Exercice 1 5569 Correction

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ .

On suppose que la série numérique $\sum a_{n} R^{n}$ converge absolument.

Montrer que la fonction $x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ est définie et continue sur $[- R; R]$ .

Solution

Soit $x \in [- R; R]$ . On observe

\forall n \in ℕ, | a_{n} x^{n} | \leq | a_{n} | R^{n} .

Par comparaison, $\sum a_{n} x^{n}$ converge absolument et donc converge pour tout $x \in [- R; R]$ . La fonction somme de la série entière est donc définie sur $[- R; R]$ et, par théorème, nécessairement continue sur l’intervalle où elle est définie.

Exercice 2 3246 Correction

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R = 1$ et de somme

x \in] - 1; 1 [\mapsto f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} .

On suppose que la série numérique $\sum a_{n}$ converge, montrer que la fonction $f$ est définie et continue en 1.

Solution

La fonction $f$ est évidemment définie en 1. Pour étudier sa continuité, introduisons

R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} a_{k} .

On peut écrire pour $x \in [0; 1 [$ et $n \in ℕ$

f (x) - \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{k} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (x^{k} - 1) + \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} a_{k} x^{k} - R_{n}

avec

\sum_{k = n + 1}^{+ \infty} a_{k} x^{k} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} (R_{k - 1} - R_{k}) x^{k} .

Puisque $| x | < 1$ et $R_{n} \to 0$ , on peut écrire

\sum_{k = n + 1}^{+ \infty} a_{k} x^{k} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} R_{k - 1} x^{k} - \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} R_{k} x^{k}

avec convergence des deux sommes introduites.
Par décalage d’indice, on obtient

\sum_{k = n + 1}^{+ \infty} a_{k} x^{k} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} R_{k} x^{k} (x - 1) + R_{n} x^{n + 1}

et ainsi

f (x) - \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{k} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (x^{k} - 1) + (x - 1) \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} R_{k} x^{k} + R_{n} (x^{n + 1} - 1) .

Soit $ε > 0$ .
Puisque $R_{n} \to 0$ , pour $n$ assez grand on a

\forall k \geq n, | R_{k} | \leq ε

donc

| (x - 1) \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} R_{k} x^{k} | \leq (1 - x) \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} ε x^{k} \leq ε .

Pour un tel $n$ fixé, on a quand $x \to 1^{-}$ ,

\sum_{k = 0}^{n} a_{k} (x^{k} - 1) \to 0 et R_{n} (x^{n + 1} - 1) \to 0

donc pour $x$ suffisamment proche de 1,

| \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (x^{k} - 1) | \leq ε et | R_{n} (x^{n + 1} - 1) | \leq ε

donc

| f (x) - \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{k} | \leq 3 ε .

Exercice 3 984 Correction

Soit $S$ la somme d’une série entière $\sum a_{n} x^{n}$ de rayon de convergence $R > 0$ .

On suppose qu’il existe $α > 0$ tel que

\forall x \in [0; α], S (x) = 0 .

Montrer que $S$ est la fonction nulle.

Solution

On sait

\forall n \in ℕ^{*}, a_{n} = \frac{S^{(n)} (0)}{n!} .

On en déduit que les $a_{n}$ sont tous nuls et $S$ est donc la fonction nulle.

Exercice 4 5433 MINES (MP)Correction

Soit $f$ la somme d’une série entière $\sum a_{n} z^{n}$ de rayon de convergence $R > 0$ .

On suppose qu’il existe une suite $(z_{p})$ de complexes non nuls telle que

\forall p \in ℕ, f (z_{p}) = 0 et z_{p} \to_{p \to + \infty}^{} 0 .

Montrer que tous les coefficients $a_{n}$ sont nuls.

Solution

On établir $a_{n} = 0$ par récurrence forte sur $n \in ℕ$ .

Cas: $n = 0$ . Par continuité de $f$ en $0$

lim_{z \to 0} f (z) = f (0) = a_{0} .

z_{p} \to_{p \to + \infty}^{} 0 et f (z_{p}) = 0 \to_{p \to + \infty}^{} 0 .

On en déduit $a_{0} = 0$ .

Supposons la propriété vraie jusqu’au rang $n \geq 0$ .

Pour $z$ convenable,

f (z) = 0 + \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} a_{k} z^{k} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{n + 1 + k} z^{n + 1 + k} .

