[<] Calcul de rayon de convergence concret [>] Intervalle de convergence

 
Exercice 1  977  Correction  

Soient n0anzn une série entière de rayon de convergence R et z0. On suppose que n0anz0n est semi-convergente. Déterminer R.

Solution

Par la convergence de n0anz0n on a déjà R|z0|. Si R>|z0| alors il y a absolue convergence en z0 ce qui est exclu par hypothèse. On conclut R=|z0|.

 
Exercice 2  974  Correction  

Soit anzn une série entière de rayon de convergence R.
Déterminer le rayon de convergence de la série entière anz2n.

Solution

Notons R le rayon de convergence de anz2n.
Pour |z|<R, |z2|<R et donc an(z2)n=anz2n est absolument convergente.
Pour |z|>R, |z2|>R et donc an(z2)n=anz2n est grossièrement divergente.
On en déduit R=R.

 
Exercice 3  975  Correction  

On suppose que |an|n+{+}.
Déterminer le rayon de convergence de anzn.

Solution

Pour z0, on observe que |anzn|n|z|. Or il est connu que pour un série à termes positifs, si unnm[0;1[ alors la série converge et si unnm>1 alors la série diverge (ce résultat s’obtient par comparaison avec une suite géométrique).

Si =0 alors pour tout z,

|anzn|nn+0

donc anzn converge en z et donc R=+.

Si ]0;+[ alors pour tout z tel que |z|<1/, anzn converge tandis que pour |z|>1/, anzn diverge. On en déduit R=1/

Si =+ alors pour tout z*, anzn diverge.

 
Exercice 4  5253  

Comparer les rayons de convergence des séries entières

anznetln(n)anzn.
 
Exercice 5  978   Correction  

Montrer que pour tout α les séries entières anzn et nαanzn ont le même rayon de convergence.

Solution

Posons bn=nαan et comparons Ra et Rb.

Cas: α=0. ok

Cas: α>0. On a an=n+o(bn) et donc

RaRb.

Pour z tel que |z|<Ra, en considérant, ρ]|z|;Ra[, on peut écrire

bnzn=nαanzn=anρn×nαznρn=o(anρn).

Puisque anρn converge absolument, la série bnzn converge et donc Rb|z|.

Or cela pour tout z tel que |z|<Ra donc

RbRa.

Finalement,

Ra=Rb.

Cas: α<0. On écrit an=n-αbn et l’on exploite ce qui précède.

 
Exercice 6  3309   Correction  

Soit anzn une série entière de rayon de convergence R>0.
Déterminer le rayon de convergence de

ann!zn.

Solution

Soit r]0;R[. La série numérique anrn est absolument convergente. Pour tout z,

ann!zn=anrn1n!(zr)n=o(anrn)

car par croissance comparée

1n!(zr)nn+0.

Par comparaison de séries absolument convergentes, on peut affirmer que la série numérique anznn! est absolument convergente pour tout z.
Le rayon de convergence de la série entière étudiée est +.

 
Exercice 7  976   Correction  

Soit anzn une série entière de rayon de convergence R. On pose

bn=an1+|an|

et l’on note R le rayon de convergence de bnzn.

  • (a)

    Montrer que Rmax(1,R)

  • (b)

    Établir que si R>1 alors R=R.

  • (c)

    Exprimer alors R en fonction de R.

Solution

  • (a)

    On a |bn||an| donc RR. On a |bn|1 donc R1

  • (b)

    Si R>1 alors bn0 et puisque |bn|=|an|1+|an| donne |an|=|bn|1-|bn|, on obtient an=O(|bn|) donc RR.
    Par suite, R=R d’où R=max(1,R).

  • (c)

    Si R=1 alors 1R et R=max(1,R).

 
Exercice 8  979  Correction  

Soient anzn et bnzn deux séries entières de rayon de convergence Ra et Rb.
On suppose que pour tout n, anbn=0.
Montrer que le rayon de convergence de (an+bn)zn est R=min(Ra,Rb)

Solution

Par sommation de séries entière, on sait déjà Rmin(Ra,Rb)
De plus, puisque anbn=0 on peut affirmer |an||an+bn| et donc RRa et de même RRb et donc Rmin(Ra,Rb) puis R=min(Ra,Rb).

 
Exercice 9  4734   
  • (a)

    Soit anxn une série entière de rayon de convergence R. On note R et R′′ les rayons de convergence de sa partie paire et de sa partie impaire

    a2px2peta2p+1x2p+1.

    Montrer R=min(R,R′′).

  • (b)

    Application: Calculer le rayon de convergence de la série entière

    (2+(-1)n+1)nxn.
 
Exercice 10  3310   Correction  

Soit anzn une série entière de rayon de convergence R.
Déterminer le rayon de convergence de

an2zn.

Solution

Montrons par double inégalité que le rayon de convergence R de an2zn vaut

R=R2.

Soit |z|<R.
Puisque la série numérique anzn est absolument convergente, on a anzn0 et donc an2z2n0.
Or pour |Z|>R, on sait que la suite (an2Zn) n’est pas bornée. On en déduit |z|2R et donc

RR.

Soit |z|<R.
On a |z|2<R et donc |an2z2n|0 puis |anzn|0. On en déduit |z|R et donc

RR.
 
Exercice 11  3484   Correction  

Soit (an) une suite de réels tous non nuls.

Déterminer une relation reliant les rayons de convergence des séries entières ci-dessous:

anznet1anzn.

Solution

Notons R et R les deux rayons de convergence de séries entières introduites.

Soit z*.

Si |z|<R alors la série numérique anzn converge et donc anzn0. On en déduit que

|1anzn|n++

et donc |1/z|>R puis|z|<1/R. On en déduit R1/R, soit

RR1.

On ne peut a priori affirmer mieux puisque, pour

an={2n si n est pair1 sinon

on obtient RR=1/2.

 
Exercice 12  5346     MINES (MP)Correction  

Soient (an)n une suite de nombres complexes non nuls et k*. On suppose

|an+kan|n+ avec +{+}.

Déterminer le rayon de convergence R de la série entière anzn.

Solution

Soit z*. On remarque

|an+kzn+kanzn|n+|z|k. (1)

Cas: =0. La limite (1) est strictement inférieure à 1 et l’on peut affirmer que, pour tout j=0,,k-1, il y a convergence absolue de la série numérique ank+jznk+j. On en déduit la convergence de la série entière anzn pour tout z et donc R=+.

Cas: ]0;+[. Pour |z|<-1/k, la limite (1) est strictement inférieure à 1 et l’on peut affirmer que, pour tout j=0,,k-1, il y a convergence absolue de la série numérique ank+jznk+j. On en déduit la convergence de la série entière anzn pour tout z tel que |z|<-1/k. Pour |z|>-1/k, la limite (1) est strictement supérieure à 1 et il y a divergence grossière de ankznk donc a fortiori aussi divergence grossière de anzn. On en déduit R=-1/k.

Cas: =+.. Pour tout z*, la limite (1) est strictement supérieure à 1 et il y a divergence grossière de ankznk donc a fortiori aussi divergence grossière de anzn. On en déduit R=0.

[<] Calcul de rayon de convergence concret [>] Intervalle de convergence



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax