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Exercice 1  4562  

Donner une condition nécessaire et suffisante sur (p,q)2 pour que le polynôme X3+pX+q admette une racine multiple et déterminer celle-ci.

 
Exercice 2  4560  

Soit

P=Xn+an-1Xn-1++a1X+a0[X].

Montrer que, si un nombre complexe ξ est racine de P, alors

|ξ|max(1,|a0|+|a1|++|an-1|).
 
Exercice 3  3342   Correction  

Soit P=a0+a1X++anXn[X]. On pose

M=sup|z|=1|P(z)|.

Montrer

k{0,,n},|ak|M.

On pourra employer des racines de l’unité.

Solution

Soit ω=e2iπ/(n+1) une racine (n+1)-ième de l’unité. On a

P(1)+P(ω)++P(ωn)=(n+1)a0

car

k=0nωk={n+1 si 0[n+1]0 sinon.

On en déduit (n+1)|a0|(n+1)M puis |a0|M.
De façon plus générale, on a

P(1)+ω-kP(ω)++ω-nkP(ωn)=(n+1)ak

et on en déduit |ak|M.

 
Exercice 4  2158   Correction  

Soient a,b,c trois éléments, non nuls et distincts, du corps 𝕂.
Démontrer que le polynôme

P=X(X-b)(X-c)a(a-b)(a-c)+X(X-c)(X-a)b(b-c)(b-a)+X(X-a)(X-b)c(c-a)(c-b)

peut s’écrire sous la forme P=λ(X-a)(X-b)(X-c)+1λ est une constante que l’on déterminera.

Solution

P(a)=P(b)=P(c)=1 et a,b,c deux à deux distincts donc

(X-a)(X-b)(X-c)P-1.

De plus, deg(P)3 donc il existe λ𝕂 tel que

P=λ(X-a)(X-b)(X-c)+1.

Puisque P(0)=0, on a λ=1abc.

 
Exercice 5  5211  

Soit n*. Montrer que les racines du polynôme

P=1+X+12!X2++1n!Xn

sont simples.

 
Exercice 6  4559   

Soit

P=anXn+an-1Xn-1++a1X+a0

un polynôme à coefficients entiers tel que an0 et a00.

  • (a)

    On suppose que P admet une racine rationnelle r=p/q exprimée sous forme irréductible. Montrer que pa0 et qan.

  • (b)

    Factoriser dans [X]

    P=2X3-X2-X-3.
 
Exercice 7  2663     MINES (MP)Correction  
  • (a)

    Montrer que a=cos(π/9) est racine d’un polynôme de degré trois à coefficients dans .

  • (b)

    Justifier que le nombre a est irrationnel.

Solution

  • (a)

    On a

    cos(3x)=4cos3(x)-3cos(x)

    donc

    4a3-3a=cos(π/3)=1/2.

    Ainsi a est racine du polynôme 8X3-6X-1.

  • (b)

    Soit x une racine rationnelle de ce polynôme. On peut écrire x=p/q avec pq=1. On a alors

    8p3-6pq2-q3=0.

    On en déduit p8p3-6pq2=q3. Or p et q sont premiers entre eux et donc par le théorème de Gauss p=±1. De plus, q26pq2+q3=8p3 et, par un argument analogue au précédent, q28. Ainsi q=±1 ou q=±2.
    Or 1,-1,1/2 et -1/2 ne sont pas les valeurs de cos(π/9). On peut donc conclure que a est irrationnel.

 
Exercice 8  2371     CENTRALE (MP)Correction  
  • (a)

    Soit n. Exprimer sin((2n+1)α) en fonction de sin(α) et cos(α).

  • (b)

    En déduire que les racines du polynôme:

    P(X)=p=0n(-1)p(2n+12p+1)Xn-p

    sont de la forme xk=cot2(βk). Déterminer les βk.

Solution

  • (a)

    L’égalité

    sin((2n+1)α)=Im(ei(2n+1)α)=Im((cos(α)+isin(α))2n+1)

    donne en développant

    sin((2n+1)α)=p=0n(-1)p(2n+12p+1)cos2(n-p)(α).sin2p+1(α).
  • (b)

    On observe

    sin((2n+1)α)=sin2n+1(α)P(cot2(α)).

    Posons βk=kπ2n+1 pour 1kn. Les xk=cot2(βk) sont n racines distinctes de P, or deg(P)=n, ce sont donc exactement les racines de P.

 
Exercice 9  1352      X (MP)

Soient n*, a0,,an des réels deux à deux distincts et P=(X-a0)(X-an).

  • (a)

    Simplifier l’expression du polynôme

    i=0n0jnjiX-ajai-aj.
  • (b)

    Calculer

    S=i=0n1P(ai).
 
Exercice 10  2941      X (MP)

Soient A,B deux polynômes complexes et non constants vérifiant

{z|A(z)=0} ={z|B(z)=0} et
{z|A(z)=1} ={z|B(z)=1}.

Montrer que les polynômes A et B sont égaux.

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Édité le 08-11-2019

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