sur $ℝ$ si, et seulement si, $4 p^{3} + 27 q^{2} \leq 0$ .

Exercice 12 2594 NAVALE (MP)Correction

Pour $n \in ℕ$ , on pose

P_{n} = {(X + i)}^{2 n + 1} - {(X - i)}^{2 n + 1} .

(a)

Déterminer le degré et le coefficient dominant de $P_{n}$ .
(b)

Déterminer toutes les racines de $P_{n}$ .
(c)

En déduire la valeur de

$\prod_{k = 1}^{n} (4 + \cot^{2} (\frac{k π}{2 n + 1})) .$

Solution

(a)

On amorce le développement des puissances par la formule du binôme de Newton pour écrire

$P_{n} = X^{2 n + 1} + i (2 n + 1) X^{2 n} + \dots - (X^{2 n + 1} - i (2 n + 1) X^{2 n} + \dots) .$

Après simplification,

$P_{n} = 2 i (2 n + 1) X^{2 n} + \dots$

(b)

On résout l’équation

{(z + i)}^{2 n + 1} = {(z - i)}^{2 n + 1}

d’inconnue $z \in ℂ$ .

On commence par remarquer que $z = i$ n’est pas solution. Pour $z \in ℂ ∖ {i}$ ,

	${(z + i)}^{2 n + 1} = {(z - i)}^{2 n + 1}$	$\Leftrightarrow {(\frac{z + i}{z - i})}^{2 n + 1} = 1$
		$\Leftrightarrow \exists k \in ⟦ 0; 2 n ⟧, \frac{z + i}{z - i} = e^{2 i k π / (2 n + 1)} .$

On remarque que la valeur $k = 0$ n’est pas possible et l’on poursuit

	${(z + i)}^{2 n + 1} = {(z - i)}^{2 n + 1}$	$\Leftrightarrow \exists k \in ⟦ 1; 2 n ⟧, \frac{z + i}{z - i} = e^{2 i k π / (2 n + 1)}$
		$\Leftrightarrow \exists k \in ⟦ 1; 2 n ⟧, z = i \frac{ω_{k} + 1}{ω_{k} - 1} avec ω_{k} = e^{2 i k π / (2 n + 1)}$
		$\Leftrightarrow \exists k \in ⟦ 1; 2 n ⟧, z = \cot (\frac{k π}{2 n + 1}) .$

Les racines de $P_{n}$ sont donc les réels

z_{k} = \cot (\frac{k π}{2 n + 1}) pour k = 1, \dots,2 n .

Ceux-ci sont deux à deux distincts car la fonction cotangente est strictement décroissante donc injective sur $] 0; π [$ . Puisque le polynôme $P_{n}$ est de degré $2 n$ , ces racines sont des racines simples de $P_{n}$ .

(c)

Ce qui précède permet d’écrire la factorisation

$P_{n} = 2 i (2 n + 1) \prod_{k = 1}^{2 n} (X - \cot (\frac{k π}{2 n + 1})) .$

Puisque $\cot (x) = - \cot (π - x)$ , on peut aussi écrire

$P_{n}$ $= 2 i (2 n + 1) \prod_{k = 1}^{n} (X - \cot (\frac{k π}{2 n + 1})) (X + \cot (\frac{k π}{2 n + 1}))$

$= 2 i (2 n + 1) \prod_{k = 1}^{n} (X^{2} - \cot^{2} (\frac{k π}{2 n + 1})) .$

En évaluant en $2 i$ ,

$P_{n} (2 i) = 2 i (2 n + 1) {(- 1)}^{n} \prod_{k = 1}^{n} (4 + \cot^{2} (\frac{k π}{2 n + 1}))$

mais aussi

$P_{n} (2 i) = {(3 i)}^{2 n + 1} - i^{2 n + 1} = i {(- 1)}^{n} (3^{2 n + 1} - 1) .$

On a donc

$\prod_{k = 1}^{n} (4 + \cot^{2} (\frac{k π}{2 n + 1})) = \frac{3^{2 n + 1} - 1}{2 (2 n + 1)} .$

[<] Factorisation [>] Relations entre coefficients et racines d'un polynôme scindé

Édité le 14-10-2023

	$P_{n}$	$= 2 i (2 n + 1) \prod_{k = 1}^{n} (X - \cot (\frac{k π}{2 n + 1})) (X + \cot (\frac{k π}{2 n + 1}))$
		$= 2 i (2 n + 1) \prod_{k = 1}^{n} (X^{2} - \cot^{2} (\frac{k π}{2 n + 1})) .$

Polynômes scindés