Exercice 1 4562

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(p, q) \in ℂ^{2}$ pour que le polynôme $X^{3} + p X + q$ admette une racine multiple et déterminer celle-ci.

Exercice 2 4560

Soit

P = X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0} \in ℂ [X] .

Montrer que, si un nombre complexe $ξ$ est racine de $P$ , alors

| ξ | \leq \max (1, | a_{0} | + | a_{1} | + \dots + | a_{n - 1} |) .

Exercice 3 3342 Correction

Soit $P = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n} X^{n} \in ℂ [X]$ . On pose

M = sup_{| z | = 1} | P (z) | .

Montrer

\forall k \in {0, \dots, n}, | a_{k} | \leq M .

On pourra employer des racines de l’unité.

Solution

Soit $ω = e^{2 i π / (n + 1)}$ une racine $(n + 1)$ -ième de l’unité. On a

P (1) + P (ω) + \dots + P (ω^{n}) = (n + 1) a_{0}

car

\sum_{k = 0}^{n} ω^{k ℓ} = {\begin{matrix} n + 1 & si ℓ \equiv 0 [n + 1] \\ 0 & sinon. \end{matrix}

On en déduit $(n + 1) | a_{0} | \leq (n + 1) M$ puis $| a_{0} | \leq M$ .
De façon plus générale, on a

P (1) + ω^{- k} P (ω) + \dots + ω^{- n k} P (ω^{n}) = (n + 1) a_{k}

et on en déduit $| a_{k} | \leq M$ .

Exercice 4 2158 Correction

Soient $a, b, c$ trois éléments, non nuls et distincts, du corps $𝕂$ .
Démontrer que le polynôme

P = \frac{X (X - b) (X - c)}{a (a - b) (a - c)} + \frac{X (X - c) (X - a)}{b (b - c) (b - a)} + \frac{X (X - a) (X - b)}{c (c - a) (c - b)}

peut s’écrire sous la forme $P = λ (X - a) (X - b) (X - c) + 1$ où $λ$ est une constante que l’on déterminera.

Solution

$P (a) = P (b) = P (c) = 1$ et $a, b, c$ deux à deux distincts donc

(X - a) (X - b) (X - c) ∣ P - 1 .

De plus, $\deg (P) \leq 3$ donc il existe $λ \in 𝕂$ tel que

P = λ (X - a) (X - b) (X - c) + 1 .

Puisque $P (0) = 0$ , on a $λ = \frac{1}{a b c}$ .

Exercice 5 5211

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Montrer que les racines du polynôme

P = 1 + X + \frac{1}{2!} X^{2} + \dots + \frac{1}{n!} X^{n}

sont simples.

Exercice 6 4559

Soit

P = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}

un polynôme à coefficients entiers tel que $a_{n} \neq 0$ et $a_{0} \neq 0$ .

(a)

On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $r = p / q$ exprimée sous forme irréductible. Montrer que $p ∣ a_{0}$ et $q ∣ a_{n}$ .
(b)

Factoriser dans $ℝ [X]$

$P = 2 X^{3} - X^{2} - X - 3 .$

Exercice 7 2663 MINES (MP)Correction

(a)

Montrer que $a = \cos (π / 9)$ est racine d’un polynôme de degré trois à coefficients dans $ℤ$ .
(b)

Justifier que le nombre $a$ est irrationnel.

Solution

(a)

On a

$\cos (3 x) = 4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

donc

$4 a^{3} - 3 a = \cos (π / 3) = 1 / 2 .$

Ainsi $a$ est racine du polynôme $8 X^{3} - 6 X - 1$ .
(b)

Soit $x$ une racine rationnelle de ce polynôme. On peut écrire $x = p / q$ avec $p \land q = 1$ . On a alors

$8 p^{3} - 6 p q^{2} - q^{3} = 0 .$

On en déduit $p ∣ 8 p^{3} - 6 p q^{2} = q^{3}$ . Or $p$ et $q$ sont premiers entre eux et donc par le théorème de Gauss $p = \pm 1$ . De plus, $q^{2} ∣ 6 p q^{2} + q^{3} = 8 p^{3}$ et, par un argument analogue au précédent, $q^{2} ∣ 8$ . Ainsi $q = \pm 1$ ou $q = \pm 2$ .
Or $1, - 1,1 / 2$ et $- 1 / 2$ ne sont pas les valeurs de $\cos (π / 9)$ . On peut donc conclure que $a$ est irrationnel.

Exercice 8 2371 CENTRALE (MP)Correction

(a)

Soit $n \in ℕ$ . Exprimer $\sin ((2 n + 1) α)$ en fonction de $\sin (α)$ et $\cos (α)$ .
(b)

En déduire que les racines du polynôme:

$P (X) = \sum_{p = 0}^{n} {(- 1)}^{p} (\binom{2 n + 1}{2 p + 1}) X^{n - p}$

sont de la forme $x_{k} = \cot^{2} (β_{k})$ . Déterminer les $β_{k}$ .

Solution

(a)

L’égalité

$\sin ((2 n + 1) α) = Im (e^{i (2 n + 1) α}) = Im ({(\cos (α) + i \sin (α))}^{2 n + 1})$

donne en développant

$\sin ((2 n + 1) α) = \sum_{p = 0}^{n} {(- 1)}^{p} (\binom{2 n + 1}{2 p + 1}) \cos^{2 (n - p)} (α) . \sin^{2 p + 1} (α) .$
(b)

On observe

$\sin ((2 n + 1) α) = \sin^{2 n + 1} (α) P (\cot^{2} (α)) .$

Posons $β_{k} = \frac{k π}{2 n + 1}$ pour $1 \leq k \leq n$ . Les $x_{k} = \cot^{2} (β_{k})$ sont $n$ racines distinctes de $P$ , or $\deg (P) = n$ , ce sont donc exactement les racines de $P$ .

Exercice 9 1352 X (MP)

Soient $n \in ℕ^{*}$ , $a_{0}, \dots, a_{n}$ des réels deux à deux distincts et $P = (X - a_{0}) \dots (X - a_{n})$ .

(a)

Simplifier l’expression du polynôme

$\sum_{i = 0}^{n} \prod_{\begin{matrix} 0 \leq j \leq n \\ j \neq i \end{matrix}} \frac{X - a_{j}}{a_{i} - a_{j}} .$
(b)

Calculer

$S = \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{P^{'} (a_{i})} .$

Exercice 10 2941 X (MP)

Soient $A, B$ deux polynômes complexes et non constants vérifiant

	${z \in ℂ \| A (z) = 0}$	$= {z \in ℂ \| B (z) = 0} et$
	${z \in ℂ \| A (z) = 1}$	$= {z \in ℂ \| B (z) = 1} .$

Montrer que les polynômes $A$ et $B$ sont égaux.

	${z \in ℂ \| A (z) = 0}$	$= {z \in ℂ \| B (z) = 0} et$
	${z \in ℂ \| A (z) = 1}$	$= {z \in ℂ \| B (z) = 1} .$

Racines