Exercice 1 997 Correction

Soit

f : x \mapsto \sum_{n = 2}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n (n - 1)} x^{n} .

(a)

Déterminer l’intervalle de convergence de $f$ .
(b)

Exprimer la fonction $f$ à l’aide des fonctions usuelles sur $] - 1; 1 [$
(c)

Calculer $f (1)$ et $f (- 1)$ .

Solution

(a)

Notons $𝒟$ l’intervalle de convergence de cette série entière.
Le rayon de convergence étant $1$ on en déduit: $] - 1; 1 [\subset 𝒟 \subset [- 1; 1]$ .
De plus, $| \frac{{(- 1)}^{n}}{n (n - 1)} | \sim \frac{1}{n^{2}}$ donc $f (1)$ et $f (- 1)$ existe. Ainsi $𝒟 = [- 1; 1]$ .
(b)

Sur $] - 1; 1 [$ , $f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ et

$f^{'} (x) = \sum_{n = 2}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n - 1} x^{n - 1} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} x^{n} = \ln (1 + x) .$

Donc

$\int \ln (1 + x) d x = (1 + x) \ln (1 + x) - x + C .$

Puisque $f (0) = 0$ , on conclut

$f (x) = (1 + x) \ln (1 + x) - x$

sur $] - 1; 1 [$ .
(c)

$\forall x \in [- 1; 1], | \frac{{(- 1)}^{n}}{n (n - 1)} x^{n} | \leq \frac{1}{n (n - 1)} \sim \frac{1}{n^{2}}$

donc la série de fonctions définissant $f$ converge normalement sur $[- 1; 1]$ et par suite $f$ est continue.

$f (1) = lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} ((1 + x) \ln (1 + x) - x) = 2 \ln (2) - 1$

et

$f (- 1) = lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = lim_{x \to - 1^{+}} ((1 + x) \ln (1 + x) - x) = 1 .$

Exercice 2 5309 ENSTIM (MP)Correction

On pose

u_{n} (x) = \frac{{(- 1)}^{n}}{n + 1} x^{n} pour x \in ℝ et n \in ℕ .

(a)

Étudier la convergence simple de la série de fonctions $\sum u_{n}$ .

On note $S$ sa fonction somme.

(b)

Préciser $S (x)$ pour $x$ réel convenable.
(c)

Étudier la convergence normale et la convergence uniforme que la série de fonctions $\sum u_{n}$ .

Solution

(a)

$\sum u_{n}$ est une série entière de rayon de convergence $R = 1$ . Celle-ci converge en $1$ par application du critère spécial et diverge en $- 1$ . La série de fonctions converge simplement sur $] - 1; 1]$ .
(b)

Pour $x \in] - 1; 1]$ ,

$x S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n + 1} x^{n + 1} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n} x^{n} = \ln (1 + x) .$

Pour $x \neq 0$ ,

$S (x) = \frac{\ln (1 + x)}{x}$

et $S (0) = 1$ (ce qui correspond à la valeur du prolongement par continuité).
(c)

Puisqu’il s’agit d’une série entière, il y a convergence normale sur tout segment inclus dans $] - 1; 1 [$ . Par le critère spécial, on peut établir la convergence uniforme sur $[0; 1]$ mais il n’y a pas convergence normale sur ce domaine car

$sup_{x \in [0; 1]} | u_{n} (x) | = \frac{1}{n + 1}$

(il n’y a pas non plus convergence normale sur $[0; 1 [$ ).

Il n’y a pas convergence uniforme (ni a fortiori convergence normale) sur $] - 1; 0]$ . En effet, si par l’absurde cette convergence normale a lieu, on peut employer le théorème de la double limite en $- 1$ et conclure à la convergence absurde de la série

$\sum \frac{1}{n + 1} .$

Exercice 3 996

Calculer le rayon de convergence et déterminer la somme de la série entière

\sum_{n \geq 0} {(- 1)}^{n - 1} \frac{n - 1}{n!} x^{2 n} .

Exercice 4 998 Correction

Rayon de convergence et somme de

\sum_{n \geq 0} \frac{(n + 1) (n - 2)}{n!} x^{n} .

Solution

Clairement $R = + \infty$ .

\sum_{n \geq 0} \frac{(n + 1) (n - 2)}{n!} x^{n} = \sum_{n \geq 0} \frac{n^{2} - n - 2}{n!} x^{n} = \sum_{n \geq 0} \frac{n (n - 1) - 2}{n!} x^{n}

donc

\sum_{n \geq 0} \frac{(n + 1) (n - 2)}{n!} x^{n} = \sum_{n \geq 2} \frac{x^{n}}{(n - 2)!} - 2 \sum_{n \geq 0} \frac{x^{n}}{n!} = (x^{2} - 2) e^{x} .

Exercice 5 3648 Correction

Rayon de convergence et somme de

\sum_{n \geq 0} {(- 1)}^{n + 1} n x^{2 n + 1} .

Solution

Pour $x \neq 0$ ,

| \frac{{(- 1)}^{n + 2} (n + 1)}{{(- 1)}^{n + 1} n} \frac{x^{2 n + 3}}{x^{2 n + 1}} | \to_{n \to + \infty}^{} | x^{2} |

donc $R = 1$ .
Pour $x \in] - 1; 1 [$

f (x) = \frac{1}{1 + x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{n} x^{n}

donc

x f^{'} (x) = - \frac{x}{{(1 + x)}^{2}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{n} n x^{n}

puis

\sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{n + 1} n x^{2 n + 1} = x \times (\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = \frac{x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{2}} .

Exercice 6 999 Correction

Rayon de convergence et somme de

\sum_{n \geq 0} \frac{x^{2 n}}{2 n + 1} .

Solution

Pour $x \neq 0$ , posons

u_{n} = \frac{x^{2 n}}{2 n + 1} \neq 0 .

Puisque

| \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} | \to_{n \to + \infty}^{} {| x |}^{2}

on obtient $R = 1$ .
Sachant

\frac{d}{d x} (\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{2 n} = \frac{1}{1 - x^{2}}

on obtient par intégration de développement en série entière

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 - t^{2}} = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x})

puis, pour $x \neq 0$ ,

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n}}{2 n + 1} = \frac{1}{2 x} \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) .

Pour $x = 0$ , la somme vaut 1.

Exercice 7 1001 Correction

Rayon de convergence et somme de

\sum_{n \geq 0} \frac{x^{2 n}}{4 n^{2} - 1} .

Solution

Clairement $R = 1$ .

Posons

S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n}}{4 n^{2} - 1} .

Par décomposition en éléments simples,

\frac{1}{4 n^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}) .

Sachant

\frac{d}{d x} (\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{2 n} = \frac{1}{1 - x^{2}}

on obtient par intégration de développement en série entière

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 - t^{2}} = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) .

On en déduit

S (x) = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n}}{2 n - 1} - \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n}}{2 n + 1} = - \frac{1}{2} + \frac{x^{2} - 1}{4 x} \ln (\frac{1 + x}{1 - x})

pour $x \neq 0$ (et $S (0) = - 1$ ).

Exercice 8 5305 ENSTIM (MP)Correction

Soit $f$ la fonction réelle d’une variable réelle donnée par

f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{n - 1} \frac{x^{2 n + 1}}{4 n^{2} - 1} .

(a)

Déterminer le domaine de définition de $f$ et étudier sa continuité.
(b)

Étudier la dérivabilité de $f$ .
(c)

Calculer $f (x)$ pour $x$ réel convenable.

Solution

(a)

Pour $| x | \leq 1$ , le terme général de la série est dominé par $1 / n^{2}$ et, pour $| x | > 1$ , il ne tend pas vers $0$ . La fonction $f$ est définie sur $[- 1; 1]$ .

Posons

$u_{n} (x) = {(- 1)}^{n - 1} \frac{x^{2 n + 1}}{4 n^{2} - 1} pour x \in [- 1; 1] .$

Les fonctions $u_{n}$ sont continues sur $[- 1; 1]$ et la série de fonctions $\sum u_{n}$ converge normalement sur $[- 1; 1]$ car

$| u_{n} (x) | \leq \frac{1}{4 n^{2} - 1} pour tout n \geq 1 .$

On en déduit que la fonction $f$ est continue sur $[- 1; 1]$ .
(b)

$f$ est la somme d’une série entière de rayon de convergence $R = 1$ et donc dérivable sur $] - 1; 1 [$ avec

$f^{'} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{n - 1} \frac{x^{2 n}}{2 n - 1} .$

