[<] Calcul de rayon de convergence abstrait [>] Étude de la somme d'une série entière concrète

 
Exercice 1  2841    MINES (MP)Correction  

On note an la n-ième décimale de 3.

Déterminer l’intervalle de définition de la série entière

anxn.

Solution

La suite (an) est bornée mais ne tend par vers 0 (car 3 n’est pas un nombre décimal).

Par conséquent, pour tout |x|<1, la série numérique anxn converge car son terme est dominé par le terme sommable xn.

En revanche, an1n diverge car (an) ne tend par 0.

On peut conclure que le rayon de convergence de la série entière vaut 1.

On vient de voir que la série diverge grossièrement pour x=1, il en est de même pour x=-1.

On conclut que l’intervalle cherché est

]-1;1[.
 
Exercice 2  2855     MINES (PC)Correction  

Pour n*, on pose

In=1+e-tndt.
  • (a)

    Déterminer la limite de (In).

  • (b)

    Donner un équivalent de (In).

  • (c)

    Déterminer l’intervalle de définition de la série entière Inxn.

Solution

  • (a)

    Pour t>1, e-tn0 avec 0e-tne-t. Par convergence dominée In0.

  • (b)

    Par le changement de variable u=tn qui est un 𝒞1-difféomorphisme,

    In=1n1+u1-nne-udu.

    Par convergence dominée,

    1+u1-nne-udun+1+e-uudu

    donc

    In1n1+e-uudu.
  • (c)

    Par l’équivalent précédent, R=1 et la série entière diverge en 1.

    Par application du critère spécial des séries alternées, la série entière converge en -1.

    L’intervalle de définition est donc [-1;1[.

 
Exercice 3  3016     ENSTIM (MP)Correction  

Pour p,q, on pose

I(p,q)=01tp(1-t)qdt.
  • (a)

    Calculer I(p,q).

  • (b)

    Donner la nature de La série de terme général un=I(n,n).

  • (c)

    Donner le domaine de définition réel de la série entière de unxn.

Solution

  • (a)

    Par intégration par parties,

    I(p,q)=pq+1I(p-1,q+1)

    puis

    I(p,q)=p!q!(p+q+1)!.
  • (b)

    On a

    un=(n!)2(2n+1)!et|un+1un|=(n+1)2(2n+2)(2n+3)n+14<1

    donc un converge.

  • (c)

    Par le calcul ci-dessus, R=4 donc

    ]-4;4[𝒟[-4;4].

    Par la formule de Stirling,

    unn+2πn2n+1e2ne2n+12π(2n+1)(2n+1)(2n+1)=2πe2n+1122n+1(2n2n+1)2n+1

    et

    (2n2n+1)2n+1=exp((2n+1)ln(1-12n+1))n+1e

    donc

    unn+π22n+1n

    Ainsi,

    4nunn+π/2n

    et, par comparaison de séries à termes positifs, 4nun diverge.

    Considérons vn=(-4)nun. La suite (vn) est alternée, |vn|0 et

    |vn+1vn|=4(n+1)2(2n+2)(2n+3)=2n+22n+3<1

    donc (|vn|) est décroissante.

    Par application du critère spécial des séries alternées, vn converge.

    Finalement, 𝒟=[-4;4[.

 
Exercice 4  38     CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Étudier la limite de la suite (an) définie par

    a0>0etan+1=ln(1+an)pour tout n.
  • (b)

    Déterminer le rayon de convergence de anxn.

  • (c)

    Déterminer l’intervalle de convergence de anxn. On pourra étudier la limite de 1/an+1-1/an et utiliser le théorème de Cesàro.

Solution

  • (a)

    La fonction xln(1+x) est définie sur +* et à valeurs dans +*. Puisque a0>0, la suite récurrente (an) est bien définie et à termes dans +*. Sachant ln(1+x)x, on peut affirmer que la suite (an) est décroissante. Or elle est minorée par 0, donc elle converge vers une limite 0. En passant la relation an+1=ln(1+an) à la limite, on obtient =ln(1+) ce qui entraîne =0 (car ln(1+x)<x pour tout x>0).

    Finalement, an0+.

  • (b)

    On a alors

    |an+1an|=an+1an=ln(1+an)ann+anann+1

    et donc le rayon de convergence de la série entière anxn vaut 1.

  • (c)

    Cas: x=-1. La série numérique

    an(-1)n

    converge en vertu du critère spécial des séries alternées car (an) décroît vers 0.

    Cas: x=1. Déterminons la nature de la série numérique an
    On a

    1an+1-1an=an-ln(1+an)anan+1=n+12an2+o(an2)an(an+o(an))n+12.

    Par le théorème de Cesàro,

    1nk=0n-1(1ak+1-1ak)n+12

    et donc

    1n(1an-1a0)n+12.

    On en déduit

    ann+2n.

    Par équivalence de séries à termes positifs, an diverge.

    L’intervalle de convergence est donc [-1;1[.

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Édité le 08-11-2019

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