Exercice 1 977 Correction

Soient $\sum_{n \geq 0} a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$ et $z_{0} \in ℂ$ . On suppose que $\sum_{n \geq 0} a_{n} z_{0}^{n}$ est semi-convergente. Déterminer $R$ .

Solution

Par la convergence de $\sum_{n \geq 0} a_{n} z_{0}^{n}$ on a déjà $R \geq | z_{0} |$ . Si $R > | z_{0} |$ alors il y a absolue convergence en $z_{0}$ ce qui est exclu par hypothèse. On conclut $R = | z_{0} |$ .

Exercice 2 974 Correction

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$ .
Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} z^{2 n}$ .

Solution

Notons $R^{'}$ le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{2 n}$ .
Pour $| z | < \sqrt{R}$ , $| z^{2} | < R$ et donc $\sum a_{n} {(z^{2})}^{n} = \sum a_{n} z^{2 n}$ est absolument convergente.
Pour $| z | > \sqrt{R}$ , $| z^{2} | > R$ et donc $\sum a_{n} {(z^{2})}^{n} = \sum a_{n} z^{2 n}$ est grossièrement divergente.
On en déduit $R^{'} = \sqrt{R}$ .

Exercice 3 5568 Correction

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$ .

On considère ses parties paire et impaire $\sum a_{2 p} z^{2 p}$ et $\sum a_{2 p + 1} z^{2 p + 1}$ de rayons de convergence notés $R^{'}$ et $R^{''}$ .

Montrer que $R = \min (R^{'}, R^{''})$ .

Solution

Pour $p \in ℕ$ , posons

{\begin{matrix} b_{2 p} & = a_{2 p} \\ b_{2 p + 1} & = 0 \end{matrix} et {\begin{matrix} c_{2 p} & = 0 \\ c_{2 p + 1} & = a_{2 p + 1} . \end{matrix}

Les séries entières $\sum a_{2 p} z^{2 p}$ et $\sum a_{2 p + 1} z^{2 p + 1}$ correspondent à $\sum b_{n} z^{n}$ et $\sum c_{n} z^{n}$ .

D’une part, on vérifie $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ pour tout $n \in ℕ$ . La série entière $\sum a_{n} z^{n}$ est donc la somme des séries entières $\sum b_{n} z^{n}$ et $\sum c_{n} z^{n}$ . Cela entraîne $R \geq \min (R^{'}, R^{''})$ .

D’autre part, $| b_{n} | \leq | a_{n} |$ pour tout $n \in ℕ$ et donc $R^{'} \geq R$ . Par un argument semblable, $R^{''} \geq R$ et donc $\min (R^{'}, R^{''}) \geq R$ .

Par double inégalité, $R = \min (R^{'}, R^{''})$ .

Exercice 4 975 Correction

On suppose que $\sqrt[n]{| a_{n} |} \to ℓ \in ℝ_{+} \cup {+ \infty}$ .
Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_{n} z^{n}$ .

Solution

Pour $z \neq 0$ , on observe que $\sqrt[n]{| a_{n} z^{n} |} \to ℓ | z |$ . Or il est connu que pour $\sum u_{n}$ série à termes positifs, si $\sqrt[n]{u_{n}} \to m \in [0; 1 [$ alors la série converge et si $\sqrt[n]{u_{n}} \to m > 1$ alors la série diverge (ce résultat s’obtient par comparaison avec une suite géométrique).

Si $ℓ = 0$ alors pour tout $z \in ℂ$ ,

\sqrt[n]{| a_{n} z^{n} |} \to_{n \to + \infty}^{} 0

donc $\sum a_{n} z^{n}$ converge en $z$ et donc $R = + \infty$ .

Si $ℓ \in] 0; + \infty [$ alors pour tout $z \in ℂ$ tel que $| z | < 1 / ℓ$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge tandis que pour $| z | > 1 / ℓ$ , $\sum a_{n} z^{n}$ diverge. On en déduit $R = 1 / ℓ$

Si $ℓ = + \infty$ alors pour tout $z \in ℂ^{*}$ , $\sum a_{n} z^{n}$ diverge.

Exercice 5 5253

Comparer les rayons de convergence des séries entières

\sum a_{n} z^{n} et \sum \ln (n) a_{n} z^{n} .

Exercice 6 978 Correction

Montrer que pour tout $α \in ℝ$ les séries entières $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum n^{α} a_{n} z^{n}$ ont le même rayon de convergence.

