Exercice 1 3358 Correction

Montrer que la fonction

f : x \mapsto \sqrt{x^{2} + x + 1}

admet un développement en série entière de rayon de convergence $R \geq 1$ .

Solution

On a

(1 - x) (1 + x + x^{2}) = 1 - x^{3}

donc pour $x \in] - 1; 1 [$ ,

f (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{3}}}{\sqrt{1 - x}} = {(1 - x^{3})}^{1 / 2} {(1 - x)}^{- 1 / 2}

est développable en série entière sur $] - 1; 1 [$ par produit de fonctions qui le sont.

Exercice 2 3003 SAINT CYR (MP)Correction

Pour $P \in ℂ [X]$ et $x \in] - 1; 1 [$ , on pose

S_{P} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (n) x^{n}

(a)

Montrer que l’application

$Φ : {\begin{matrix} ℂ [X] & \to & 𝒞^{\infty} (] - 1; 1 [, ℂ) \\ P & \mapsto & S_{p} \end{matrix}$

est correctement définie et que c’est une application linéaire.
(b)

Montrer que $Φ$ est injective.
(c)

L’application $Φ$ est-elle surjective?

Solution

(a)

On vérifie que la série entière définissant $S_{P}$ est de rayon de convergence $R \geq 1$ (plus précisément $R = 1$ sauf si $P = 0$ auquel cas $R = + \infty$ ). La fonction $S_{P}$ est donc définie et de classe $𝒞^{\infty}$ sur $] - 1; 1 [$ . Cela assure que l’application $Φ$ est correctement définie.

Soient $λ, μ \in ℂ$ et $P, Q \in ℂ [X]$ . Pour tout $x \in] - 1; 1 [$ ,

$S_{λ P + μ Q} (x)$ $= \sum_{n = 0}^{+ \infty} (λ P + μ Q) (n) x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (λ P (n) + μ Q (n)) x^{n}$

$= λ \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (n) x^{n} + μ \sum_{n = 0}^{+ \infty} Q (n) x^{n} = (λ S_{P} + μ S_{Q}) (x)$

Ainsi, $S_{λ P + μ Q} = λ S_{P} + μ S_{Q}$ . L’application $Φ$ est linéaire.
(b)

Soit $P \in Ker (Φ)$ . Pour tout $x \in] - 1; 1 [$ ,

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} P (n) x^{n} = 0$

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, il vient

$\forall n \in ℕ, P (n) = 0$

On en déduit que le polynôme $P$ possède une infinité de racines, c’est donc le polynôme nul.

Ainsi, $Ker (Φ) = {0}$ , l’application linéaire $Φ$ est injective.
(c)

La fonction $f : x \mapsto \ln (1 + x)$ est élément de $𝒞^{\infty} (ℝ, ℂ)$ mais n’est pas élément de l’image de $Φ$ . En effet, les coefficients du développement en série entière de $f$ tendent vers $0$ sans être constant égal à $0$ . Il n’est pas possible de déterminer un polynôme $P$ tel que les valeurs $P (n)$ aient cette propriété.

Exercice 3 2506 CCINP (MP)Correction

Soit $a \in] - 1; 1 [$ . On pose

f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sin (a^{n} x) .

(a)

Montrer que $f$ est définie sur $ℝ$ .
(b)

Montrer que $f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ et que pour tout $k \in ℕ^{*}$ et tout $x \in ℝ$ ,

$| f^{(k)} (x) | \leq \frac{1}{1 - | a |} .$
(c)

En déduire que $f$ est développable en série entière.

Solution

(a)

Soit $x \in ℝ$ . Pour tout $n \in ℕ$ , $| \sin (a^{n} x) | \leq | x | | a^{n} |$ , il y a donc convergence absolue de la série définissant $f (x)$ .
(b)

$f_{n} : x \mapsto \sin (a^{n} x)$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ et ${∥ f_{n}^{(k)} ∥}_{\infty} \leq {| a |}^{n k}$ est terme général d’une série absolument convergente. La fonction $f$ est donc de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ et

${∥ f^{(k)} ∥}_{\infty} \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} {| a |}^{n k} = \frac{1}{1 - {| a |}^{k}} \leq \frac{1}{1 - | a |} .$
(c)

Par la formule de Taylor avec reste intégral,

$f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} + \int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{n}}{n!} f^{(n + 1)} (t) d t$

avec

$| \int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{n}}{n!} f^{(n + 1)} (t) d t | \leq \frac{1}{1 - | a |} \cdot \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Ainsi, la série de Taylor de $f$ converge sur $ℝ$ vers $f$ et donc $f$ est développable en série entière sur $ℝ$ .

Exercice 4 992

Soit $f : [- 1; 1] \to ℂ$ une fonction de classe $𝒞^{\infty}$ telle qu’il existe $K > 0$ et $M \in ℝ_{+}$ vérifiant

| f^{(n)} (x) | \leq M K^{n} n! pour tout n \in ℕ et tout x \in [- 1; 1] .

Montrer que la fonction $f$ est développable en série entière en $0$ .

Exercice 5 2859 MINES (MP)Correction

(a)

Soit $t \in ℝ$ . Montrer

$| e^{i t} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(i t)}^{k}}{k!} | \leq \frac{{| t |}^{n + 1}}{(n + 1)!} .$
(b)

Soit $f \in 𝒞^{0} (ℝ, ℝ)$ telle que ${(\int_{- \infty}^{+ \infty} | t^{n} | | f (t) | d t)}_{n \geq 0}$ soit bornée. Montrer que

$F : x \mapsto \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i t x} f (t)$

est développable en série entière en 0.

Solution

(a)

On applique l’inégalité de Taylor-Lagrange à la fonction $t \mapsto e^{i t}$ qui est de classe $𝒞^{n + 1}$ sur $ℝ$ .
(b)

La convergence de l’intégrale définissant $F$ provient de la convergence supposée de $\int_{- \infty}^{+ \infty} | f (t) | d t$ .
On a

$F (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(i t x)}^{k}}{k!} f (t) d t + \int_{- \infty}^{+ \infty} (e^{i t x} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(i t x)}^{k}}{k!}) f (t) d t$

avec

$\int_{- \infty}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(i t x)}^{k}}{k!} f (t) d t = \sum_{k = 0}^{n} (\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{{(i t)}^{k} f (t)}{k!} d t) x^{k}$

et

$| \int_{- \infty}^{+ \infty} (e^{i t x} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(i t x)}^{k}}{k!}) f (t) d t | \leq \frac{1}{(n + 1)!} \int_{- \infty}^{+ \infty} {| t |}^{n + 1} | f (t) | d t \to_{n \to + \infty}^{} 0$

compte tenu des hypothèses.

On peut alors affirmer

$F (x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{{(i t)}^{k}}{k!} f (t) d t) x^{k}$

avec convergence sur $ℝ$ de la série entière considérée.

Exercice 6 4738

(Une fonction plate en $0$ )

Soit $f : ℝ^{*} \to ℝ$ définie par $f (x) = e^{- 1 / x^{2}}$ .

(a)

Justifier que l’on peut prolonger $f$ par continuité en $0$ .

On note encore $f$ le prolongement obtenu. Cette fonction est évidemment de classe $𝒞^{\infty}$ sur chacun des intervalles $] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$ .

(b)

Observer que pour tout entier naturel $n$ , il existe un polynôme réel $P_{n}$ , tel que

$f^{(n)} (x) = P_{n} (\frac{1}{x}) e^{- 1 / x^{2}} pour tout x \in ℝ^{*} .$
(c)

Montrer que $f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ avec $f^{(n)} (0) = 0$ pour tout $n \in ℕ$ .
(d)

Établir que $f$ n’est pas développable en série entière¹¹ 1 La fonction $f$ est un exemple de fonction de classe $𝒞^{\infty}$ non développable en série entière. en $0$ .

Exercice 7 3687 Correction

Pour $x \in ℝ$ , on pose

f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{\cos (2^{n} x)}{n!} .

