$s$ est la somme d’une série entière de rayon de convergence $R=1$.
La série diverge en $x=1$ (par série de Riemann avec $1/2\le 1$) et converge en $x=-1$ par application du critère spécial des séries alternées. On conclut $I=[-1;1[$.

Puisque $s$ est la somme d’une série entière, on peut dériver terme à terme sur $]-1;1[$ et

$$s^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sqrt{n}{x}^{n-1}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\sqrt{n+1}{x}^n\text{.}$$

Sur $I\cap {ℝ}_{+}$, cette somme est positive. La fonction $s$ est donc croissante sur $[0;1[$.
Si celle-ci était majorée par un réel $M$, nous aurions pour tout $N\in {\mathbb{N}}^{*}$

$$\forall x\in [0;1[,\sum _{n=1}^N\frac{x^n}{\sqrt{n}}\le \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{\sqrt{n}}\le M\text{.}$$

En passant à la limite quand $x\to 1^{-}$, on obtient

$$\sum _{n=1}^N\frac{1}{\sqrt{n}}\le M\text{.}$$

Ceci est absurde car la série à termes positifs $\sum 1/\sqrt{n}$ diverge et ne peut donc avoir ses sommes partielles majorées. La fonction $s$ est donc croissante et non majorée, elle diverge donc vers $+\mathrm{\infty }$ en $1^{-}$.

Pour $x\in ]-1;1[$

$$(1-x)s^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\sqrt{n+1}{x}^n-x\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sqrt{n}{x}^{n-1}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)x^n\text{.}$$

Pour $x\le 0$, on peut écrire $x=-t$ avec $t\ge 0$ et alors

$$(1-x)s^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^n{a}_n{t}^n$$

avec $a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\ge 0$. On vérifie que la suite $(a_n)$ est décroissante de limite nulle et donc le critère spécial s’applique à la série alternée $\sum {(-1)}^n{a}_n{t}^n$. Sa somme est donc du signe de son premier terme ce qui fournit $(1-x)s^{\prime }(x)\ge 0$. On en déduit

$$\forall x\in ]-1;0],s^{\prime }(x)\ge 0\text{.}$$

Posons

$$a_n=\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\text{.}$$

Puisque $a_{n+1}/a_n\to 1$, on peut affirmer $R=1$.

La suite $(a_n)$ décroît vers 0 donc par le critère spécial des séries alternée, la série entière converge en $x=-1$.
Puisque $a_n\sim 1/\sqrt{n}$, par équivalence de séries à termes positifs, la série entière diverge en $x=1$.

Par positivité des termes sommés, on a pour $x\in [0;1]$,

$$f(x)\ge \sum _{n=1}^N\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)x^n\text{.}$$

Or

$$\sum _{n=1}^N\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)x^n\underset{x\to 1^{-}}{\overset{}{\to }}\sum _{n=1}^N\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\text{.}$$

Puisque

$$\sum _{n=1}^N\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }\text{.}$$

Pour tout $M\in ℝ$, il existe un rang $N$ tel que

$$\sum _{n=1}^N\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\ge M+1$$

et pour $x$ au voisinage de $1^{-}$

$$\sum _{n=1}^N\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)x^n\ge M$$

puis

$$f(x)\ge M\text{.}$$

On peut donc affirmer que

$$f(x)\underset{x\to 1^{-}}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }\text{.}$$

On a

$$(1-x)f(x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)x^n-\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)x^{n+1}$$

et par glissement d’indice

$$(1-x)f(x)=\sin (1)x+\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}\left(\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}\right)\right)x^n\text{.}$$

Puisque

$$\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}\right)=\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$

la série entière en second membre est définie et continue en 1 par convergence normale de la série de fonctions associée. On en déduit à l’aide d’un télescopage

$$(1-x)f(x)\underset{x\to 1}{\overset{}{\to }}\sin (1)+\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}\left(\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}\right)\right)=0\text{.}$$

Il est aussi possible de procéder par les en $\epsilon$ exploitant

$$\left|\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right|\le \epsilon \text{ pour }n\text{ assez grand}$$

et

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{x}^n=\frac{1}{1-x}\text{.}$$

Posons

$$a_n={(-1)}^n\ln (n)$$

Pour $n\ge 2$, $a_n\ne 0$ et

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\ln (n+1)}{\ln (n)}=\frac{\ln (n)+\ln (1+1/n)}{\ln (n)}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1$$

Le rayon de convergence de la série entière vaut $R=1$.

Pour $x\in ]-1;1[$, on a

$$(1+x)S(x)=\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\ln (n)x^n+\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^n\ln (n)x^{n+1}\text{.}$$

Après décalage d’indice et réunion des deux sommes

$$(1+x)S(x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^{n+1}\left(\ln (n+1)-\ln (n)\right)x^{n+1}$$

ce qui conduit à la relation demandée.

La somme d’une série entière est continue là où elle est définie donc

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^{n+1}\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)x^{n+1}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^{n+1}\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\text{.}$$

puis

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}S(x)=\frac{1}{2}\left(\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{(-1)}^{n+1}\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)\text{.}$$

En regroupant les termes d’indices impairs et pairs consécutifs

$$\sum _{k=1}^{2n}{(-1)}^{k+1}\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{1}{2k-1}\right)-\ln \left(1+\frac{1}{2k}\right)$$

et donc

$$\sum _{k=1}^{2n}{(-1)}^{k+1}\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln \left(\prod _{k=1}^n\left(\frac{2k}{2k-1}\cdot \frac{2k}{2k+1}\right)\right)=\ln \left(\frac{1}{2n+1}{\left(\prod _{k=1}^n\frac{2k}{2k-1}\right)}^2\right)\text{.}$$

Enfin par la formule du Wallis, on obtient

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}S(x)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{\pi }{2}\right)\text{.}$$