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Exercice 1  4732  

Justifier que la fonction sinus cardinal (notée sinc) définie pour x par

sinc(x)={sin(x)x si x01 si x=0

est de classe 𝒞 et calculer les valeurs de ses dérivées successives en 0.

 
Exercice 2  1002  Correction  
  • (a)

    Montrer que la fonction xsin(x)x se prolonge en une fonction de classe 𝒞 sur .

  • (b)

    Montrer qu’il en est de même de la fonction xsin(x)ex-1

Solution

  • (a)

    Pour tout x,

    sin(x)=n=0+(-1)nx2n+1(2n+1)!

    donc

    sin(x)x=n=0+(-1)nx2n(2n+1)!

    pour x0. Or

    xn=0+(-1)nx2n(2n+1)!

    est définie et de classe 𝒞 sur , cela permet de conclure.

  • (b)

    Un raisonnement semblable, permet d’établir que xex-1x se prolonge en 0 en une fonction de classe 𝒞 ne s’annulant pas. Par opération, le prolongement continue de xsin(x)ex-1=sin(x)xxex-1 est de classe 𝒞.

 
Exercice 3  3308   Correction  

Pour x0 on pose

f(x)=x2xcos(t)tdt.
  • (a)

    Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0.

  • (b)

    Montrer que ce prolongement est développable en série entière sur .

Solution

  • (a)

    Pour t0, on peut écrire

    cos(t)t=cos(t)-1t+1t.

    Posons alors

    g(t)=cos(t)-1t.

    La fonction g est continue sur * et se prolonge par continuité en 0 en posant g(0)=0.
    On a alors pour tout x0

    f(x)=x2xg(t)dt+ln(2)=G(2x)-G(x)+ln(2)

    avec G une primitive de g sur .
    On en déduit

    f(x)x0ln(2)

    et l’on peut donc prolonger f par continuité en 0 en posant f(0)=ln(2).

  • (b)

    Pour t0 et aussi pour t=0 on a

    g(t)=n=1+(-1)n(2n)!t2n-1.

    On peut alors poser

    G(x)=n=1+(-1)n(2n)!x2n2n

    primitive de g et l’on obtient

    f(x)=ln(2)+n=1+(-1)n(2n)!4n-12nx2n

    pour tout x.

 
Exercice 4  2610     ENSTIM (MP)Correction  

Pour x]0;1[]1;+[, on pose

f(x)=xx2dtln(t).
  • (a)

    Justifier l’existence de f(x) pour chaque x]0;1[]1;+[

  • (b)

    Établir que pour tout x>1,

    xx2xdttln(t)f(x)xx2x2dttln(t).

    En déduire la limite de f en 1+

  • (c)

    Étudier de même la limite de f en 1-.

  • (d)

    Justifier que la fonction f est de classe 𝒞1 sur ]0;1[ et sur ]1;+[ et exprimer

    f(x).
  • (e)

    Établir que le prolongement par continuité de f en 1 est de classe 𝒞1 puis de classe 𝒞 sur ]0;+[

Solution

  • (a)

    Pour chaque valeur de x considérée, la fonction intégrée est définie et continue sur le segment d’extrémités x et x2.

  • (b)

    Pour x>1 et pour tout t[x;x2], xtx2 et ln(t)>0 donne par intégration en bon ordre

    xx2xdttln(t)f(x)xx2x2dttln(t).

    Puisque

    xx2dttln(t)=[ln(|ln(t)|)]xx2=ln(2)

    on obtient

    f(x)x1+ln(2).
  • (c)

    Pour x<1, on a cette fois-ci x2x et ln(t)<0.
    En adaptant ce qui précède, on obtient cette fois-ci x2ln(2)f(x)xln(2) d’où l’on conclut

    f(x)x1-ln(2).
  • (d)

    On introduit H primitive de t1/ln(t) sur ]0;1[ ou ]1;+[.
    On peut alors écrire f(x)=H(x2)-H(x) d’où l’on tire que f est de classe 𝒞1 sur ]0;1[ et sur ]1;+[ avec

    f(x)=x-1ln(x).
  • (e)

    La dérivée de f converge en 1 donc par le théorème du prolongement 𝒞1, on peut affirmer que le prolongement par continuité de f en 1, encore noté f, est de classe 𝒞1 sur ]0;+[.
    La dérivée de f est évidement de classe 𝒞 sur ]0;1[ et sur ]1;+[.
    Au voisinage de 1, la dérivée de f est l’inverse de ln(x)x-1.
    En posant x=1+h, on a

    1f(x)=1hln(1+h)=n=0+(-1)nhnn+1

    pour |h|<1.
    Ainsi 1f(x) est au voisinage de 1 une fonction de classe 𝒞 ne s’annulant pas et donc f(x) est une fonction de classe 𝒞 au voisinage de 1.

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Édité le 08-11-2019

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