Exercice 1 5532 Correction

Justifier que tout polynôme réel de degré impair possède au moins une racine réelle:

(a)

en employant le théorème des valeurs intermédiaires;
(b)

en employant le théorème de décomposition en facteurs irréductibles.

Solution

Soit $P$ un polynôme réel de degré impair $2 n + 1$ avec $n \in ℕ$ :

P = a_{2 n + 1} X^{2 n + 1} + a_{2 n} X^{2 n} + \dots + a_{0}

avec $a_{0}, \dots, a_{2 n + 1} \in ℝ$ , $a_{2 n + 1} \neq 0$ .

(a)

La fonction polynomiale $x \mapsto P (x)$ est définie et continue sur $ℝ$ avec

$P (x) \to_{x \to + \infty}^{} {\begin{matrix} + \infty & si a_{2 n + 1} > 0 \\ - \infty & si a_{2 n + 1} < 0 \end{matrix} et P (x) \to_{x \to - \infty}^{} {\begin{matrix} - \infty & si a_{2 n + 1} > 0 \\ + \infty & si a_{2 n + 1} < 0 . \end{matrix}$

La fonction continue $x \mapsto P (x)$ prend donc des valeurs positives et des valeurs négatives, le théorème des valeurs intermédiaires assure que cette fonction s’annule. Par conséquent, le polynôme $P$ admet au moins une racine réelle.
(b)

Si le polynôme $P$ ne présente pas de racines réelles, sa décomposition en facteurs irréductibles est un produit de polynômes de degrés $2$ . Le polynôme $P$ est alors de degré pair. Par contraposition, si $P$ est de degré impair, il possède au moins une racine réelle.

Exercice 2 4562

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(p, q) \in ℂ^{2}$ pour que le polynôme $X^{3} + p X + q$ admette une racine multiple et déterminer celle-ci.

Exercice 3 4560

Soit

P = X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0} \in ℂ [X] .

Montrer que, si un nombre complexe $ξ$ est racine de $P$ , alors

| ξ | \leq \max (1, | a_{0} | + | a_{1} | + \dots + | a_{n - 1} |) .

Exercice 4 3342 Correction

Soit $P = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n} X^{n} \in ℂ [X]$ . On pose

M = sup_{| z | = 1} | P (z) | .

Montrer

\forall k \in {0, \dots, n}, | a_{k} | \leq M .

On pourra employer des racines de l’unité.

Solution

Soit $ω = e^{2 i π / (n + 1)}$ une racine $(n + 1)$ -ième de l’unité. On a

P (1) + P (ω) + \dots + P (ω^{n}) = (n + 1) a_{0}

car

\sum_{k = 0}^{n} ω^{k ℓ} = {\begin{matrix} n + 1 & si ℓ \equiv 0 [n + 1] \\ 0 & sinon. \end{matrix}

On en déduit $(n + 1) | a_{0} | \leq (n + 1) M$ puis $| a_{0} | \leq M$ .
De façon plus générale, on a

P (1) + ω^{- k} P (ω) + \dots + ω^{- n k} P (ω^{n}) = (n + 1) a_{k}

et on en déduit $| a_{k} | \leq M$ .

Exercice 5 2158 Correction

Soient $a, b, c$ trois éléments, non nuls et distincts, du corps $𝕂$ .
Démontrer que le polynôme

P = \frac{X (X - b) (X - c)}{a (a - b) (a - c)} + \frac{X (X - c) (X - a)}{b (b - c) (b - a)} + \frac{X (X - a) (X - b)}{c (c - a) (c - b)}

peut s’écrire sous la forme $P = λ (X - a) (X - b) (X - c) + 1$ où $λ$ est une constante que l’on déterminera.

Solution

$P (a) = P (b) = P (c) = 1$ et $a, b, c$ deux à deux distincts donc

(X - a) (X - b) (X - c) ∣ P - 1 .

De plus, $\deg (P) \leq 3$ donc il existe $λ \in 𝕂$ tel que

P = λ (X - a) (X - b) (X - c) + 1 .

Puisque $P (0) = 0$ , on a $λ = \frac{1}{a b c}$ .

Exercice 6 5211

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Montrer que les racines du polynôme

P = 1 + X + \frac{1}{2!} X^{2} + \dots + \frac{1}{n!} X^{n}

sont simples.

Exercice 7 4559

Soit

P = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}

un polynôme à coefficients entiers tel que $a_{n} \neq 0$ et $a_{0} \neq 0$ .

(a)

On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $r = p / q$ exprimée sous forme irréductible. Montrer que $p ∣ a_{0}$ et $q ∣ a_{n}$ .
(b)

Factoriser dans $ℝ [X]$

$P = 2 X^{3} - X^{2} - X - 3 .$

Exercice 8 2663 MINES (MP)Correction

(a)

Montrer que $a = \cos (π / 9)$ est racine d’un polynôme de degré trois à coefficients dans $ℤ$ .
(b)

Justifier que le nombre $a$ est irrationnel.

Solution

(a)

On a

$\cos (3 x) = 4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

donc

$4 a^{3} - 3 a = \cos (π / 3) = 1 / 2 .$

Ainsi $a$ est racine du polynôme $8 X^{3} - 6 X - 1$ .
(b)

Soit $x$ une racine rationnelle de ce polynôme. On peut écrire $x = p / q$ avec $p \land q = 1$ . On a alors

$8 p^{3} - 6 p q^{2} - q^{3} = 0 .$

On en déduit $p ∣ 8 p^{3} - 6 p q^{2} = q^{3}$ . Or $p$ et $q$ sont premiers entre eux et donc par le théorème de Gauss $p = \pm 1$ . De plus, $q^{2} ∣ 6 p q^{2} + q^{3} = 8 p^{3}$ et, par un argument analogue au précédent, $q^{2} ∣ 8$ . Ainsi $q = \pm 1$ ou $q = \pm 2$ .
Or $1, - 1,1 / 2$ et $- 1 / 2$ ne sont pas les valeurs de $\cos (π / 9)$ . On peut donc conclure que $a$ est irrationnel.

Exercice 9 2371 CENTRALE (MP)Correction

(a)

Soit $n \in ℕ$ . Exprimer $\sin ((2 n + 1) α)$ en fonction de $\sin (α)$ et $\cos (α)$ .
(b)

En déduire que les racines du polynôme:

$P (X) = \sum_{p = 0}^{n} {(- 1)}^{p} (\binom{2 n + 1}{2 p + 1}) X^{n - p}$

sont de la forme $x_{k} = \cot^{2} (β_{k})$ . Déterminer les $β_{k}$ .

Solution

(a)

L’égalité

$\sin ((2 n + 1) α) = Im (e^{i (2 n + 1) α}) = Im ({(\cos (α) + i \sin (α))}^{2 n + 1})$

donne en développant

$\sin ((2 n + 1) α) = \sum_{p = 0}^{n} {(- 1)}^{p} (\binom{2 n + 1}{2 p + 1}) \cos^{2 (n - p)} (α) . \sin^{2 p + 1} (α) .$
(b)

On observe

$\sin ((2 n + 1) α) = \sin^{2 n + 1} (α) P (\cot^{2} (α)) .$

Posons $β_{k} = \frac{k π}{2 n + 1}$ pour $1 \leq k \leq n$ . Les $x_{k} = \cot^{2} (β_{k})$ sont $n$ racines distinctes de $P$ , or $\deg (P) = n$ , ce sont donc exactement les racines de $P$ .

Exercice 10 5479 Correction

Soit

P = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0}

un polynôme réel de degré $n$ . On dit que ce polynôme est réciproque lorsque

a_{n - i} = a_{i} pour tout i \in ⟦ 0; n ⟧ .

(a)

Montrer que le polynôme $P$ est réciproque si, et seulement si,

$X^{n} P (\frac{1}{X}) = P (X) .$
(b)

On suppose que $P$ est un polynôme réciproque. Montrer que si $x$ est une racine de $P$ alors $x \neq 0$ et $1 / x$ est aussi racine de $P$ de même multiplicité.
(c)

Vérifier que si $P$ est un polynôme réciproque de degré pair $n = 2 p$ alors il existe $Q \in ℝ [X]$ tel que

$P (X) = X^{p} Q (X + \frac{1}{X}) .$
(d)

Vérifier que si $P$ est un polynôme réciproque de degré impair $n = 2 p + 1$ alors il existe $Q \in ℝ [X]$ tel que

$P (X) = (X + 1) X^{p} Q (X + \frac{1}{X}) .$

Solution

(a)

On remarque

$X^{n} P (\frac{1}{X}) = X^{n} \sum_{i = 0}^{n} \frac{a_{i}}{X^{i}} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{n - i} .$

Deux polynômes étant égaux si, et seulement si, leurs coefficients le sont, on obtient

$X^{n} P (\frac{1}{X}) = P (X) \Leftrightarrow \forall i \in ⟦ 0; n ⟧, a_{n - i} = a_{i} .$
(b)

Le coefficient constant d’un polynôme réciproque est égal à son coefficient dominant, il n’est donc pas nul et cela assure que $0$ n’est pas racine de $P$ .

Si $x$ est racine de $P$ alors on peut introduire $1 / x$ est l’égalité précédente donne

$x^{n} P (\frac{1}{x}) = P (x) = 0 .$

On en déduit que $1 / x$ est aussi racine de $P$ .

