[<] Divisibilité [>] Arithmétique
Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de par avec
En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur pour que divise .
Solution
.
Le polynôme divise si, et seulement si, .
Soient et deux éléments distincts de et .
Exprimer en fonction de le reste de la division de par .
Exprimer en fonction de le reste de la division de par .
Soient et .
Déterminer le reste de la division euclidienne dans de par .
Solution
avec ce qui permet d’écrire avec .
Cette relation doit être aussi vraie dans et peut donc être évaluée en :
or donc et .
Soit et le reste de la division euclidienne de par .
Montrer que le reste de la division euclidienne de par est .
Solution
On a avec .
Or et . On peut donc écrire
puis
ce qui permet de reconnaître le reste de division euclidienne cherchée.
Soient .
De la division euclidienne de par , déduire celle de par .
Établir que
Solution
avec .
or donc avec et .
Puisque , est le reste de la division euclidienne de par .
Suivons l’algorithme d’Euclide calculant le pgcd de et .
, puis tant que , on pose le reste de la division euclidienne de par .
Cet algorithme donne avec le dernier reste non nul.
Par la question ci-dessus on observe que si on pose alors , et pour tout tel que , et est le reste de la division euclidienne de par .
Par suite, car puisque .
Soient distincts. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme de vérifiant
Solution
Supposons solution. Soit . Par division euclidienne de par , on peut écrire
En évaluant cette identité en et , on détermine et
Par linéarité de , on obtient
car . Ainsi,
ce qui détermine de façon unique.
Inversement, on vérifie aisément que l’application définie sur par la relation précédente est un endomorphisme de résolvant le problème posé.
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Édité le 29-08-2023
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