La fonction $f$ est de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ sur un voisinage de 0 avec

et

La fonction $f$ est donc solution de l’équation différentielle

avec les conditions initiales $y(0)=1$ et $y^{\prime }(0)=1/2$.

Analyse: Soit $\sum a_n{x}^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ dont la somme $S$ est solution de l’équation différentielle précédente. Pour tout $x\in ]-R;R[$, on a

et

La relation $(1+x^2)S^{\prime \prime }(x)+x{S}^{\prime }(x)-S(x)/4=0$ donne

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on obtient la relation

En adjoignant les conditions initiales $S(0)=1$ et $S^{\prime }(0)=1/2$, on parvient à

Synthèse: Considérons la série entière déterminée au terme de l’analyse. Celle-ci se comprend comme la somme de deux séries entières $\sum a_{2p}{x}^{2p}$ et $\sum a_{2p+1}{x}^{2p+1}$ chacune de rayon de convergence 1 car

Cette série entière est donc de rayon de convergence $R\ge 1$ et, compte tenu des calculs de l’analyse, sa somme est solution de l’équation différentielle

Elle vérifie de plus les conditions initiales $y(0)=1$ et $y^{\prime }(0)=1/2$. Puisque la fonction $f$ est aussi solution de ce problème de Cauchy et que ce dernier possède une solution unique, on peut identifier $f$ et la somme de la série entière.

Posons

La fonction $f$ est indéfiniment dérivable et vérifie l’équation différentielle

avec les conditions initiales $y(0)=0$ et $y^{\prime }(0)=1$.

Analyse: Soit $\sum a_n{x}^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ et de somme $S$.

La fonction $S$ vérifie sur $]-R;R[$ l’équation différentielle proposée et les conditions initiales imposées si, et seulement si,

Cela donne

Synthèse: Soit $\sum a_n{x}^n$ la série entière déterminée par les coefficients précédemment proposés.

Pour $x\ne 0$ et $u_p=a_{2p+1}{x}^{2p+1}$,

Le rayon de convergence de la série entière étudiée vaut donc $1$. Par les calculs qui précèdent, on peut affirmer que sa somme $S$ est solution de l’équation différentielle

vérifiant les conditions initiales $y(0)=0$ et $y^{\prime }(0)=1$. Par unicité des solutions à un tel problème différentiel, on conclut que $f$ est la somme des la série entière introduite sur $]-1;1[$.

• (a)

  Posons $u(x,t)={\mathrm{e}}^{-t}/(x+t)$ définie sur $]-1;+\mathrm{\infty }[\times [1;+\mathrm{\infty }[$.
  Pour chaque $x>-1$, $t\mapsto u(x,t)$ est continue par morceaux sur $[1;+\mathrm{\infty }[$ et

  $$t^{2}u(x,t)\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

  La fonction $f$ est donc bien définie sur $]-1;+\mathrm{\infty }[$.

• (b)

  Pour chaque $t\ge 1$, $x\mapsto u(x,t)$ est dérivable et

  $$\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=-\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{{(x+t)}^2}\text{.}$$

  La fonction $\frac{\partial u}{\partial x}$ est continue par morceaux en $t$, continue en $x$ et pour tout $a>-1$

  $$\forall (x,t)\in [a;+\mathrm{\infty }[\times [1;+\mathrm{\infty }[,\left|\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)\right|\le \frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{{(a+t)}^2}={\phi }_a(t)$$

  avec ${\phi }_a:[1;+\mathrm{\infty }[\to {ℝ}_{+}$ continue par morceaux et intégrable par des arguments analogues aux précédents.
  On en déduit que $f$ est de classe ${𝒞}^1$ et

  $$f^{\prime }(x)=-{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{{(x+t)}^2}dt\text{.}$$

  Par intégration par parties, on obtient

  $$f^{\prime }(x)-f(x)=-\frac{{\mathrm{e}}^{-1}}{x+1}\text{.}$$

• (c)

  Analyse: Soit $\sum a_n{x}^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ solution de l’équation différentielle précédente. Pour tout $x\in ]-R;R[\cap ]-1;1[$, on a

  $$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\left((n+1)a_{n+1}-a_n\right)x^n=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^{n+1}{\mathrm{e}}^{-1}{x}^n\text{.}$$

  Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on a

  $$\forall n\in \mathbb{N},(n+1)a_{n+1}=a_n+{(-1)}^{n+1}{\mathrm{e}}^{-1}\text{.}$$

  Après résolution de la relation de récurrence,

  $$\forall n\in \mathbb{N},a_n=\frac{a_0}{n!}+{\mathrm{e}}^{-1}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{{(-1)}^{(n-1-k)}k!}{n!}\text{.}$$

  Synthèse: Soit $\sum a_n{x}^n$ la série entière déterminée par les coefficients précédents. On a

  $$|a_n|\le |a_0|+{\mathrm{e}}^{-1}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{n!}=|a_0|+{\mathrm{e}}^{-1}\text{.}$$

  La suite $(a_n)$ est bornée et le rayon de convergence $R$ de la série entière est donc au moins égal à $1$. Par les calculs qui précédent, on peut affirmer que la somme $S$ de la série entière est solution de l’équation différentielle sur $]-1;1[$. En ajoutant la condition initiale $a_0=f(0)$, on peut affirmer que $f(x)=S(x)$ sur $]-1;1[$ par unicité d’une solution à un problème de Cauchy pour une équation différentielle linéaire d’ordre $1$.

• (a)

  On a

  $$\sin (tx)=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^k}{(2k+1)!}{t}^{2k+1}{x}^{2k+1}\text{.}$$

  À l’aide d’intégration par parties

  $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{2k+1}{\mathrm{e}}^{-t^2}=\frac{k!}{2}\text{.}$$

  Or

  $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\left|\frac{{(-1)}^k}{(2k+1)!}{t}^{2k+1}{x}^{2k+1}\right|dt\le \frac{k!}{2(2k+1)!}{|x|}^{2k+1}$$

  qui est terme général d’une série convergente.
  On peut donc appliquer le théorème d’intégration terme à terme et affirmer

  $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\sin (tx)dt=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{k}k!}{2(2k+1)!}{x}^{2k+1}$$

  pour tout $x\in ℝ$.

• (b)

  La fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-t^2}\sin (tx)$ est continue et intégrable sur ${ℝ}_{+}$ et

  $$\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\mathrm{e}}^{-t^2}\sin (tx)\right)\right|\le t{\mathrm{e}}^{-t^2}$$

  avec $t\mapsto t{\mathrm{e}}^{-t^2}$ intégrable sur ${ℝ}_{+}$.
  La fonction

  $$f:x\mapsto {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\sin (tx)dt$$

  est de classe ${𝒞}^1$ et

  $$f^{\prime }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t{\mathrm{e}}^{-t^2}\cos (tx)dt\text{.}$$

  À l’aide d’une intégration par parties

  $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}xf(x)$$

  et ainsi $f$ est solution sur $ℝ$ de l’équation différentielle

  $$2y^{\prime }+xy=1\text{.}$$

  De plus, $f$ vérifie la condition initiale $f(0)=0$.
  Si une somme de série entière est solution de l’équation différentielle $2y^{\prime }+xy=1$ et vérifiant $y(0)=0$, c’est, après calculs, la fonction

  $$g:x\mapsto \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{k}k!}{2(2k+1)!}{x}^{2k+1}$$

  de rayon de convergence $R=+\mathrm{\infty }$.
  Puisque $f$ et $g$ sont solutions sur $ℝ$ à l’équation différentielle linéaire $2y^{\prime }+xy=1$ vérifiant la condition initiale $y(0)=0$ et puisque le théorème de Cauchy assure l’unicité d’une solution à un tel problème, on peut identifier $f$ et $g$.

  Finalement,

  $$f(x)=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{k}k!}{2(2k+1)!}{x}^{2k+1}$$

  pour tout $x\in ℝ$.