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Exercice 1  1013  Correction  

Soient p et

f(x)=n=0+(n+pp)xn.
  • (a)

    Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant cette fonction.

  • (b)

    Calculer f(x) en étudiant (1-x)f(x).

Solution

  • (a)

    On a

    (n+pp)=n(n-1)(n-p+1)p!n+1p!np

    donc le rayon de convergence de f vaut 1.

  • (b)

    Sur ]-1;1[ f est de classe 𝒞 et

    f(x)=n=1+(n+pp)nxn-1.

    Donc

    (1-x)f(x)=n=0+(n+1)(n+p+1p)xn-n=0+n(n+pp)xn=n=0+αnxn

    avec

    αn=(n+1)(n+p+1p)-n(n+pp)

    qui donne

    αn=(n+p+1)(n+pp)-n(n+pp)=(p+1)(n+pp).

    Par suite,

    (1-x)f(x)=(p+1)f(x).

    Les solutions de l’équation différentielle linéaire d’ordre 1

    (1-x)y=(p+1)y

    sur ]-1;1[ sont

    y(x)=C(1-x)p+1

    avec C.
    Sachant f(0)=1, on obtient

    f(x)=1(1-x)p+1.
 
Exercice 2  1014   

On considère la fonction f:]-1;1[ définie par

f(x)=arcsin(x)1-x2.
  • (a)

    Justifier l’existence d’une suite de coefficients réels (an) (que l’on ne cherchera pas à calculer pour le moment) telle que

    f(x)=n=0+anx2n+1pour tout x]-1;1[.
  • (b)

    Calculer les coefficients de cette suite en introduisant une équation différentielle linéaire du premier ordre vérifiée par la fonction f.

 
Exercice 3  1015   Correction  

Former le développement en série entière en 0 de la fonction

f:xarccos(x)1-x2.

Solution

f admet un développement en série entière en 0 par produit fonctions développables en série entière. De plus, son rayon de convergence vérifie R1. On peut alors écrire

f(x)=n=0+anxn sur ]-1;1[

La fonction f est dérivable sur ]-1;1[ et est solution de l’équation différentielle

(x2-1)y+xy-1=0.

Or

(x2-1)f(x)+xf(x)-1=-(a1+1)+n=1+(nan-1-(n+1)an+1)xn.

Par identification des coefficients d’une série entière,

a1=-1etan+1=nn+1an-1pour tout n1.

De plus, a0=f(0)=π/2 et donc

a2p=(2p-1)2p××12a0=(2p)!(2pp!)2π2eta2p+1=2p2p+123a1=-(2pp!)2(2p+1)!.
 
Exercice 4  1017   

Soient α et la fonction f:xcos(2αarcsin(x)) définie sur [-1;1].

  • (a)

    Déterminer une équation différentielle linéaire d’ordre 2 dont f est solution.

  • (b)

    En déduire que f est développable en série entière sur ]-1;1[ et former ce développement.

 
Exercice 5  2858     MINES (MP)Correction  

Développer en série entière f:xx+1+x2 au voisinage de 0.

Solution

La fonction f est de classe 𝒞 sur un voisinage de 0 avec

f(x)=121+x2f(x)

et

f′′(x)=-x2(1+x2)3/2f(x)+121+x2f(x).

La fonction f est donc solution de l’équation différentielle

(1+x2)y′′(x)+xy(x)-14y(x)=0

avec les conditions initiales y(0)=1 et y(0)=1/2.

Analyse: Soit anxn une série entière de rayon de convergence R>0 dont la somme S est solution de l’équation différentielle précédente. Pour tout x]-R;R[, on a

S(x)=n=0+anxn,S(x)=n=1+nanxn-1

et

S′′(x)=n=2+n(n-1)anxn-2=n=0+(n+2)(n+1)an+2xn.

La relation (1+x2)S′′(x)+xS(x)-S(x)/4=0 donne

n=0+((n+2)(n+1)an+2+(n2-1/4)an)xn=0.

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on obtient la relation

n,an+2=-14(2n+1)(2n-1)(n+2)(n+1)an.

En adjoignant les conditions initiales S(0)=1 et S(0)=1/2, on parvient à

a2p=(-1)p24p-1(4p-2)!((2p)!)((2p-1)!)eta2p+1=(-1)p24p(4p-1)!(2p+1)!(2p-1)!.

Synthèse: Considérons la série entière déterminée au terme de l’analyse. Celle-ci se comprend comme la somme de deux séries entières a2px2p et a2p+1x2p+1 chacune de rayon de convergence 1 car

|an+2an|=(2n+1)(2n-1)4(n+2)(n+1)n+1.

Cette série entière est donc de rayon de convergence R1 et, compte tenu des calculs de l’analyse, sa somme est solution de l’équation différentielle

(1+x2)y′′(x)+xy(x)-14y(x)=0.

Elle vérifie de plus les conditions initiales y(0)=1 et y(0)=1/2. Puisque la fonction f est aussi solution de ce problème de Cauchy et que ce dernier possède une solution unique, on peut identifier f et la somme de la série entière.

 
Exercice 6  1018   Correction  

Former le développement en série entière en 0 de

xsh(arcsin(x)).

Solution

Posons f:xsh(arcsin(x))
f vérifie l’équation différentielle

(1-x2)y′′-xy-y=0

avec les conditions initiales y(0)=0 et y(0)=1.

Analyse: Soit anxn une série entière de rayon de convergence R>0 et de somme S.
La fonction S vérifie sur ]-R;R[ l’équation différentielle proposée et les conditions initiales imposées si, et seulement si,

a0=0,a1=1etn,an+2=n2+1(n+2)(n+1)an.

Ceci donne

a2p=0eta2p+1=k=1p((2p-1)2+1)(2p+1)!.

Synthèse: Soit anxn la série entière déterminée par les coefficients précédemment proposés.

Pour x0 et up=a2p+1x2p+1,

|up+1up|p+|x|2.

Le rayon de convergence de la série entière étudiée vaut donc 1. Par les calculs qui précèdent, on peut affirmer que sa somme S est solution de l’équation différentielle

(1-x2)y′′-xy-y=0

vérifiant les conditions initiales y(0)=0 et y(0)=1. Par unicité des solutions à un tel problème différentiel, on conclut que f est la somme des la série entière introduite sur ]-1;1[.

 
Exercice 7  3659   Correction  

Pour x]-1;+[, on pose

f(x)=1+e-tx+tdt.
  • (a)

    Montrer que la fonction f est bien définie.

  • (b)

    Former une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée par f.

  • (c)

    En déduire que f est développable en série entière sur un intervalle voisinage de 0.

Solution

  • (a)

    Posons u(x,t)=e-t/(x+t) définie sur ]-1;+[×[1;+[.
    Pour chaque x>-1, tu(x,t) est continue par morceaux sur [1;+[ et

    t2u(x,t)t+0.

    La fonction f est donc bien définie sur ]-1;+[.

  • (b)

    Pour chaque t1, xu(x,t) est dérivable et

    ux(x,t)=-e-t(x+t)2.

    La fonction ux est continue par morceaux en t, continue en x et pour tout a>-1

    (x,t)[a;+[×[1;+[,|ux(x,t)|e-t(a+t)2=φa(t)

    avec φa:[1;+[+ continue par morceaux et intégrable par des arguments analogues aux précédents.
    On en déduit que f est de classe 𝒞1 et

    f(x)=-1+e-t(x+t)2dt.

    Par intégration par parties, on obtient

    f(x)-f(x)=-e-1x+1.
  • (c)

    Analyse: Soit anxn une série entière de rayon de convergence R>0 solution de l’équation différentielle précédente. Pour tout x]-R;R[]-1;1[, on a

    n=0+((n+1)an+1-an)xn=n=0+(-1)n+1e-1xn.

    Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on a

    n,(n+1)an+1=an+(-1)n+1e-1.

    Après résolution de la relation de récurrence,

    n,an=a0n!+e-1k=0n-1(-1)(n-1-k)k!n!.

    Synthèse: Soit anxn la série entière déterminée par les coefficients précédents. On a

    |an||a0|+e-1k=0n-1(n-1)!n!=|a0|+e-1.

    La suite (an) est bornée et le rayon de convergence R de la série entière est donc au moins égal à 1. Par les calculs qui précédent, on peut affirmer que la somme S de la série entière est solution de l’équation différentielle sur ]-1;1[. En ajoutant la condition initiale a0=f(0), on peut affirmer que f(x)=S(x) sur ]-1;1[ par unicité d’une solution à un problème de Cauchy pour une équation différentielle linéaire d’ordre 1.

 
Exercice 8  937   Correction  

Former le développement en série entière en 0 de

x0+e-t2sin(tx)dt.
  • (a)

    en procédant à une intégration terme à terme.

  • (b)

    en déterminant une équation différentielle dont la fonction est solution.

Solution

  • (a)

    On a

    sin(tx)=k=0+(-1)k(2k+1)!t2k+1x2k+1.

    À l’aide d’intégration par parties

    0+t2k+1e-t2=k!2.

    Or

    0+|(-1)k(2k+1)!t2k+1x2k+1|dtk!2(2k+1)!|x|2k+1

    qui est terme général d’une série convergente.
    On peut donc appliquer le théorème d’intégration terme à terme et affirmer

    0+e-t2sin(tx)dt=k=0+(-1)kk!2(2k+1)!x2k+1

    pour tout x.

  • (b)

    La fonction te-t2sin(tx) est continue et intégrable sur + et

    |ddx(e-t2sin(tx))|te-t2

    avec tte-t2 intégrable sur +.
    La fonction

    f:x0+e-t2sin(tx)dt

    est de classe 𝒞1 et

    f(x)=0+te-t2cos(tx)dt.

    À l’aide d’une intégration par parties

    f(x)=12-12xf(x)

    et ainsi f est solution sur de l’équation différentielle

    2y+xy=1.

    De plus, f vérifie la condition initiale f(0)=0.
    Si une somme de série entière est solution de l’équation différentielle 2y+xy=1 et vérifiant y(0)=0, c’est, après calculs, la fonction

    g:xk=0+(-1)kk!2(2k+1)!x2k+1

    de rayon de convergence R=+.
    Puisque f et g sont solutions sur à l’équation différentielle linéaire 2y+xy=1 vérifiant la condition initiale y(0)=0 et puisque le théorème de Cauchy assure l’unicité d’une solution à un tel problème, on peut identifier f et g.

    Finalement,

    f(x)=k=0+(-1)kk!2(2k+1)!x2k+1

    pour tout x.

 
Exercice 9  1019     MINES (PC)

Pour x, on pose

f(x)=e-x20xet2dt.
  • (a)

    Former le développement en série entière de f sur par produit de développements en série entière.

  • (b)

    Calculer de nouveau ce développement en introduisant cette fois-ci une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée par f.

  • (c)

    En déduire la relation

    k=0n(-1)k2k+1(nk)=4n(2n+1)(2nn)pour tout n.
 
Exercice 10  3301     CCP (MP)Correction  

Pour x, on pose f(x)=ch(x)cos(x).

  • (a)

    Développer f en série entière en employant des fonctions exponentielles.

  • (b)

    Retrouver le résultat en remarquant que f est solution de l’équation différentielle y(4)+4y=0.

Solution

  • (a)

    On a

    f(x)=14(ex+e-x)(eix+e-ix)=14(e(1+i)x+e(1-i)x+e(-1+i)x+e(-1-i)x)

    donc pour tout x

    f(x)=n=0+(1+i)n+(1-i)n+(-1+i)n+(-1-i)n4n!xn.

