[<] Équations à inconnue polynomiale [>] Fonctions polynomiales

 
Exercice 1  2130  Correction  

Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un unique polynôme Pn[X] tel que

Pn-Pn=Xn.

Exprimer les coefficients de Pn à l’aide de nombres factoriels.

Solution

Les polynômes solutions de Pn-Pn=Xn sont nécessairement de degré n.
Cherchons ceux-ci de la forme:

Pn=anXn+an-1Xn-1++a1X+a0

Pn-Pn=Xn équivaut à

an=1,an-1=nan,an-2=(n-1)an-1,,a0=1.a1.

Par suite, l’équation Pn-Pn=Xn possède une et une seule solution qui est:

P=Xn+nXn-1+n(n-1)Xn-2++n!=k=0nn!k!Xk.
 
Exercice 2  3338  Correction  

Trouver tous les polynômes P[X] tels que

k,kk+1P(t)dt=k+1.

Solution

Soit P un polynôme et Q un polynôme primitif de P. P est solution du problème posé si, et seulement si,

k,Q(k+1)-Q(k)=k+1.

En raisonnant par coefficients inconnus, on observe que Q(X)=12X(X+1) est solution.
Si Q~(X) est aussi solution alors

k,(Q-Q~)(k+1)=(Q-Q~)(k)

et on en déduit que le polynôme Q-Q~ est constant.
On en déduit que

P(X)=X+12

est l’unique solution du problème posé.

 
Exercice 3  4546  

Soit n. En étudiant la dérivée n-ième de X2n, établir

k=0n(nk)2=(2nn).
 
Exercice 4  2131     X (MP)

Déterminer les polynômes de 𝕂[X] divisibles par leur polynôme dérivé.

 
Exercice 5  3341  Correction  

Soit P[X]. On suppose que a vérifie

P(a)>0 et k*,P(k)(a)0.

Montrer que le polynôme P ne possède pas de racines dans [a;+[.

Solution

Par la formule de Taylor, on a pour tout x0

P(a+x)=k=0deg(P)P(k)(a)k!xkP(a)>0.
 
Exercice 6  2132   Correction  

Soit P𝕂[X]. Montrer

P(X+1)=n=0+1n!P(n)(X).

Solution

Par la formule de Taylor

P(X)=n=0+P(n)(0)n!Xn

donc

P(1)=n=0+P(n)(0)n!

et plus généralement

P(k)(1)=n=0+P(n+k)(0)n!.

Par la formule de Taylor

P(X+1)=k=0+P(k)(1)k!Xk=k=0+n=0+1k!P(n+k)(0)n!Xk

puis en permutant les sommes (qui se limitent à un nombre fini de termes non nuls)

P(X+1)=n=0+k=0+1k!P(n+k)(0)n!Xk=n=0+1n!P(n)(X).

Autre méthode: On exploite les ingrédients suivants:
- l’application qui à P associe n=0+1n!P(n)(X) est linéaire;
- par la formule du binôme, cette application envoie chaque Xk sur (X+1)k;
- deux applications linéaires égales sur une base sont égales sur l’espace.

[<] Équations à inconnue polynomiale [>] Fonctions polynomiales



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax