Exercice 1 2841 MINES (MP)Correction

On note $a_{n}$ la $n$ -ième décimale de $\sqrt{3}$ ( $a_{0} = 1$ , $a_{1} = 7$ , $a_{2} = 3$ , $a_{3} = 2$ , etc.).

Déterminer l’intervalle de définition de la série entière

\sum a_{n} x^{n} .

Solution

La suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ est bornée mais ne tend pas vers $0$ (car $\sqrt{3}$ n’est pas un nombre décimal).

Par conséquent, pour tout $| x | < 1$ , la série numérique $\sum a_{n} x^{n}$ converge car son terme est dominé par le terme sommable $x^{n}$ .

En revanche, $\sum a_{n} 1^{n}$ diverge car $(a_{n})$ ne tend pas vers $0$ .

On peut conclure que le rayon de convergence de la série entière vaut $1$ .

On vient de voir que la série diverge grossièrement pour $x = 1$ . Il en est de même pour $x = - 1$ .

On conclut que l’intervalle cherché est

] - 1; 1 [.

Exercice 2 2855 MINES (PC)Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose

I_{n} = \int_{1}^{+ \infty} e^{- t^{n}} d t .

(a)

Déterminer la limite de $(I_{n})$ .
(b)

Donner un équivalent de $(I_{n})$ .
(c)

Déterminer l’intervalle de définition de la série entière $\sum I_{n} x^{n}$ .

Solution

(a)

Pour $t > 1$ , $e^{- t^{n}} \to 0$ avec $0 \leq e^{- t^{n}} \leq e^{- t}$ . Par convergence dominée $I_{n} \to 0$ .
(b)

Par le changement de variable $u = t^{n}$ qui est un $𝒞^{1}$ -difféomorphisme,

$I_{n} = \frac{1}{n} \int_{1}^{+ \infty} u^{\frac{1 - n}{n}} e^{- u} d u .$

Par convergence dominée,

$\int_{1}^{+ \infty} u^{\frac{1 - n}{n}} e^{- u} d u \to_{n \to + \infty}^{} \int_{1}^{+ \infty} \frac{e^{- u}}{u} d u$

donc

$I_{n} \sim \frac{1}{n} \int_{1}^{+ \infty} \frac{e^{- u}}{u} d u .$
(c)

Par l’équivalent précédent, $R = 1$ et la série entière diverge en $1$ .

Par application du critère spécial des séries alternées, la série entière converge en $- 1$ .

L’intervalle de définition est donc $[- 1; 1 [$ .

Exercice 3 3016 ENSTIM (MP)Correction

Pour $p, q \in ℕ$ , on pose

I (p, q) = \int_{0}^{1} t^{p} {(1 - t)}^{q} d t .

(a)

Calculer $I (p, q)$ .
(b)

Donner la nature de La série de terme général $u_{n} = I (n, n)$ .
(c)

Donner le domaine de définition réel de la série entière de $\sum u_{n} x^{n}$ .

Solution

(a)

Par intégration par parties,

$I (p, q) = \frac{p}{q + 1} I (p - 1, q + 1)$

puis

$I (p, q) = \frac{p! q!}{(p + q + 1)!} .$
(b)

On a

$u_{n} = \frac{{(n!)}^{2}}{(2 n + 1)!} et | \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} | = \frac{{(n + 1)}^{2}}{(2 n + 2) (2 n + 3)} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{4} < 1$

donc $\sum u_{n}$ converge.
(c)

Par le calcul ci-dessus, $R = 4$ donc

$] - 4; 4 [\subset 𝒟 \subset [- 4; 4] .$

Par la formule de Stirling,

$u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{2 π n^{2 n + 1}}{e^{2 n}} \frac{e^{2 n + 1}}{\sqrt{2 π (2 n + 1)} {(2 n + 1)}^{(2 n + 1)}} = \frac{\sqrt{2 π} e}{\sqrt{2 n + 1}} \frac{1}{2^{2 n + 1}} {(\frac{2 n}{2 n + 1})}^{2 n + 1}$

et

${(\frac{2 n}{2 n + 1})}^{2 n + 1} = \exp ((2 n + 1) \ln (1 - \frac{1}{2 n + 1})) \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{e}$

donc

$u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{\sqrt{π}}{2^{2 n + 1} \sqrt{n}} .$

Ainsi,

$4^{n} u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{π} / 2 \sqrt{n}$

et, par comparaison de séries à termes positifs, $\sum 4^{n} u_{n}$ diverge.

Considérons $v_{n} = {(- 4)}^{n} u_{n}$ . La suite $(v_{n})$ est alternée, $| v_{n} | \to 0$ et

$| \frac{v_{n + 1}}{v_{n}} | = \frac{4 {(n + 1)}^{2}}{(2 n + 2) (2 n + 3)} = \frac{2 n + 2}{2 n + 3} < 1$

donc $(| v_{n} |)$ est décroissante.

Par application du critère spécial des séries alternées, $\sum v_{n}$ converge.

Finalement, $𝒟 = [- 4; 4 [$ .

Exercice 4 38 CCINP (MP)Correction

(a)

Étudier la limite de la suite $(a_{n})$ définie par

$a_{0} > 0 et a_{n + 1} = \ln (1 + a_{n}) pour tout n \in ℕ .$
(b)

Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_{n} x^{n}$ .
(c)

Déterminer l’intervalle de convergence de $\sum a_{n} x^{n}$ . On pourra étudier la limite de $1 / a_{n + 1} - 1 / a_{n}$ et utiliser le théorème de Cesàro.

Solution

(a)

La fonction $x \mapsto \ln (1 + x)$ est définie sur $ℝ_{+}^{*}$ et à valeurs dans $ℝ_{+}^{*}$ . Puisque $a_{0} > 0$ , la suite récurrente $(a_{n})$ est bien définie et à termes dans $ℝ_{+}^{*}$ . Sachant $\ln (1 + x) \leq x$ , on peut affirmer que la suite $(a_{n})$ est décroissante. Or elle est minorée par 0, donc elle converge vers une limite $ℓ \geq 0$ . En passant la relation $a_{n + 1} = \ln (1 + a_{n})$ à la limite, on obtient $ℓ = \ln (1 + ℓ)$ ce qui entraîne $ℓ = 0$ (car $\ln (1 + x) < x$ pour tout $x > 0$ ).

Finalement, $a_{n} \to 0^{+}$ .
(b)

On a alors

$| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{\ln (1 + a_{n})}{a_{n}} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{a_{n}}{a_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 1$

et donc le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ vaut 1.
(c)

Cas: $x = - 1$ . La série numérique

$\sum a_{n} {(- 1)}^{n}$

converge en vertu du critère spécial des séries alternées car $(a_{n})$ décroît vers $0$ .

Cas: $x = 1$ . Déterminons la nature de la série numérique $\sum a_{n}$
On a

$\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = \frac{a_{n} - \ln (1 + a_{n})}{a_{n} a_{n + 1}} \underset{n \to + \infty}{=} \frac{\frac{1}{2} a_{n}^{2} + o (a_{n}^{2})}{a_{n} (a_{n} + o (a_{n}))} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{2} .$

Par le théorème de Cesàro,

$\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} (\frac{1}{a_{k + 1}} - \frac{1}{a_{k}}) \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{2}$

et donc

$\frac{1}{n} (\frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{0}}) \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{2} .$

On en déduit

$a_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{2}{n} .$

Par équivalence de séries à termes positifs, $\sum a_{n}$ diverge.

L’intervalle de convergence est donc $[- 1; 1 [$ .

Intervalle de convergence