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Exercice 1  5208  

Calculer le quotient Q et le reste R de la division euclidienne de A par B avec

A=2X4+X3-X2-X-1etB=X3+X2+X-3.
 
Exercice 2  2140  Correction  

En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur (λ,μ)𝕂2 pour que X2+2 divise X4+X3+λX2+μX+2.

Solution

X4+X3+λX2+μX+2=(X2+2)(X2+X+(λ-2))+(μ-2)X+6-2λ.
Le polynôme X2+2 divise X4+X3+λX2+μX+2 si, et seulement si, λ=3,μ=2.

 
Exercice 3  4563  

Soient λ et μ deux éléments distincts de 𝕂 et P𝕂[X].

  • (a)

    Exprimer en fonction de P le reste de la division de P par (X-λ)(X-μ).

  • (b)

    Exprimer en fonction de P le reste de la division de P par (X-λ)2.

 
Exercice 4  2143    X (MP)Correction  

Soient t et n*.
Déterminer le reste de la division euclidienne dans [X] de (Xcos(t)+sin(t))n par X2+1.

Solution

(Xcos(t)+sin(t))n=(X2+1)Q+R avec deg(R)<2 ce qui permet d’écrire R=aX+b avec a,b.
Cette relation doit être aussi vraie dans [X] et peut donc être évaluée en i:
(icos(t)+sin(t))n=R(i)=ai+b or (icos(t)+sin(t))n=ei(nπ/2-nt) donc a=sin(n(π/2-t)) et b=cos(n(π/2-t)).

 
Exercice 5  2144  Correction  

Soit k,n* et r le reste de la division euclidienne de k par n.
Montrer que le reste de la division euclidienne de Xk par Xn-1 est Xr.

Solution

On a k=nq+r avec 0r<n.
Or Xk-Xr=Xr(Xnq-1) et Xn-1Xnq-1. On peut donc écrire

Xnq-1=(Xn-1)Q(X)

puis

Xk=(Xn-1)XrQ(X)+Xr avec deg(Xr)<deg(Xn-1)

ce qui permet de reconnaître le reste de division euclidienne cherchée.

 
Exercice 6  2145   Correction  

Soient n,m*.

  • (a)

    De la division euclidienne de n par m, déduire celle de Xn-1 par Xm-1.

  • (b)

    Établir que

    pgcd(Xn-1,Xm-1)=Xpgcd(n,m)-1.

Solution

  • (a)

    n=mq+r avec 0r<m.
    Xn-1=Xmq+r-1=Xmq+r-Xr+Xr-1=Xr(Xmq-1)+Xr-1
    or Xmq-1=(Xm-1)(1+Xm++Xm(q-1)) donc Xn-1=(Xm-1)Q+R avec Q=Xr(1+Xm++Xm(q-1)) et R=Xr-1.
    Puisque deg(R)<deg(Xm-1), R est le reste de la division euclidienne de Xn-1 par Xm-1.

  • (b)

    Suivons l’algorithme d’Euclide calculant le pgcd de n et m.
    a0=n, a1=m puis tant que ak0, on pose ak+1 le reste de la division euclidienne de ak-1 par ak.
    Cet algorithme donne pgcd(m,n)=ap avec ap le dernier reste non nul.
    Par la question ci-dessus on observe que si on pose Ak=Xak-1 alors A0=Xn-1, A1=Xm-1 et pour tout k tel que ak0, Ak0 et Ak+1 est le reste de la division euclidienne de Ak-1 par Ak.
    Par suite, pgcd(Xn-1,Xm-1)=pgcd(A0,A1)=pgcd(A1,A2)==pgcd(Ap,Ap+1)=Ap=Xpgcd(m,n)-1 car Ap+1=0 puisque ap+1=0.

 
Exercice 7  3133  Correction  

Soient a,b distincts. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme φ de [X] vérifiant

φ(1)=1,φ(X)=XetP[X],P(a)=P(b)=0φ(P)=0.

Solution

Supposons φ solution. Soit P[X]. Par division euclidienne de P par (X-a)(X-b), on peut écrire

P=(X-a)(X-b)Q(X)+αX+β.

En évaluant cette identité en a et b, on détermine α et β

α=P(b)-P(a)b-a et β=bP(a)-aP(b)b-a.

Par linéarité de φ, on obtient

φ(P)=φ(αX+β)=αX+β

car φ((X-a)(X-b)Q(X))=0. Ainsi,

φ(P)=P(b)-P(a)b-aX+bP(a)-aP(b)b-a

ce qui détermine φ de façon unique.

Inversement, on vérifie aisément que l’application φ définie sur [X] par la relation précédente est un endomorphisme de [X] résolvant le problème posé.

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Édité le 08-11-2019

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