Si $x = \pm 1$ , $x$ et $1 / x$ désignent la même racine et il y a donc égalité des multiplicités. Sinon, on peut factoriser $P$ par $Q = (X - x) (X - 1 / x)$ . Ce polynôme $Q$ est réciproque et l’égalité $P = Q R$ avec $P$ et $Q$ réciproques implique $R$ réciproque. En effet,

$P (X) = X^{n} P (\frac{1}{X}) = X^{q + r} Q (\frac{1}{X}) R (\frac{1}{X}) = Q (X) R (X)$

avec $n$ , $q$ , et $r$ les degrés des polynômes $P$ , $Q$ et $R$ .

On en déduit que les racines $x$ et $1 / x$ ont la même multiplicité.
(c)

On raisonne par récurrence forte sur $p \in ℕ$ .

Pour $p = 0$ , c’est immédiat.

Supposons la propriété vérifiée jusqu’au rang $p - 1$ (avec $p \geq 1$ ).

Soit $P$ un polynôme réciproque de degré $2 p$ . Notons $α$ sont coefficients dominant et posons

$R (X) = P (X) - α X^{p} {(X + \frac{1}{X})}^{p} .$

On vérifie que $R$ est un polynôme et qu’il s’écrit

$R (X) = \sum_{i = 0}^{2 p} b_{i} X^{i} avec b_{2 p - i} = b_{i} et b_{2 p} = b_{0} = 0 .$

Si le polynôme $R$ est nul, on conclut avec $Q = α X^{p}$ .

Sinon, on introduit $m \geq 1$ la multiplicité de $0$ en tant que racine de $R$ et l’on observe

$R (X) = X^{m} \sum_{j = 0}^{2 p - 2 m} b_{j + m} X^{j} = X^{m} S (X) .$

Le polynôme $S$ est réciproque de degré $2 p - 2 m$ exactement.

Par hypothèse de récurrence forte, il existe $T \in ℝ [X]$ tel que

$S (X) = X^{p - m} T (X + \frac{1}{X})$

et alors

$P (X) = X^{p} Q (X) avec Q (X) = α X^{p} + T (X) .$

La récurrence est établie.
(d)

On remarque que si $P$ est un polynôme réciproque de degré impair alors $- 1$ en est racine. On peut alors factoriser $P$ par $X + 1$ et écrire $P = (X + 1) R$ . Le polynôme $X + 1$ est réciproque et donc le polynôme $R$ l’est aussi. De plus, $R$ est de degré pair et l’on peut conclure en employant le résultat de la question précédente.

Exercice 11 5445 MINES (MP)Correction

Soient $a, b, c, d, e \in ℝ$ et les polynômes

P = a X^{2} + (c - b) X + e - d et Q = a X^{4} + b X^{3} + c X^{2} + d X + e .

On suppose que $P$ possède une racine dans $[1; + \infty [$ . Montrer que $Q$ possède au moins une racine réelle.

Solution

Pour $x > 0$ , on remarque

\frac{1}{2} (Q (\sqrt{x}) + Q (- \sqrt{x})) = a x^{2} + c x + e et \frac{1}{2 \sqrt{x}} (Q (\sqrt{x}) - Q (- \sqrt{x})) = b x + d

donc

P (x) = \frac{1}{2} ((Q (\sqrt{x}) + Q (- \sqrt{x})) - \frac{1}{\sqrt{x}} (Q (\sqrt{x}) - Q (- \sqrt{x}))) .

Si $x \geq 1$ est raine de $P$ , il vient donc

\underset{\begin{matrix} \geq 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{(1 - \frac{1}{\sqrt{x}})}} Q (\sqrt{x}) = - \underset{\begin{matrix} \geq 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}} Q (- \sqrt{x}) .

Les valeurs $Q (\sqrt{x})$ et $Q (- \sqrt{x})$ sont de signes opposés, la fonction polynôme $Q$ s’annule alors car continue.

Exercice 12 1352 X (MP)

Soient $n \in ℕ^{*}$ , $a_{0}, \dots, a_{n}$ des réels deux à deux distincts et $P = (X - a_{0}) \dots (X - a_{n})$ .

(a)

Simplifier l’expression du polynôme

$\sum_{i = 0}^{n} \prod_{\begin{matrix} 0 \leq j \leq n \\ j \neq i \end{matrix}} \frac{X - a_{j}}{a_{i} - a_{j}} .$
(b)

Calculer

$S = \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{P^{'} (a_{i})} .$

Exercice 13 2941 X (MP)

Soient $A, B$ deux polynômes complexes et non constants vérifiant

	${z \in ℂ \| A (z) = 0}$	$= {z \in ℂ \| B (z) = 0} et$
	${z \in ℂ \| A (z) = 1}$	$= {z \in ℂ \| B (z) = 1} .$

Montrer que les polynômes $A$ et $B$ sont égaux.

[<] Fonctions polynomiales [>] Divisibilité

Édité le 29-08-2023

	${z \in ℂ \| A (z) = 0}$	$= {z \in ℂ \| B (z) = 0} et$
	${z \in ℂ \| A (z) = 1}$	$= {z \in ℂ \| B (z) = 1} .$

Racines