    On a 1+i=2eiπ/4 etc, donc

    (1+i)n+(1-i)n+(-1+i)n+(-1-i)n =22n(cos(nπ4)+cos(3nπ4))
    =42ncos(nπ4)cos(nπ2).

    Finalement,

    f(x)=p=0+2pcos(pπ2)(2p)!x2p=q=0+(-1)q22q(4q)!x4q.
  • (b)

    Retrouvons ce résultat, en exploitant l’équation différentielle

    y(4)+4y=0.

    La fonction f est développable en série entière sur par produit de telles fonctions. On peut donc écrire

    f(x)=n=0+anxn.

    Par l’équation différentielle y(4)+4y=0, on obtient

    n,(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)an+4+4an=0.

    Puisque a0=1, a1=a3=0 (par imparité) et a2=0 (par calculs), on obtient

    q,a4q=(-1)q4q(4q)!eta4q+1=a4q+2=a4q+3=0

    ce qui conduit au développement précédent.

 
Exercice 11  2500     CCP (MP)Correction  

Soient k>0 et f: définie par

f(x)=01tksin(xt)dt.
  • (a)

    Montrer que f est continue sur .

  • (b)

    Montrer que f est dérivable sur et vérifie

    x,xf(x)+(k+1)f(x)=sin(x).
  • (c)

    Déterminer toutes les fonctions développables en série entière en 0 solutions de xy+(k+1)y=sin(x) en précisant le rayon de convergence.

Solution

  • (a)

    (x,t)tksin(xt) est continue sur ×[0;1] donc, par intégration sur un segment, f est continue.

  • (b)

    (x,t)ddx(tksin(xt)) est continue sur ×[0;1] donc, par intégration sur un segment, f est de classe 𝒞1 avec

    f(x)=01xtkcos(xt)dt.

    On en déduit

    xf(x)+(k+1)f(x)=01ddt(tksin(xt))dt=sin(x).
  • (c)

    Par analyse-synthèse, on obtient une seule fonction solution

    xn=0+(-1)n(2n+1)!(2n+2+k)x2n+2

    de rayon de convergence +. Cette fonction correspond à f comme on peut s’en convaincre par une intégration terme à terme.

 
Exercice 12  2498     CCP (MP)Correction  

On considère l’équation différentielle

(E):ty+y=3t2cos(t3/2).
  • (a)

    Montrer qu’il existe une unique solution v de (E) développable en série entière sur un voisinage de 0.

  • (b)

    Trouver l’ensemble des solutions de (E) sur +* et en déduire une expression plus simple de v.

Solution

  • (a)

    Soit v la somme d’une série entière anxn de rayon de convergence R>0.
    La fonction v est de classe 𝒞 sur ]-R;R[ et

    tv(t)+v(t)=n=0+(n+1)antn.

    Parallèlement, sur

    3t2cos(t3/2)=n=0+(-1)n(2n)!3t3n+2.

    Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, v est solution de (E) sur ]-R;R[ si, et seulement si,

    a3n=a3n+1=0eta3n+2=(-1)n(2n)!1n+1.

    Ainsi, la fonction v est déterminée de manière unique et, de plus, celle-ci existe puisque le rayon de convergence de la série entière définie par les an ci-dessus est R=+.

  • (b)

    (E) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 définie sur ]0;+[.
    La solution générale homogène est y(t)=λ/t. Par la méthode de la variation de la constante, on peut proposer la solution particulière

    y(t)=2cos(t3/2)+2t3/2sin(t3/2)t

    et finalement la solution générale

    y(t)=2cos(t3/2)+2t3/2sin(t3/2)t+λt.

    Parmi les solutions, la seule pouvant être prolongée par continuité en 0 (et donc correspondre à v) est celle obtenue pour λ=-2.

    v(t)=2(cos(t3/2)-1)+2t3/2sin(t3/2)t

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Édité le 08-11-2019

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