(a)

Montrer que la fonction $f$ est définie et de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ .
(b)

Observer que le rayon de convergence de sa série de Taylor en $0$ est nul.
(c)

La fonction $f$ est-elle développable en série entière sur un voisinage de $0$ ?

Solution

(a)

Posons

$u_{n} : x \in ℝ \mapsto \frac{\cos (2^{n} x)}{n!} .$

Les fonctions $u_{n}$ sont de classe $𝒞^{\infty}$ et pour tout $k \in ℕ$

$| u_{n}^{(k)} (x) | \leq \frac{2^{n k}}{n!} .$

Puisque le majorant est le terme général de la série exponentielle en $2^{k}$ , il est sommable et il y a donc convergence normale de la série de fonctions $\sum u_{n}^{(k)}$ .
On en déduit que la fonction $f$ est définie et de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ .
(b)

Par l’étude qui précède

$f^{(k)} (0) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}^{(k)} (0) .$

Si $k$ est impair, $u_{n}^{(k)} (x)$ s’exprime en fonction de $\sin (2^{n} x)$ et donc $u_{n}^{(k)} (0) = 0$ puis $f^{(k)} (0) = 0$ .
Si $k$ est pair, on peut écrire $k = 2 p$ et alors

$u_{n}^{(2 p)} (x) = {(- 1)}^{p} 2^{2 n p} \frac{\cos (2^{n} x)}{n!}$

puis

$f^{(2 p)} (0) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{p} \frac{2^{2 n p}}{n!} = {(- 1)}^{p} e^{2^{2 p}} .$

La série de Taylor de $f$ en 0 est alors

$\sum {(- 1)}^{p} \frac{e^{2^{2 p}}}{(2 p)!} x^{2 p} .$

Pour $x \neq 0$ , posons

$u_{p} (x) = {(- 1)}^{p} \frac{e^{2^{2 p}}}{(2 p)!} x^{2 p} \neq 0 .$

On a

$| \frac{u_{p + 1} (x)}{u_{p} (x)} | = \frac{e^{{3.2}^{2 p}} x^{2}}{(2 p + 1) (2 p + 2)} \to_{p \to + \infty}^{} + \infty .$

Le rayon de convergence de la série de Taylor étudiée est donc nul.
(c)

Par l’absurde, si $f$ est développable en série entière sur $] - r; r [$ (avec $r > 0$ ) alors $f$ est égale à la somme de sa série de Taylor sur $] - r; r [$ ce qui entraîne que le rayon de convergence de celle-ci est au moins égal à $r$ . C’est absurde.

La fonction $f$ .

Exercice 8 3303 CENTRALE (MP)Correction

Soit $f :] - R; R [\to ℝ$ (avec $R > 0$ ) de classe $𝒞^{\infty}$ vérifiant

\forall n \in ℕ, \forall x \in [0; R [, f^{(n)} (x) \geq 0 .

Montrer la convergence de la série

\sum \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n}

pour tout $x \in] - R; R [$ .

Solution

Pour $x \in [0; R [$ , la série $\sum \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n}$ est une série à termes positifs. Par la formule de Taylor reste intégrale,

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} + \int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{n}}{n!} f^{(n + 1)} (t) d t .

Puisque le reste intégrale est positif,

\sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} \leq f (x) .

Puisque ses sommes partielles sont majorées, la série à termes positifs $\sum \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n}$ est convergente.

Pour $x \in] - R; 0]$ ,

| \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} | = \frac{f^{(n)} (0)}{n!} {| x |}^{n}

et la série $\sum \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n}$ est absolument convergente donc convergente.

Exercice 9 2851 MINES (MP)

(Fonctions absolument monotones)

Soient $a > 0$ et $f :] - a; a [\to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{\infty}$ vérifiant

f^{(n)} (x) \geq 0 pour tout x \in] - a; a [et tout n \in ℕ .

(a)

Soient $x \in] - a; a [$ et un réel $r$ vérifiant $| x | < r < a$ . Montrer

$| f (x) - \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} | \leq {| \frac{x}{r} |}^{n + 1} f (r) .$
(b)

En déduire que $f$ est développable en série entière sur $] - a; a [$ .
(c)

Application : Montrer que la fonction tangente est développable en série entière sur $] - π / 2; π / 2 [$ .

Exercice 10 4739

Établir que la fonction

x \mapsto \frac{1}{1 - sh (x)}

est développable en série entière en $0$ .

Exercice 11 5759 Correction

Soit $\sum_{n \geq 0} a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R_{a} > 0$ et telle que $a_{0} = 1$ .

On souhaite établir l’existence et l’unicité d’une série entière $\sum_{n \geq 0} b_{n} x^{n}$ de rayon de convergence $R_{b} > 0$ telle que pour tout $x$ appartenant aux domaines de convergence des deux séries:

(\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}) (\sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} x^{n}) = 1 .

(a)

Montrer que si $\sum_{n \geq 0} b_{n} x^{n}$ est solution, alors la suite ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ satisfait aux relations suivantes :

$b_{0} = 1 et \forall n \in ℕ^{*}, \sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} b_{k} = 0 .$
(b)

Justifier que ces relations déterminent la suite ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ de façon unique.

Soit $r$ un réel tel que $0 < r < R_{a}$ .

(c)

Montrer qu’il existe un réel $M \geq 1$ tel que pour tout $n \in ℕ$ : $| a_{n} | \leq \frac{M}{r^{n}}$ .
(d)

Établir que la suite ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ déterminée par $(*)$ vérifie

$\forall n \in ℕ, | b_{n} | \leq \frac{M {(M + 1)}^{n}}{r^{n}} .$
(e)

En déduire que le rayon de convergence $R_{b}$ de la série entière $\sum_{n \geq 0} b_{n} x^{n}$ est strictement positif.

Solution

(a)

Soit $x \in ℝ$ avec $| x | < \min (R_{a}, R_{b})$ .

Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes,

$(\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}) (\sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (\sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} b_{k}) x^{n} .$

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, l’égalité à $1$ entraîne

$a_{0} b_{0} = 1 et \forall n \in ℕ^{*}, \sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} b_{k} = 0 .$

Sachant $a_{0} = 1$ , cela correspond aux conditions énoncées.
(b)

Ces conditions déterminent entièrement ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ puisque

$b_{0} = 1 et \forall n \in ℕ^{*}, b_{n} = - \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} b_{n - k} = - (a_{1} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{0})$

ce qui permet de calculer successivement les termes de la suite.
(c)

La série $\sum a_{n} r^{n}$ converge absolument. En particulier, la suite ${(a_{n} r^{n})}_{n \in ℕ}$ est bornée: cela assure l’existence de $M \in ℝ_{+}$ tel que voulu. Puisque $a_{0} = 1$ , on a nécessairement $M \geq 1$ .
(d)

On raisonne par récurrence forte sur $n \in ℕ$ .

Pour $n = 0$ , $b_{0} = 1$ et donc $| b_{0} | \leq M$ .

Supposons la propriété établie jusqu’au rang $n - 1 \in ℕ$

Au rang $n$ ,

$| b_{n} | = | - \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{n - k} b_{k} | \leq \sum_{k = 0}^{n - 1} | a_{n - k} | | b_{k} | \leq M \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{| b_{k} |}{r^{n - k}} .$

On poursuit par l’hypothèse de récurrence forte

$| b_{n} | \leq M \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{M {(M + 1)}^{k}}{r^{n - k} \cdot r^{k}} = \frac{M}{r^{n}} \sum_{k = 0}^{n - 1} M {(M + 1)}^{k} .$

Par sommation géométrique de raison $M + 1 \neq 1$ ,

$\sum_{k = 0}^{n - 1} M {(M + 1)}^{k} = M \frac{{(M + 1)}^{n} - 1}{(M + 1) - 1} = {(M + 1)}^{n} - 1 \leq {(M + 1)}^{n}$

et donc

$| b_{n} | \leq \frac{M {(M + 1)}^{n}}{r^{n}} .$

La récurrence est établie
(e)

Pour $ρ = r / (M + 1) > 0$ , la suite ${(b_{n} ρ^{n})}_{n \in ℕ}$ est bornée donc $R_{b} \geq ρ > 0$ .

Exercice 12 2975 X (MP)Correction

Étant donné une suite complexe ${(a_{n})}_{n \in ℕ^{*}}$ de carré sommable, on pose

f (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n - t}

où la variable $t$ est réelle.

(a)

Préciser le domaine de définition de $f$ .
(b)

Montrer que $f$ est développable en série entière autour de 0.
(c)

Montrer que si $f$ est identiquement nulle sur un voisinage de $0$ alors la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ^{*}}$ est identiquement nulle.

Solution

(a)

Pour $t \in ℝ ∖ ℕ^{*}$ ,

$| \frac{a_{n}}{n - t} | \leq \frac{1}{2} (a_{n}^{2} + \frac{1}{{(n - t)}^{2}})$

donc $\sum \frac{a_{n}}{n - t}$ est absolument convergente. La fonction $f$ est définie sur $ℝ ∖ ℕ^{*}$ .
(b)

Pour $| t | < 1$ ,

$f (t) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{a_{n}}{n} \cdot \frac{1}{1 - t / n}) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \sum_{m = 0}^{+ \infty} \frac{a_{n} t^{m}}{n^{m + 1}} .$

Puisque la série $\sum_{m \geq 0} \frac{| a_{n} t^{m} |}{n^{m + 1}}$ converge pour tout $n \geq 1$ et puisque

$\sum_{n \geq 1} \sum_{m = 0}^{+ \infty} \frac{| a_{n} t^{m} |}{n^{m + 1}} = \sum_{n \geq 1} \frac{| a_{n} |}{n - | t |}$

converge, on peut appliquer le théorème de Fubini pour intervertir les deux sommes.

$f (t) = \sum_{m = 0}^{+ \infty} (\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{a_{n}}{n^{m + 1}}) t^{m} .$

La fonction $f$ apparaît alors comme développable en série entière sur $] - 1; 1 [$ .
(c)

Si $f (t) = 0$ sur un voisinage de $0$ alors le développement en série entière de $f$ sur $] - 1; 1 [$ est nul et l’on en déduit que $f$ est nulle sur l’intégralité de $] - 1; 1 [$ . Or

$f (t) = \frac{a_{1}}{1 - t} + \sum_{n = 2}^{+ \infty} \frac{a_{n}}{n - t}$

avec $t \mapsto \sum_{n = 2}^{+ \infty} \frac{a_{n}}{n - t}$ définie et continue au voisinage de 1. On en déduit que $a_{1} = 0$ .
On peut alors reprendre l’étude de la question précédente et, sachant $a_{1} = 0$ , on peut affirmer que $f$ est développable en série entière sur $] - 2; 2 [$ . Or ce dernier développement étant nul, on obtient comme ci-dessus $a_{2} = 0$ etc.

Au final, la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ^{*}}$ est nulle.

Exercice 13 4740

Soit $f$ une fonction à valeurs dans $ℂ$ définie et continue sur le disque fermé

D = {z \in ℂ | | z | \leq 1} .

On suppose que la restriction de $f$ au départ du disque ouvert

D^{\circ} = {z \in ℂ | | z | < 1}

est la somme d’une série entière $\sum a_{n} z^{n}$ . Montrer qu’il existe une suite $(P_{n})$ de polynômes convergeant uniformément vers $f$ sur le disque fermé $D$ .

[<] Étude asymptotique aux extrémités de l'intervalle de convergence [>] Calcul de développement en série entières

Édité le 12-05-2025

	$S_{λ P + μ Q} (x)$	$= \sum_{n = 0}^{+ \infty} (λ P + μ Q) (n) x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (λ P (n) + μ Q (n)) x^{n}$
		$= λ \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (n) x^{n} + μ \sum_{n = 0}^{+ \infty} Q (n) x^{n} = (λ S_{P} + μ S_{Q}) (x)$

Fonctions développables en série entière