Exercice 1 986 Correction

Former le développement en série entière en 0 de la fonction

x \mapsto \ln (x^{2} - 5 x + 6) .

Solution

En dérivant et en décomposant en éléments simples

	$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} - 5 x + 6))$	$= \frac{2 x - 5}{(x - 2) (x - 3)} = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 3}$
		$= - \frac{1}{2} \frac{1}{1 - x / 2} - \frac{1}{3} \frac{1}{1 - x / 3}$

donc

\ln (x^{2} - 5 x + 6) = \ln (6) - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n} (\frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{3^{n}}) x^{n}

avec un rayon de convergence $R = 2$ .
On peut aussi trouver ce développement en série entière en factorisant

\ln (x^{2} - 5 x + 6) = \ln (2 - x) + \ln (3 - x) .

Exercice 2 4731

Former le développement en série entière de la fonction $\arcsin$ sur $] - 1; 1 [$ .

Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.

Exercice 3 2525 CCINP (MP)Correction

Montrer que

f (x) = \arctan (1 + x)

est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence. Calculer cette série entière.

Solution

La fonction $f$ est dérivable et

f^{'} (x) = \frac{1}{1 + {(1 + x)}^{2}} = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}

est une fraction rationnelle dont 0 n’est pas pôle. La fonction $f^{'}$ puis $f$ sont développables en série entière et les rayons de convergence des séries entières correspondantes sont égaux.

\frac{1}{x^{2} + 2 x + 2} = \frac{1 / 2 i}{x + 1 - i} - \frac{1 / 2 i}{x + 1 + i} = Re (\frac{- i}{x + 1 - i}) = Im (\frac{1}{x + 1 - i})

avec

\frac{1}{x + 1 - i} = \frac{1}{1 - i} \frac{1}{1 + \frac{x}{1 - i}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{{(1 - i)}^{n + 1}} x^{n}

avec un rayon de convergence $R = \sqrt{2}$ .
Comme $1 - i = \sqrt{2} e^{- i π / 4}$ on a

\frac{1}{x^{2} + 2 x + 2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{\cos (\frac{(3 n + 1) π}{4})}{2^{(n + 1) / 2}} x^{n}

puis

f (x) = \frac{π}{4} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{\cos (\frac{(3 n + 1) π}{4})}{(n + 1) 2^{(n + 1) / 2}} x^{n + 1}

avec $R = \sqrt{2}$ .

Exercice 4 78 CCINP (MP)Correction

Soient $x \in ℝ$ et $θ \in] 0; π / 2 [$ .

(a)

Calculer la partie imaginaire du complexe

$\frac{\sin (θ) e^{i θ}}{1 - x \sin (θ) e^{i θ}} .$
(b)

En déduire le développement en série entière de

$f (x) = \arctan (x - \frac{1}{\tan (θ)}) .$

Solution

(a)

Pour $x \in ℝ$ , on peut affirmer $x \sin (θ) e^{i θ} \neq 1$ et par multiplication par la quantité conjuguée

$\frac{\sin (θ) e^{i θ}}{1 - x \sin (θ) e^{i θ}} = \frac{\sin (θ) e^{i θ} (1 - x \sin (θ) e^{- i θ})}{{| 1 - x \sin (θ) e^{i θ} |}^{2}} .$

On en déduit

$Im (\frac{\sin (θ) e^{i θ}}{1 - x \sin (θ) e^{i θ}}) = \frac{\sin^{2} (θ)}{1 - 2 x \sin (θ) \cos (θ) + x^{2} \sin^{2} (θ)} .$
(b)

La fonction $f$ est définie et de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ et, après calculs

$f^{'} (x) = \frac{\sin^{2} (θ)}{1 - 2 x \sin (θ) \cos (θ) + x^{2} \sin^{2} (θ)} .$

Pour $| x \sin (θ) | < 1$ , on a

$\frac{\sin (θ) e^{i θ}}{1 - x \sin (θ) e^{i θ}} = \sin (θ) e^{i θ} \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(x \sin (θ) e^{i θ})}^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(\sin (θ))}^{n + 1} e^{i (n + 1) θ} x^{n} .$

On en déduit

$f^{'} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(\sin (θ))}^{n + 1} \sin ((n + 1) θ) x^{n}$

puis, par intégration de développement en série entière,

$f (x) = f (0) + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(\sin (θ))}^{n} \sin (n θ)}{n} x^{n}$

avec

$f (0) = - \arctan (\frac{1}{\tan (θ)}) = \arctan (\tan (θ - π / 2)) = θ - π / 2$

car $θ - π / 2 \in] - π / 2; π / 2 [$ .

Exercice 5 991

Pour $α \in] 0; π [$ , former le développement en série entière en 0 de la fonction

f : x \mapsto \arctan (\frac{1 + x}{1 - x} \tan (\frac{α}{2})) .

Exercice 6 2848 MINES (MP)Correction

Pour $x \in] - 1; 1 [$ et $α \in ℝ$ , établir

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n} \sin (n α) = \arctan (\frac{x \sin (α)}{1 - x \cos (α)}) .

Solution

Pour $| x | < 1$ , on a

\frac{d}{d x} (\arctan (\frac{x \sin (α)}{1 - x \cos (α)})) = \frac{\sin (α)}{1 - 2 x \cos (α) + x^{2}} .

Par décomposition en éléments simples

\frac{\sin (α)}{1 - 2 x \cos (α) + x^{2}} = \frac{1}{2 i} (\frac{1}{e^{- i α} - x} - \frac{1}{e^{i α} - x}) .

On reconnaît une écriture en $(Z - \bar{Z}) / 2 i$ , c’est donc une partie imaginaire

\frac{\sin (α)}{1 - 2 x \cos (α) + x^{2}} = Im (\frac{1}{e^{- i α} - x}) = Im (\frac{e^{i α}}{1 - x e^{i α}}) .

Par sommation géométrique

\frac{e^{i α}}{1 - x e^{i α}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{i (n + 1) α} x^{n}

et donc

\frac{d}{d x} (\arctan (\frac{x \sin (α)}{1 - x \cos (α)})) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sin ((n + 1) α) x^{n} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \sin (n α) x^{n - 1} .

Par intégration de série entière, on obtient alors la relation proposée.

Exercice 7 2857 MINES (MP)Correction

Développer en série entière

x \mapsto \int_{- \infty}^{x} \frac{d t}{1 + t + t^{2}} .

Solution

Posons

f (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{d t}{1 + t + t^{2}} .

On vérifie aisément la convergence de cette intégrale et la fonction $f$ est définie et dérivable sur $ℝ$ avec

f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x + x^{2}} .

Pour $| x | < 1$ ,

f^{'} (x) = \frac{1 - x}{1 - x^{3}} = (1 - x) \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{3 n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}

avec

a_{3 n} = 1, a_{3 n + 1} = - 1 et a_{3 n + 2} = 0 .

En intégrant,

f (x) = f (0) + \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{a_{n}}{n + 1} x^{n + 1}

avec

f (0) = \int_{- \infty}^{0} \frac{d t}{1 + t + t^{2}} .

Pour calculer cette intégrale, on écrit

\int_{- \infty}^{0} \frac{d t}{1 + t + t^{2}} = \int_{- \infty}^{0} \frac{d t}{{(t + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}} = \frac{2}{\sqrt{3}} {[\arctan (\frac{2 t + 1}{\sqrt{3}})]}_{- \infty}^{0} .

Après calculs

f (0) = \frac{4 π}{3 \sqrt{3}} .

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Édité le 29-08-2023

Calcul de développement par dérivation intégration