[<] Calcul de développement en série entières [>] Calcul de développement par équation différentielle

 
Exercice 1  986  Correction  

Former le développement en série entière en 0 de la fonction

xln(x2-5x+6).

Solution

En dérivant et en décomposant en éléments simples

ddx(ln(x2-5x+6)) =2x-5(x-2)(x-3)=1x-2+1x-3
=-1211-x/2-1311-x/3

donc

ln(x2-5x+6)=ln(6)-n=1+1n(12n+13n)xn

avec un rayon de convergence R=2.
On peut aussi trouver ce développement en série entière en factorisant

ln(x2-5x+6)=ln(2-x)+ln(3-x).
 
Exercice 2  4731  

Former le développement en série entière de la fonction arcsin sur ]-1;1[.

 
Exercice 3  2525     CCP (MP)Correction  

Montrer que

f(x)=arctan(1+x)

est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence. Calculer cette série entière.

Solution

La fonction f est dérivable et

f(x)=11+(1+x)2=1x2+2x+2

est une fraction rationnelle dont 0 n’est pas pôle. La fonction f puis f sont développables en série entière et les rayons de convergence des séries entières correspondantes sont égaux.

1x2+2x+2=1/2ix+1-i-1/2ix+1+i=Re(-ix+1-i)=Im(1x+1-i)

avec

1x+1-i=11-i11+x1-i=n=0+(-1)n(1-i)n+1xn

avec un rayon de convergence R=2.
Comme 1-i=2e-iπ/4 on a

1x2+2x+2=n=0+cos((3n+1)π4)2(n+1)/2xn

puis

f(x)=π4+n=0+cos((3n+1)π4)(n+1)2(n+1)/2xn+1

avec R=2.

 
Exercice 4  78     CCP (MP)Correction  

Soient x et θ]0;π/2[.

  • (a)

    Calculer la partie imaginaire du complexe

    sin(θ)eiθ1-xsin(θ)eiθ.
  • (b)

    En déduire le développement en série entière de

    f(x)=arctan(x-1tan(θ)).

Solution

  • (a)

    Pour x, on peut affirmer xsin(θ)eiθ1 et par multiplication par la quantité conjuguée

    sin(θ)eiθ1-xsin(θ)eiθ=sin(θ)eiθ(1-xsin(θ)e-iθ)|1-xsin(θ)eiθ|2.

    On en déduit

    Im(sin(θ)eiθ1-xsin(θ)eiθ)=sin2(θ)1-2xsin(θ)cos(θ)+x2sin2(θ).
  • (b)

    La fonction f est définie et de classe 𝒞 sur et, après calculs

    f(x)=sin2(θ)1-2xsin(θ)cos(θ)+x2sin2(θ).

    Pour |xsin(θ)|<1, on a

    sin(θ)eiθ1-xsin(θ)eiθ=sin(θ)eiθn=0+(xsin(θ)eiθ)n=n=0+(sin(θ))n+1ei(n+1)θxn.

    On en déduit

    f(x)=n=0+(sin(θ))n+1sin((n+1)θ)xn

    puis, par intégration de développement en série entière,

    f(x)=f(0)+n=1+(sin(θ))nsin(nθ)nxn

    avec

    f(0)=-arctan(1tan(θ))=arctan(tan(θ-π/2))=θ-π/2

    car θ-π/2]-π/2;π/2[.

 
Exercice 5  991   

Pour α]0;π[, former le développement en série entière en 0 de la fonction

f:xarctan(1+x1-xtan(α2)).
 
Exercice 6  2848     MINES (MP)Correction  

Pour x]-1;1[ et α, établir

n=1+xnnsin(nα)=arctan(xsin(α)1-xcos(α)).

Solution

Pour |x|<1, on a

ddx(arctan(xsin(α)1-xcos(α)))=sin(α)1-2xcos(α)+x2.

Par décomposition en éléments simples

sin(α)1-2xcos(α)+x2=12i(1e-iα-x-1eiα-x).

On reconnaît une écriture en (Z-Z¯)/2i, c’est donc une partie imaginaire

sin(α)1-2xcos(α)+x2=Im(1e-iα-x)=Im(eiα1-xeiα).

Par sommation géométrique

eiα1-xeiα=n=0+ei(n+1)αxn

et donc

ddx(arctan(xsin(α)1-xcos(α)))=n=0+sin((n+1)α)xn=n=1+sin(nα)xn-1.

Par intégration de série entière, on obtient alors la relation proposée.

 
Exercice 7  2857     MINES (MP)Correction  

Développer en série entière

x-xdt1+t+t2.

Solution

Posons

f(x)=-xdt1+t+t2.

On vérifie aisément la convergence de cette intégrale et la fonction f est définie et dérivable sur avec

f(x)=11+x+x2.

Pour |x|<1,

f(x)=1-x1-x3=(1-x)n=0+x3n=n=0+anxn

avec

a3n=1,a3n+1=-1 et a3n+2=0.

En intégrant,

f(x)=f(0)+n=0+ann+1xn+1

avec

f(0)=-0dt1+t+t2.

Pour calculer cette intégrale, on écrit

-0dt1+t+t2=-0dt(t+12)2+34=23[arctan(2t+13)]-0.

Après calculs

f(0)=4π33.

[<] Calcul de développement en série entières [>] Calcul de développement par équation différentielle



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax