[<] Intervalle de convergence [>] Étude de la somme d'une série entière abstraite

 
Exercice 1  5079  

Pour x réel, on pose

f(x)=n=1+(1n-sin(1n))xn.
  • (a)

    Préciser le domaine de définition de f.

  • (b)

    La fonction f est-elle continue sur son domaine de définition?

 
Exercice 2  5080  

Pour x réel, on pose

f(x)=n=0+(-1)n3n+1xn.
  • (a)

    Préciser l’intervalle de définition de f.

  • (b)

    Établir la continuité de f sur son domaine de définition.

  • (c)

    Déterminer la limite de f en -1.

  • (d)

    Étudier la dérivabilité de f et former une équation différentielle vérifiée par f.

 
Exercice 3  4729  

Pour x réel, on pose

f(x)=n=1+xnn.
  • (a)

    Déterminer le rayon de convergence R de la série entière définissant f.

  • (b)

    Préciser l’intervalle de définition de f.

  • (c)

    Établir la continuité de f sur son domaine de définition.

  • (d)

    Déterminer la limite de f en 1.

 
Exercice 4  3890      CENTRALE (MP)Correction  
  • (a)

    Donner l’intervalle de définition I de la fonction s qui au réel x associe

    s(x)=n=1+xnn.
  • (b)

    Quel est le signe de s sur I+?
    Quelle est la limite de s en l’extrémité droite de I+?

  • (c)

    Écrire (1-x)s(x) sous forme d’une série et en déduire le signe de s sur I.

  • (d)

    Étudier la convexité de f définie sur + par

    f(x)=(x+1-x)x.

    En déduire que la fonction s est convexe.

Solution

  • (a)

    s est la somme d’une série entière de rayon de convergence R=1.
    La série diverge en x=1 (par série de Riemann avec 1/21) et converge en x=-1 par application du critère spécial des séries alternées. On conclut I=[-1;1[.

  • (b)

    Puisque s est la somme d’une série entière, on peut dériver terme à terme sur ]-1;1[ et

    s(x)=n=1+nxn-1=n=0+n+1xn.

    Sur I+, cette somme est positive. La fonction s est donc croissante sur [0;1[.
    Si celle-ci était majorée par un réel M, nous aurions pour tout N*

    x[0;1[,n=1Nxnnn=1+xnnM.

    En passant à la limite quand x1-, on obtient

    n=1N1nM.

    Ceci est absurde car la série à termes positifs 1/n diverge et ne peut donc avoir ses sommes partielles majorées. La fonction s est donc croissante et non majorée, elle diverge donc vers + en 1-.

  • (c)

    Pour x]-1;1[

    (1-x)s(x)=n=0+n+1xn-xn=1+nxn-1=n=0+(n+1-n)xn.

    Pour x0, on peut écrire x=-t avec t0 et alors

    (1-x)s(x)=n=0+(-1)nantn

    avec an=n+1-n0. On vérifie que la suite (an) est décroissante de limite nulle et donc le critère spécial s’applique à la série alternée (-1)nantn. Sa somme est donc du signe de son premier terme ce qui fournit (1-x)s(x)0. On en déduit

    x]-1;0],s(x)0.
  • (d)

    Après étude (un peu lourde) du signe de f′′(x), on peut affirmer que f est concave et croissante.
    Pour x[0;1[, on a clairement s′′(x)0. Pour x]-1;0], considérons

    ((1-x)s(x))=n=1+f(n)xn-1=n=0+f(n+1)xn

    puis

    (1-x)((1-x)s(x))=n=0+(f(n+1)-f(n))xn.

    Posons bn=f(n+1)-f(n)0.
    On vérifie bn0 et bn+1bn car la concavité de f fournit

    bn+bn+22bn+1.

    Le critère spécial de série alternée s’applique à nouveau, la somme est du signe de son premier terme et cela fournit

    (1-x)((1-x)s(x))0

    puis s′′(x)0 car on sait s(x)0.

    Finalement, s est convexe.

    Figure 1: Allure de la fonction s
 
Exercice 5  5074  Correction  

Pour x réel, on pose

f(x)=n=1+(-1)nnxn.
  • (a)

    Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant f.

  • (b)

    Préciser l’intervalle de définition de f.

  • (c)

    Établir la continuité de f sur son domaine de définition.

  • (d)

    Déterminer la limite de f en -1.

Solution

  • (a)

    Pour x0, posons un=(-1)nnxn0. On a

    |un+1un|=nn+1|x|n+|x|.

    Si |x|<1, la série numérique un converge absolument. Si |x|>1, elle diverge grossièrement. On en déduit que le rayon de convergence de la série entière vaut 1.

  • (b)

    La fonction f est définie sur un intervalle contenant ]-1;1[ et inclus dans [-1;1]. En x=-1, la série définissant f(x) diverge car il s’agit d’une série de Riemann d’exposant α=1/21. En x=1, la série définissant f(x) converge en vertu du critère spécial:

    (-1)nn=(-1)n|(-1)nn|et|(-1)nn|=1n décroît vers 0.

    On conclut que l’intervalle de définition de f est ]-1;1].

  • (c)

    On peut affirmer la continuité de f sur l’intervalle ouvert ]-1;1[. Reste à étudier la continuité en 1.

    Méthode: Il ne figure pas dans le cours de théorème assurant la continuité d’une fonction somme de série entière aux points correspondant au rayon de convergence, et ce même si celle-ci converge en ce point! Pour obtenir la continuité, on revient à la théorie des séries de fonctions et l’on raisonne par convergence uniforme.

    Posons un(x)=(-1)nnxn pour x[0;1]. La série un(x) converge par le critère spécial des séries alternées. En effet, la suite (un(x)) est alternée car on a pris garde de choisir x positif ce qui permet d’écrire

    un(x)=(-1)nnxn=(-1)n|un(x)|.

    Au surplus,

    |un(x)|=1nxndécroît vers 0

    car on y voit le produit d’une suite décroissante de limite nulle par la suite (xn) qui décroît vers 0 ou bien est constante égale à 1.

    Par application du critère spécial, on peut borner le reste Rn(x) de la série par la valeur absolue du premier terme qui l’exprime. Pour tout réel x[0;1],

    |Rn(x)|=|k=n+1+uk(x)||un+1(x)|=xn+1n+11n+1.

    Puisque le majorant est uniforme (il ne dépend pas de x) et est de limite nulle, on peut affirmer la convergence uniforme de la série de fonctions un sur [0;1]. Les fonctions sommées étant toutes continues, on conclut que la fonction somme f est continue sur [0;1], puis, finalement, sur ]-1;1].

  • (d)

    Méthode: Pour obtenir la limite d’une série entière en un point où celle-ci n’est pas définie, il est fréquent de comparer à une série entière de somme connue.

    Pour tout n1, on a nn et donc, pour tout x]-1;0],

    1n1n puis (-1)nnxn(-1)nnxn car (-1)nxn0.

    En sommant, on obtient

    f(x)n=1+(-1)nnxn=-ln(1+x)x-1++.

    Par théorème de limite infinie par minoration, la fonction f tend vers + en -1.

 
Exercice 6  3201     CENTRALE (PC)Correction  

Soit

f:xn=1+sin(1n)xn.
  • (a)

    Déterminer le rayon de convergence R de la série entière définissant f.

  • (b)

    Étudier la convergence en -R et en R.

  • (c)

    Déterminer la limite de f(x) quand x1-.

  • (d)

    Montrer que quand x1-

    (1-x)f(x)0.

Solution

  • (a)

    Posons

    an=sin(1n).

    Puisque an+1/an1, on peut affirmer R=1.

  • (b)

    La suite (an) décroît vers 0 donc par le critère spécial des séries alternée, la série entière converge en x=-1.
    Puisque an1/n, par équivalence de séries à termes positifs, la série entière diverge en x=1.

  • (c)

    Par positivité des termes sommés, on a pour x[0;1],

    f(x)n=1Nsin(1n)xn.

    Or

    n=1Nsin(1n)xnx1-n=1Nsin(1n).

    Puisque

    n=1Nsin(1n)N++.

    Pour tout M, il existe un rang N tel que

    n=1Nsin(1n)M+1

    et pour x au voisinage de 1-

    n=1Nsin(1n)xnM

    puis

    f(x)M.

    On peut donc affirmer que

    f(x)x1-+.
  • (d)

    On a

    (1-x)f(x)=n=1+sin(1n)xn-n=1+sin(1n)xn+1

    et par décalage d’indice

    (1-x)f(x)=sin(1)x+n=2+(sin(1n)-sin(1n-1))xn.

    Puisque

    sin(1n)-sin(1n-1)=O(1n3/2)

    la série entière en second membre est définie et continue en 1 par convergence normale de la série de fonctions associée. On en déduit

    (1-x)f(x)x1sin(1)+n=2+(sin(1n)-sin(1n-1))=0.

    Il est aussi possible de procéder par les en ε exploitant

    |sin(1n)|ε pour n assez grand

    et

    n=0+xn=11-x.
 
Exercice 7  3307     CCP (MP)Correction  

Soit (fn) la suite des fonctions donnée par

n2,x,fn(x)=(-1)nln(n)xn.
  • (a)

    Déterminer le rayon de convergence de la série entière fn.
    On note S sa somme.

  • (b)

    Montrer que

    x]-1;1[,S(x)=11+x(n=1+(-1)n+1ln(1+1n)xn+1).
  • (c)

    En déduire que S admet une limite en 1- et que

    limx1-S(x)=12(n=1+(-1)n+1ln(1+1n)).
  • (d)

    Calculer la limite ci-dessus en utilisant la formule de Wallis

    limn+1×3××(2n-1)2×4××(2n)n=1π.

Solution

  • (a)

    R=1.

  • (b)

    Pour x]-1;1[, on a

    (1+x)S(x)=n=2+(-1)nln(n)xn+n=2+(-1)nln(n)xn+1.

    Après décalage d’indice et réunion des deux sommes

    (1+x)S(x)=n=1+(-1)n+1(ln(n+1)-ln(n))xn+1

    ce qui conduit à la relation demandée.

  • (c)

    Posons

    gn(x)=(-1)n+1ln(1+1n)xn+1

    ce qui définit gn:[0;1] continue.
    À l’aide du critère spécial des séries alternées, on montre que la série de fonctions gn converge uniformément sur [0;1] ce qui assure que sa somme est continue. On en déduit par opérations sur les limites

    limx1-S(x)=12(n=1+(-1)n+1ln(1+1n)).
  • (d)

    En regroupant les termes d’indices impairs et pairs consécutifs

    k=12n(-1)k+1ln(1+1k)=k=1nln(1+12k-1)-ln(1+12k)

    et donc

    k=12n(-1)k+1ln(1+1k)=ln(k=1n2k2k-12k2k+1)=ln(12n+1(k=1n2k2k-1)2).

    Enfin par la formule du Wallis, on obtient

    limx1-S(x)=12ln(π2).

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Édité le 08-11-2019

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