Solution

Posons $b_{n} = n^{α} a_{n}$ et comparons $R_{a}$ et $R_{b}$ .

Cas: $α = 0$ . ok

Cas: $α > 0$ . On a $a_{n} \underset{n \to + \infty}{=} o (b_{n})$ et donc

R_{a} \geq R_{b} .

Pour $z \in ℂ$ tel que $| z | < R_{a}$ , en considérant, $ρ \in] | z |; R_{a} [$ , on peut écrire

b_{n} z^{n} = n^{α} a_{n} z^{n} = a_{n} ρ^{n} \times n^{α} \frac{z^{n}}{ρ^{n}} = o (a_{n} ρ^{n}) .

Puisque $\sum a_{n} ρ^{n}$ converge absolument, la série $\sum b_{n} z^{n}$ converge et donc $R_{b} \geq | z |$ .

Or cela pour tout $z$ tel que $| z | < R_{a}$ donc

R_{b} \geq R_{a} .

Finalement,

R_{a} = R_{b} .

Cas: $α < 0$ . On écrit $a_{n} = n^{- α} b_{n}$ et l’on exploite ce qui précède.

Exercice 7 3309 Correction

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ .

Déterminer le rayon de convergence de

\sum \frac{a_{n}}{n!} z^{n} .

Solution

Soit $r \in] 0; R [$ . La série numérique $\sum a_{n} r^{n}$ est absolument convergente. Pour tout $z \in ℂ$ ,

\frac{a_{n}}{n!} z^{n} = a_{n} r^{n} \frac{1}{n!} {(\frac{z}{r})}^{n} = o (a_{n} r^{n})

car par croissance comparée

\frac{1}{n!} {(\frac{z}{r})}^{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Par comparaison de séries absolument convergentes, on peut affirmer que la série numérique $\sum \frac{a_{n} z^{n}}{n!}$ est absolument convergente pour tout $z \in ℂ$ .

Le rayon de convergence de la série entière étudiée est $+ \infty$ .

Exercice 8 976 Correction

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$ . On pose

b_{n} = \frac{a_{n}}{1 + | a_{n} |}

et l’on note $R^{'}$ le rayon de convergence de $\sum b_{n} z^{n}$ .

(a)

Montrer que $R^{'} \geq \max (1, R)$
(b)

Établir que si $R^{'} > 1$ alors $R^{'} = R$ .
(c)

Exprimer alors $R^{'}$ en fonction de $R$ .

Solution

(a)

On a $| b_{n} | \leq | a_{n} |$ donc $R^{'} \geq R$ . On a $| b_{n} | \leq 1$ donc $R^{'} \geq 1$
(b)

Si $R^{'} > 1$ alors $b_{n} \to 0$ et puisque $| b_{n} | = \frac{| a_{n} |}{1 + | a_{n} |}$ donne $| a_{n} | = \frac{| b_{n} |}{1 - | b_{n} |}$ , on obtient $a_{n} = O (| b_{n} |)$ donc $R \geq R^{'}$ .
Par suite, $R = R^{'}$ d’où $R^{'} = \max (1, R)$ .
(c)

Si $R^{'} = 1$ alors $1 \geq R$ et $R^{'} = \max (1, R)$ .

Exercice 9 979 Correction

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ deux séries entières de rayon de convergence $R_{a}$ et $R_{b}$ .
On suppose que pour tout $n \in ℕ$ , $a_{n} b_{n} = 0$ .
Montrer que le rayon de convergence de $\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}$ est $R = \min (R_{a}, R_{b})$

Solution

Par sommation de séries entière, on sait déjà $R \geq \min (R_{a}, R_{b})$
De plus, puisque $a_{n} b_{n} = 0$ on peut affirmer $| a_{n} | \leq | a_{n} + b_{n} |$ et donc $R \leq R_{a}$ et de même $R \leq R_{b}$ et donc $R \leq \min (R_{a}, R_{b})$ puis $R = \min (R_{a}, R_{b})$ .

Exercice 10 4734

(a)

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$ . On note $R^{'}$ et $R^{''}$ les rayons de convergence de sa partie paire et sa partie impaire

$\sum a_{2 p} z^{2 p} et \sum a_{2 p + 1} z^{2 p + 1} .$

Montrer $R = \min (R^{'}, R^{''})$ .
(b)

Application : Calculer le rayon de convergence de la série entière

$\sum {(2 + {(- 1)}^{n + 1})}^{n} z^{n} .$

Exercice 11 3310 Correction

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$ .
Déterminer le rayon de convergence de

\sum a_{n}^{2} z^{n} .

Solution

Montrons par double inégalité que le rayon de convergence $R^{'}$ de $\sum a_{n}^{2} z^{n}$ vaut

R^{'} = R^{2} .

Soit $| z | < R$ .
Puisque la série numérique $\sum a_{n} z^{n}$ est absolument convergente, on a $a_{n} z^{n} \to 0$ et donc $a_{n}^{2} z^{2 n} \to 0$ .
Or pour $| Z | > R^{'}$ , on sait que la suite $(a_{n}^{2} Z^{n})$ n’est pas bornée. On en déduit ${| z |}^{2} \leq R^{'}$ et donc

R \leq \sqrt{R^{'}} .

Soit $| z | < \sqrt{R^{'}}$ .
On a ${| z |}^{2} < R^{'}$ et donc $| a_{n}^{2} z^{2 n} | \to 0$ puis $| a_{n} z^{n} | \to 0$ . On en déduit $| z | \leq R$ et donc

\sqrt{R^{'}} \leq R .

Exercice 12 3484 Correction

Soit $(a_{n})$ une suite de réels tous non nuls.

Déterminer une relation reliant les rayons de convergence des séries entières ci-dessous:

\sum a_{n} z^{n} et \sum \frac{1}{a_{n}} z^{n} .

Solution

Notons $R$ et $R^{'}$ les deux rayons de convergence de séries entières introduites.

Soit $z \in ℂ^{*}$ .

Si $| z | < R$ alors la série numérique $\sum a_{n} z^{n}$ converge et donc $a_{n} z^{n} \to 0$ . On en déduit que

| \frac{1}{a_{n} z^{n}} | \to_{n \to + \infty}^{} + \infty

et donc $| 1 / z | > R^{'}$ puis $| z | < 1 / R^{'}$ . On en déduit $R \leq 1 / R^{'}$ , soit

R R^{'} \leq 1 .

On ne peut a priori affirmer mieux puisque, pour

a_{n} = {\begin{matrix} 2^{n} & si n est pair \\ 1 & sinon \end{matrix}

on obtient $R R^{'} = 1 / 2$ .

Exercice 13 5346 MINES (MP)Correction

Soient ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite de nombres complexes non nuls et $k \in ℕ^{*}$ . On suppose

| \frac{a_{n + k}}{a_{n}} | \to_{n \to + \infty}^{} ℓ avec ℓ \in ℝ_{+} \cup {+ \infty} .

Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_{n} z^{n}$ .

Solution

Soit $z \in ℂ^{*}$ . On remarque

| \frac{a_{n + k} z^{n + k}}{a_{n} z^{n}} | \to_{n \to + \infty}^{} ℓ {| z |}^{k} .

(1)

Cas: $ℓ = 0$ . La limite (1) est strictement inférieure à $1$ et l’on peut affirmer que, pour tout $j = 0, \dots, k - 1$ , il y a convergence absolue de la série numérique $\sum a_{n k + j} z^{n k + j}$ . On en déduit la convergence de la série entière $\sum a_{n} z^{n}$ pour tout $z \in ℂ$ et donc $R = + \infty$ .

Cas: $ℓ \in] 0; + \infty [$ . Pour $| z | < ℓ^{- 1 / k}$ , la limite (1) est strictement inférieure à $1$ et l’on peut affirmer que, pour tout $j = 0, \dots, k - 1$ , il y a convergence absolue de la série numérique $\sum a_{n k + j} z^{n k + j}$ . On en déduit la convergence de la série entière $\sum a_{n} z^{n}$ pour tout $z \in ℂ$ tel que $| z | < ℓ^{- 1 / k}$ . Pour $| z | > ℓ^{- 1 / k}$ , la limite (1) est strictement supérieure à $1$ et il y a divergence grossière de $\sum a_{n k} z^{n k}$ donc a fortiori aussi divergence grossière de $\sum a_{n} z^{n}$ . On en déduit $R = ℓ^{- 1 / k}$ .

Cas: $ℓ = + \infty$ .. Pour tout $z \in ℂ^{*}$ , la limite (1) est strictement supérieure à $1$ et il y a divergence grossière de $\sum a_{n k} z^{n k}$ donc a fortiori aussi divergence grossière de $\sum a_{n} z^{n}$ . On en déduit $R = 0$ .

[<] Calcul de rayon de convergence concret [>] Intervalle de convergence

Édité le 29-08-2023

Calcul de rayon de convergence abstrait