Exercice 1 2130 Correction

Montrer que pour tout entier naturel $n$ , il existe un unique polynôme $P_{n} \in ℝ [X]$ tel que

P_{n} - P_{n}^{'} = X^{n} .

Exprimer les coefficients de $P_{n}$ à l’aide de nombres factoriels.

Solution

Les polynômes solutions de $P_{n} - P_{n}^{'} = X^{n}$ sont nécessairement de degré $n$ .
Cherchons ceux-ci de la forme:

P_{n} = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}

$P_{n} - P_{n}^{'} = X^{n}$ équivaut à

a_{n} = 1, a_{n - 1} = n a_{n}, a_{n - 2} = (n - 1) a_{n - 1}, \dots, a_{0} = 1 . a_{1} .

Par suite, l’équation $P_{n} - P_{n}^{'} = X^{n}$ possède une et une seule solution qui est:

P = X^{n} + n X^{n - 1} + n (n - 1) X^{n - 2} + \dots + n! = \sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k!} X^{k} .

Exercice 2 3338 Correction

Trouver tous les polynômes $P \in ℝ [X]$ tels que

\forall k \in ℤ, \int_{k}^{k + 1} P (t) d t = k + 1 .

Solution

Soit $P$ un polynôme et $Q$ un polynôme primitif de $P$ . $P$ est solution du problème posé si, et seulement si,

\forall k \in ℤ, Q (k + 1) - Q (k) = k + 1 .

En raisonnant par coefficients inconnus, on observe que $Q (X) = \frac{1}{2} X (X + 1)$ est solution.
Si $\tilde{Q} (X)$ est aussi solution alors

\forall k \in ℤ, (Q - \tilde{Q}) (k + 1) = (Q - \tilde{Q}) (k)

et on en déduit que le polynôme $Q - \tilde{Q}$ est constant.
On en déduit que

P (X) = X + \frac{1}{2}

est l’unique solution du problème posé.

Exercice 3 4546

Soit $n \in ℕ$ .

En étudiant la dérivée $n$ -ième du polynôme $X^{2 n}$ , établir

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n}) .

Exercice 4 2131 X (MP)

Déterminer les polynômes de $𝕂 [X]$ divisibles par leur polynôme dérivé.

Exercice 5 3341 Correction

Soit $P \in ℝ [X]$ . On suppose que $a \in ℝ$ vérifie

P (a) > 0 et \forall k \in ℕ^{*}, P^{(k)} (a) \geq 0 .

Montrer que le polynôme $P$ ne possède pas de racines dans $[a; + \infty [$ .

Solution

Par la formule de Taylor, on a pour tout $x \geq 0$

P (a + x) = \sum_{k = 0}^{\deg (P)} \frac{P^{(k)} (a)}{k!} x^{k} \geq P (a) > 0 .

Exercice 6 2132 Correction

Soit $P \in 𝕂 [X]$ . Montrer

P (X + 1) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} P^{(n)} (X) .

Solution

Par la formule de Taylor

P (X) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{P^{(n)} (0)}{n!} X^{n}

donc

P (1) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{P^{(n)} (0)}{n!}

et plus généralement

P^{(k)} (1) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{P^{(n + k)} (0)}{n!} .

Par la formule de Taylor

P (X + 1) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{P^{(k)} (1)}{k!} X^{k} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{k!} \frac{P^{(n + k)} (0)}{n!} X^{k}

puis en permutant les sommes (qui se limitent à un nombre fini de termes non nuls)

P (X + 1) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{1}{k!} \frac{P^{(n + k)} (0)}{n!} X^{k} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} P^{(n)} (X) .

Autre méthode: On exploite les ingrédients suivants:
- l’application qui à $P$ associe $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} P^{(n)} (X)$ est linéaire;
- par la formule du binôme, cette application envoie chaque $X^{k}$ sur ${(X + 1)}^{k}$ ;
- deux applications linéaires égales sur une base sont égales sur l’espace.

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Édité le 29-08-2023

Dérivation