L’hypothèse $f (z_{p}) = 0$ donne, après simplification par $z_{p}^{n + 1} \neq 0$ ,

\sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{n + k + 1} z_{p}^{k} = 0 .

Par continuité en $0$ de la série entière $\sum a_{n + k + 1} z^{k}$ , on obtient $a_{n + 1} = 0$ .

La récurrence est établie.

Exercice 5 980 Correction

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ et de somme $f$ .

(a)

Exprimer $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{2 n} z^{2 n}$ en fonction de $f$ pour $| z | < R$ .
(b)

Même question avec $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{3 n} z^{3 n}$ .

Solution

(a)

$\frac{1}{2} (f (z) + f (- z)) = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} (z^{n} + {(- 1)}^{n} z^{n}) = \sum_{p = 0}^{+ \infty} a_{2 p} z^{2 p}$ .
(b)

$\frac{1}{3} (f (z) + f (j z) + f (j^{2} z)) = \frac{1}{3} \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} (1 + j^{n} + j^{2 n}) z^{n} = \sum_{p = 0}^{+ \infty} a_{3 p} z^{3 p}$ .

Exercice 6 983 Correction

Soit $(a_{n})$ une suite non nulle et $T$ -périodique (avec $T \in ℕ^{*}$ ).

(a)

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n \geq 0} a_{n} x^{n}$ .
(b)

Simplifier $\sum_{k = 0}^{n T - 1} a_{k} x^{k}$ .
(c)

En déduire que la somme de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ est une fraction rationnelle.

Solution

(a)

$a_{n} = O (1)$ donc $R \geq 1$ . La suite $(a_{n})$ ne tend pas vers $0$ donc $R \leq 1$ et ainsi $R = 1$ .
(b)

En réorganisant les termes sommés

$\sum_{k = 0}^{n T - 1} a_{k} x^{k} = \sum_{k = 0}^{T - 1} \sum_{p = 0}^{n - 1} a_{p T + k} x^{p T + k} = \sum_{k = 0}^{T - 1} a_{k} x^{k} \frac{1 - x^{n T}}{1 - x^{T}} .$
(c)

On a donc

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = \frac{1}{1 - x^{T}} \sum_{k = 0}^{T - 1} a_{k} x^{k} .$

Exercice 7 4735

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R = 1$ et de somme $S$ . On suppose que la suite $(a_{n})$ est à termes réels positifs et que la fonction $S$ est bornée sur $[0; 1 [$ .

(a)

Montrer que la série $\sum a_{n}$ est convergente.
(b)

Montrer que la fonction $S$ est définie et continue sur $[- 1; 1]$ .

Exercice 8 5579 Correction

(Théorème d’Abel)

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon de convergence $1$ et de somme $S$ .

On suppose que la série numérique $\sum a_{n}$ converge ce qui assure que $S$ est définie en $1$ . On souhaite établir que $S$ y est continue¹¹ 1 Plus généralement, on établit ainsi qu’une série entière d’une variable réelle est continue en tout point où elle est définie. Ce résultat n’est pas vrai lorsque la variable est complexe..

Pour $n \in ℕ$ , on introduit

r_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} a_{k} et R_{n} (x) = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} a_{k} x^{k} pour tout x \in [0; 1] .

(a)

Soit $x \in [0; 1 [$ . Justifier la convergence de la série $\sum r_{n} x^{n}$ .
(b)

Soient $n \in ℕ$ et $x \in [0; 1 [$ . Établir

$R_{n} (x) = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} (r_{k - 1} - r_{k}) x^{k} = r_{n} x^{n + 1} + (x - 1) \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k} x^{k} .$
(c)

Soit un réel $ε > 0$ . Justifier qu’il existe un entier naturel $n_{0}$ tel que $| R_{n} (x) | \leq ε$ pour tout entier $n \geq n_{0}$ et pour tout réel $x \in [0; 1]$ .
(d)

Conclure.

Solution

(a)

La suite $(r_{n})$ est la suite des restes d’une série convergente, elle tend donc vers $0$ . Cela permet d’écrire

$r_{n} x_{n} \underset{n \to + \infty}{=} o (x^{n}) avec \sum x^{n} absolument convergente.$

La série $\sum r_{n} x^{n}$ est alors absolument convergente et donc convergente.
(b)

Pour $k \in ℕ^{*}$ , on remarque la simplification

$r_{k - 1} - r_{k} = \sum_{ℓ = k}^{+ \infty} a_{ℓ} - \sum_{ℓ = k + 1}^{+ \infty} a_{ℓ} = a_{k} + \sum_{ℓ = k + 1}^{+ \infty} a_{ℓ} - \sum_{ℓ = k + 1}^{+ \infty} a_{ℓ} = a_{k}$

et l’on obtient la première égalité

$R_{n} (x) = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} a_{k} x^{k} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} (r_{k - 1} - r_{k}) x^{k} .$

Méthode: On réalise une transformation d’Abel: par linéarité, on sépare la somme en deux, on fait un glissement d’indice sur l’une des sommes puis on recombine les deux sommes en une seule.

Avec convergences des séries écrites,

$R_{n} (x) = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k - 1} x^{k} - \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k} x^{k} .$

Par glissement d’indice dans la première somme,

$R_{n} (x) = \sum_{k = n}^{+ \infty} r_{k} x^{k + 1} - \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k} x^{k} .$

On combine les sommes sur leur portion commune en isolant un terme

$R_{n} (x)$ $= r_{n} x^{n + 1} + \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k} x^{k + 1} - \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k} x^{k}$

$= r_{n} x^{n + 1} + \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k} (x^{k + 1} - x^{k}) = r_{n} x^{n + 1} + (x - 1) \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k} x^{k} .$
(c)

Puisque la suite $(r_{n})$ est de limite nulle, on sait

$\forall ε > 0, \exists n_{0} \in ℕ, \forall n \in ℕ, n \geq n_{0} ⟹ | r_{n} - 0 | \leq ε .$

Pour le $ε$ de l’énoncé, il existe donc $n_{0} \in ℕ$ tel que $| r_{n} | \leq ε$ pour tout $n \geq n_{0}$ . Pour $x \in [0; 1 [$ et $n \geq n_{0}$ , on a alors

$| R_{n} (x) | \leq \underset{\begin{matrix} \leq ε \end{matrix}}{\underset{⏟}{| r_{n} |}} x^{n + 1} + \underset{\begin{matrix} = 1 - x \end{matrix}}{\underset{⏟}{| x - 1 |}} \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \underset{\begin{matrix} \leq ε \end{matrix}}{\underset{⏟}{| r_{k} |}} x^{k} \leq ε x^{n + 1} + ε (1 - x) \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} x^{k} .$

La dernière somme étant géométrique de raison $x \in [0; 1 [$ et de premier terme $x^{n + 1}$ ,

$| R_{n} (x) | = ε x^{n + 1} + ε (1 - x) \frac{x^{n + 1}}{1 - x} = 2 ε x^{n + 1} \leq 2 ε .$

Cette inégalité vaut aussi, pour $x = 1$ car $| R_{n} (1) | = | r_{n} | \leq ε$ .

Enfin, en amorçant l’étude par la valeur $ε / 2$ au lien de $ε$ , on obtient la conclusion voulue.
(d)

Méthode: On constate la convergence uniforme de la série de fonctions sur $[0; 1]$ .

Sur $[0; 1]$ , la fonction $S$ correspond à la somme de la série des fonctions $f_{n} : x \mapsto a_{n} x^{n}$ . Celles-ci sont continues en $1$ . Aussi, la série de fonctions $\sum f_{n}$ converge simplement sur $[0; 1]$ et $R_{n}$ correspond au reste de rang $n$ associé. L’étude qui précède donne

$\forall ε > 0, \exists n_{0} \in ℕ, \forall n \geq n_{0}, sup_{x \in [0; 1 [} | R_{n} (x) | \leq ε$

ce qui signifie la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum f_{n}$ sur $[0; 1]$ .

Par théorème de continuité par convergence uniforme, la fonction $S$ est continue en $1$ .

Exercice 9 3244 CENTRALE (MP)Correction

Soit $f$ la fonction somme dans le domaine réel d’une série entière $\sum a_{n} x^{n}$ de rayon de convergence $R = 1$ .
On suppose l’existence d’un réel

ℓ = lim_{x \to 1^{-}} f (x) .

(a)

Peut-on affirmer que la série numérique $\sum a_{n}$ converge et que sa somme vaut $ℓ$ ?
(b)

Que dire si l’on sait de plus $a_{n} = o (1 / n)$ ? [Théorème de Tauber]

Solution

(a)

Pour $a_{n} = {(- 1)}^{n}$ , on a $f (x) = 1 / (1 + x)$ , $ℓ = 1 / 2$ et la série $\sum a_{n}$ diverge.
(b)

Pour $N \in ℕ$ et $x \in [0; 1 [$ , on peut écrire

$\sum_{n = 0}^{N} a_{n} - ℓ = A_{N} + B_{N} - C_{N}$

avec

$A_{N} = f (x) - ℓ, B_{N} = \sum_{n = 0}^{N} a_{n} - \sum_{n = 0}^{N} a_{n} x^{n} et C_{N} = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_{n} x^{n} .$

Pour $ε > 0$ , il existe un rang $n_{0}$ au-delà duquel

$| a_{n} | \leq \frac{ε}{n}$

et alors pour tout $N \geq n_{0}$

$| C_{N} | \leq \frac{ε}{N} \sum_{n = N + 1}^{+ \infty} x^{n} \leq \frac{ε}{N (1 - x)} .$

Posons alors

$x = 1 - \frac{1}{N}$

et l’on a

$| C_{N} | \leq ε .$

D’autre part

$| B_{N} | = | \sum_{n = 0}^{N} a_{n} (1 - x^{n}) | \leq (1 - x) \sum_{n = 0}^{N} n a_{n} = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N} n a_{n} .$

En vertu du théorème de Cesàro,

$\frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N} n a_{n} \to_{N \to + \infty}^{} 0$

et donc il existe $n_{1} \in ℕ$ tel que pour $N \geq n_{1}$

$| B_{N} | \leq ε .$

Enfin, puis $f$ tend vers $ℓ$ en $1^{-}$ , il existe $n_{2} \in ℕ$ tel que pour $N \geq n_{2}$

$A_{N} = | f (1 - 1 / N) - ℓ | \leq ε .$

Finalement, pour $N \geq \max (n_{0}, n_{1}, n_{2})$

$| \sum_{n = 0}^{N} a_{n} - ℓ | \leq 3 ε .$

On peut donc affirmer que la série $\sum a_{n}$ converge et

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} = ℓ .$

Exercice 10 981

Soit $f$ la somme d’une série entière $\sum a_{n} x^{n}$ de rayon de convergence $1$ .

Pour tout $n \in ℕ$ et tout $x \in] - 1; 1 [$ , on pose

S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} et g (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} S_{n} x^{n} .

(a)

Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant $g$ .
(b)

Pour tout $x \in] - 1; 1 [$ , exprimer $g (x)$ en fonction de $f (x)$ .

Exercice 11 982 Correction

Soit $(a_{n})$ une suite de réels strictement positifs. On pose $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k}$ et l’on suppose

S_{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty et \frac{a_{n}}{S_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Déterminer le rayon de convergence des séries entières $\sum_{n \geq 0} a_{n} x^{n}$ et $\sum_{n \geq 0} S_{n} x^{n}$ puis former une relation entre leur somme.

Solution

Puisque $S_{n} \to + \infty$ , on a $R_{a} \leq 1$ .
Comme $a_{n} \leq S_{n}$ , on a aussi $R_{a} \geq R_{s}$ .
Enfin $S_{n} / S_{n + 1} = 1 - a_{n + 1} / S_{n + 1} \to 1$ permet par la règle de d’Alembert d’obtenir $R_{s} = 1$ .
On conclut $R_{a} = R_{s} = 1$ .
Pour $| x | < 1$ ,

\sum_{n = 0}^{+ \infty} S_{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} x^{n - k} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x} \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} .

Exercice 12 3067

Soit $(a_{n})$ une suite réelle bornée.

(a)

Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière

$\sum \frac{a_{n}}{n!} x^{n} .$

On note $S$ la fonction somme de cette série entière.

(b)

On suppose que la suite $(a_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ . Étudier

$lim_{x \to + \infty} e^{- x} S (x) .$

Exercice 13 5913 Correction

(Analycité de la somme d’une série entière)

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière complexe de rayon de convergence $R > 0$ et $z_{0} \in ℂ$ tel que $| z_{0} | < R$ .

Montrer qu’il existe une suite complexe ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ telle que pour tout $z \in ℂ$ vérifiant $| z - z_{0} | < R - | z_{0} |$ ,

\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} z^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} {(z - z_{0})}^{n} .

Solution

Soit $z \in ℂ$ tel que $| z - z_{0} | < R$ . On a $| z_{0} | + | z - z_{0} | < R$ . Avec convergence, on peut écrire

\sum_{n = 0}^{+ \infty} | a_{n} | {(| z_{0} | + | z - z_{0} |)}^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} | a_{n} | (\binom{n}{k}) {| z_{0} |}^{k} {| z - z_{0} |}^{n - k} .

Tous les termes sont positifs, on peut réorganiser le calcul

	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} \| a_{n} \| (\binom{n}{k}) {\| z_{0} \|}^{n - k} {\| z - z_{0} \|}^{k}$	$= \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{n = k}^{+ \infty} \| a_{n} \| (\binom{n}{k}) {\| z_{0} \|}^{n - k} {\| z - z_{0} \|}^{k}$
		$= \sum_{k = 0}^{+ \infty} [\sum_{n = 0}^{+ \infty} \| a_{n + k} \| (\binom{n + k}{k}) {\| z_{0} \|}^{n}] {\| z - z_{0} \|}^{k} .$

Cela assure la sommabilité de la famille ${(u_{n, k})}_{(n, k) \in ℕ^{2}}$ avec

u_{n, k} = a_{n + k} (\binom{n + k}{k}) z_{0}^{n} {(z - z_{0})}^{k} .

On pose alors pour tout $k \in ℕ$

b_{k} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n, k} \in ℂ

et, à rebours des calculs précédents, une sommation par paquets donne

\sum_{k = 0}^{+ \infty} b_{k} {(z - z_{0})}^{k} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} a_{n} (\binom{n}{k}) z_{0}^{k} {(z - z_{0})}^{n - k} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} {(z_{0} + z - z_{0})}^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} z^{n} .

Exercice 14 2856 MINES (MP)Correction

Soient $B = {z \in ℂ | | z | \leq 1}$ et $f$ une fonction continue de $B$ dans $ℂ$ dont la restriction à $B^{\circ}$ est somme d’une série entière. Montrer qu’il existe une suite ${(P_{k})}_{k \geq 0}$ de polynôme convergeant uniformément vers $f$ sur $B$ .

Solution

Notons $\sum a_{n} z^{n}$ la série entière dont la somme est égale à $f$ sur $B^{\circ}$ .

Soit $ε > 0$ . La fonction $f$ est continue sur un compact donc uniformément continue. Il existe donc $δ > 0$ vérifiant

\forall (z, z^{'}) \in B^{2}, | z - z^{'} | \leq δ ⟹ | f (z) - f (z^{'}) | \leq ε .

Considérons alors $r = 1 - δ$ et $g_{r} : z \mapsto f (r z)$ .

Pour tout $z \in B$ , $| z - r z | = δ | z | \leq δ$ donc $| f (z) - g (z) | \leq ε$ . Ainsi,

{∥ f - g ∥}_{\infty, B} \leq ε .

Puisque la série entière $\sum a_{n} z^{n}$ converge uniformément vers $f$ sur tout compact inclus dans $B^{\circ}$ , la série entière $\sum a_{n} r^{n} z^{n}$ converge uniformément vers $g$ sur $B$ . Il existe donc un polynôme $P$ vérifiant

{∥ P - g ∥}_{\infty, B} \leq ε

puis

{∥ f - P ∥}_{\infty, B} \leq 2 ε .

Exercice 15 2854 MINES (MP)Correction

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ et de somme $f$ .

(a)

Montrer que pour $0 < r < R$ ,

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} {| a_{n} |}^{2} r^{2 n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {| f (r e^{i θ}) |}^{2} d θ .$
(b)

Que dire de $f$ si $| f |$ admet un maximum local en 0?
(c)

On suppose maintenant que $R = + \infty$ et qu’il existe $P \in ℝ_{N} [X]$ tel que $| f (z) | \leq P (| z |)$ pour tout $z$ complexe. Montrer que $f \in ℂ_{N} [X]$ .

Solution

(a)

Pour $0 < r < R$ , il y a absolument convergence de $\sum a_{n} r^{n}$ . On a

${| f (r e^{i θ}) |}^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} r^{n} e^{i n θ} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \bar{a_{n}} r^{n} e^{- i n θ} .$

Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, on obtient

${| f (r e^{i θ}) |}^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \bar{a_{n - k}} e^{i (2 k - n) θ} r^{n} .$

Puisque $\sum | a_{n} r^{n} |$ et $\sum | \bar{a_{n}} r^{n} |$ sont absolument convergentes, par produit de Cauchy, on peut affirmer que $\sum \sum_{k = 0}^{n} | a_{k} | | \bar{a_{n - k}} | r^{n}$ converge. On en déduit que la série des fonctions continues $θ \mapsto \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \bar{a_{n - k}} e^{i (2 k - n) θ} r^{n}$ est normalement convergente et donc on peut permuter somme et intégration:

$\int_{0}^{2 π} {| f (r e^{i θ}) |}^{2} d θ = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \int_{0}^{2 π} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \bar{a_{n - k}} e^{i (2 k - n) θ} r^{n} d θ .$

Or $\int_{0}^{2 π} e^{i p θ} d θ = 0$ pour tout $p \in ℤ^{*}$ donc, après simplification des termes nuls,

$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {| f (r e^{i θ}) |}^{2} d θ = \sum_{m = 0}^{+ \infty} {| a_{m} |}^{2} r^{2 m} .$
(b)

Pour $0 < r < R$ suffisamment petit,

$\sum_{n = 1}^{+ \infty} {| a_{n} |}^{2} r^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} | a_{n} | r^{2 n} - {| a_{0} |}^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {| f (r e^{i θ}) |}^{2} - {| f (0) |}^{2} d θ .$

Par intégration, d’une fonction négative, on obtient $\sum_{n = 1}^{+ \infty} {| a_{n} |}^{2} r^{2 n} \leq 0$ . Or il s’agit d’une somme de termes positifs, ils sont donc tous nuls et l’on en déduit

$\forall n \in ℕ^{*}, a_{n} = 0 .$

La fonction $f$ est alors constante.
(c)

Posons

$f_{N} (z) = \sum_{n = 0}^{N} a_{n} z^{n} .$

Pour tout $r > 0$ ,

$\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} {| a_{n} |}^{2} r^{2 n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {| a_{n} |}^{2} r^{2 n} - \sum_{n = 0}^{N} {| a_{n} |}^{2} r^{2 n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {| f (r e^{i θ}) - f_{N} (r e^{i θ}) |}^{2} d θ .$

Pour $p \geq N + 1$ , on obtient

$\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} {| a_{n} |}^{2} \frac{r^{2 n}}{r^{2 p}} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{{| f (r e^{i θ}) - f_{N} (r e^{i θ}) |}^{2}}{r^{2 p}} d θ .$

Or

$0 \leq \int_{0}^{2 π} \frac{{| f (r e^{i θ}) - f_{N} (r e^{i θ}) |}^{2}}{r^{2 p}} d θ \leq 2 π \frac{{(P (r))}^{2} + {(\sum_{n = 0}^{N} | a_{n} | r^{n})}^{2}}{r^{2 p}} = \frac{O (r^{2 N})}{r^{2 p}}$

donc

$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{{| f (r e^{i θ}) - f_{N} (r e^{i θ}) |}^{2}}{r^{2 p}} d θ \to_{r \to + \infty}^{} 0 .$

Pour $p = N + 1$ ,

$\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} {| a_{n} |}^{2} \frac{r^{2 n}}{r^{2 p}} = {| a_{N + 1} |}^{2} + \sum_{n = N + 2}^{+ \infty} {| a_{n} |}^{2} r^{2 (n - N - 1)}$

avec

$0 \leq \sum_{n = N + 2}^{+ \infty} {| a_{n} |}^{2} r^{2 (n - N - 1)} \leq \frac{1}{r^{2}} \sum_{n = N + 2}^{+ \infty} {| a_{n} |}^{2} \to_{r \to + \infty}^{} 0 .$

On en déduit $a_{N + 1} = 0$ puis, en reprenant la démarche avec $p = N + 2, \dots$ , on obtient successivement $a_{N + 2} = 0, \dots$ et finalement $f = f_{N} \in ℂ_{N} [X]$

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Édité le 08-12-2023

	$R_{n} (x)$	$= r_{n} x^{n + 1} + \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k} x^{k + 1} - \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k} x^{k}$
		$= r_{n} x^{n + 1} + \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k} (x^{k + 1} - x^{k}) = r_{n} x^{n + 1} + (x - 1) \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} r_{k} x^{k} .$

Étude de la somme d'une série entière abstraite