Cette série satisfait le critère spécial des séries alternées et l’on peut proposer la majoration uniforme du reste

$| \sum_{n = N + 1}^{+ \infty} {(- 1)}^{n - 1} \frac{x^{2 n}}{2 n - 1} | \leq \frac{1}{2 N + 1} \to_{N \to + \infty}^{} 0 .$

On peut alors appliquer le théorème de la double limite et affirmer que $f^{'} (x)$ possède une limite finie en $1^{-}$ et $- 1^{+}$ . Par le théorème de la limite de la dérivée, il vient que $f$ est dérivable sur $[- 1; 1]$ .
(c)

Pour $x \in] - 1; 1 [$ , on remarque

$f^{'} (x) = 1 + x \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} = 1 + x \arctan (x) .$

Sachant $f (0) = 0$ ,

$f (x) = \int_{0}^{x} (- 1 - t \arctan (t)) d t = \dots = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (x^{2} + 1) \arctan (x)$

et cette relation est aussi vraie en $\pm 1$ par continuité.

Exercice 9 4733

Déterminer le rayon de convergence et la somme de

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{n} .

Exercice 10 1000 Correction

Rayon de convergence et somme de

\sum_{n \geq 0} \frac{{(- 1)}^{n} x^{n}}{2 n + 1} .

Solution

Posons $a_{n}$ le coefficient de la série entière. Pour $x \neq 0$ ,

| \frac{a_{n + 1} x^{n + 1}}{a_{n} x^{n}} | = \frac{2 n + 3}{2 n + 1} | x | \to_{n \to + \infty}^{} | x |

Par la règle de d’Alembert, on obtient $R = 1$ .

Posons

S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n} x^{n}}{2 n + 1} .

On a

x S (x^{2}) = \arctan (x) .

On en déduit

S (x) = \frac{\arctan (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} pour x > 0 .

Sachant

\frac{d}{d x} (\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{2 n} = \frac{1}{1 - x^{2}}

on obtient par intégration de développement en série entière

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 - t^{2}} = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) .

On en déduit

x S (- x^{2}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x})

donc

S (x) = \frac{1}{2 \sqrt{- x}} \ln (\frac{1 + \sqrt{- x}}{1 - \sqrt{- x}}) si x < 0 .

Enfin, pour $x = 0$ , $S (0) = 1$ .

Exercice 11 2845 MINES (MP)Correction

Rayon de convergence et somme de

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{2 n + 1}}{3 n + 2} .

Solution

Pour $x \neq 0$ , posons $u_{n} = \frac{x^{2 n + 1}}{3 n + 2}$ .

| \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} | \to_{n \to + \infty}^{} x^{2}

donc $R = 1$ .

La fonction somme $S$ est impaire, on se limite alors à $x > 0$ .

\sqrt{x} S (x^{3 / 2}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{3 n + 2}}{3 n + 2} .

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{3 n + 2}}{3 n + 2} = \int_{0}^{x} \sum_{n = 0}^{+ \infty} t^{3 n + 1} d t = \int_{0}^{x} \frac{t}{1 - t^{3}} d t

donc

S (x) = \frac{1}{x^{4 / 3}} \int_{0}^{x^{2 / 3}} \frac{t}{1 - t^{3}} d t .

Il ne reste plus qu’à décomposer en éléments simples pour conduire le calcul

S (x) = \frac{1}{6 x^{4 / 3}} \ln (\frac{x^{4 / 3} + x^{2 / 3} + 1}{x^{4 / 3} - 2 x^{2 / 3} + 1}) - \frac{1}{x^{4 / 3} \sqrt{3}} (\arctan (\frac{2 x^{2 / 3} + 1}{\sqrt{3}}) - \frac{π}{6}) .

Exercice 12 2123 SAINT CYR (MP)Correction

Soient $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ et $S (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} H_{n} x^{n}$ pour $x$ réel convenable.

(a)

Montrer que $1 \leq H_{n} \leq n$ pour $n \in ℕ^{*}$ .
(b)

En déduire le rayon de convergence $R$ de la série entière définissant $S$ .
(c)

Calculer $(1 - x) S (x)$ pour $x \in] - R; R [$ .
(d)

En déduire une expression de $S (x)$ .

Solution

(a)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . La somme $H_{n}$ commence par un terme égal à $1$ et se poursuit avec des termes tous positifs, on a donc $H_{n} \geq 1$ . Aussi, la somme $H_{n}$ est formée de $n$ termes tous inférieurs à $1$ et donc $H_{n} \leq n$ .
(b)

La série entière géométrique $\sum x^{n}$ a pour rayon de convergence $1$ . La série entière $\sum n x^{n}$ est donc aussi de rayon de convergence $1$ .

Puisque $H_{n} \underset{n \to + \infty}{=} O (n)$ , on a $R \geq 1$ . Puisque $1 \underset{n \to + \infty}{=} O (H_{n})$ , on a aussi $R \leq 1$ .

On en déduit $R = 1$ .
(c)

Pour $x \in] - 1; 1 [$ ,

$(1 - x) S (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} H_{n} x^{n} - \sum_{n = 1}^{+ \infty} H_{n} x^{n + 1} .$

Par glissement d’indice,

$(1 - x) S (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} H_{n} x^{n} - \sum_{n = 2}^{+ \infty} H_{n - 1} x^{n} .$

En posant $H_{0} = 0$ et en adjoignant un terme nul à la deuxième somme,

$(1 - x) S (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} (H_{n} - H_{n - 1}) x^{n} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n} x^{n} .$

On reconnaît le développement en série entière de la fonction $x \mapsto - \ln (1 - x)$ et donc

$(1 - x) S (x) = - \ln (1 - x) .$
(d)

Immédiatement,

$\forall x \in] - 1; 1 [, S (x) = - \frac{\ln (1 - x)}{1 - x} .$

Exercice 13 2565 CCINP (MP)Correction

Trouver le rayon de convergence de

\sum_{n \geq 1} \frac{sh (n)}{n (n + 1)} x^{n} .

Calculer la somme dans le bon intervalle.

Solution

Par la règle de d’Alembert, $R = 1 / e$ .
Sur $[- 1 / e; 1 / e]$ ,

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{sh (n)}{n (n + 1)} x^{n} = \frac{1}{2} (\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(e x)}^{n}}{n (n + 1)} - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(x / e)}^{n}}{n (n + 1)}) .

Or sur $] - 1; 1 [$ ,

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{y^{n}}{n (n + 1)} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{y^{n}}{n} - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{y^{n}}{n + 1} = - \ln (1 - y) + \frac{1}{y} (\ln (1 - y) + y) .

Cette identité pouvant être prolongée en $- 1$ et en 1 par continuité.
Cela permet alors d’expliciter la somme cherchée.

Exercice 14 2559 CCINP (MP)

(a)

Déterminer le rayon de convergence de la série entière

$\sum_{n \geq 0} n^{{(- 1)}^{n}} x^{n} .$
(b)

Exprimer sa somme à l’aide des fonctions usuelles.

Exercice 15 1958 Correction

Pour $α \in ℝ$ , calculer le rayon de convergence et la somme sur son intervalle ouvert de convergence de la série entière

\sum \cos (n α) x^{n} .

Solution

La suite des coefficients $(\cos (n α))$ est bornée et ne tend pas vers $0$ , la série entière est donc de rayon de convergence $R = 1$ . Pour $| x | < 1$ ,

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \cos (n α) x^{n} = Re (\sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{i n α} x^{n}) .

Par sommation géométrique de raison $q = e^{i α} x$ avec $| q | < 1$ ,

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \cos (n α) x^{n} = Re (\frac{1}{1 - x e^{i α}}) = \frac{1 - x \cos (α)}{1 - 2 x \cos (α) + x^{2}} .

Exercice 16 5081

Pour $α \in ℝ$ , calculer le rayon de convergence et la somme sur son intervalle ouvert de convergence de la série entière

\sum_{n \geq 1} \frac{\cos (n α)}{n} x^{n} .

Exercice 17 75 CCINP (MP)Correction

Pour $x \in ℝ$ , calculer

S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!} .

On pourra introduire $S_{k} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{3 n + k}}{(3 n + k)!}$ pour $k \in {0,1,2}$ .

Solution

Les séries entières définissant $S = S_{0}, S_{1}$ et $S_{2}$ sont de rayons de convergence $R = + \infty$ .
Pour $x \in ℝ$ ,

S_{0} (x) + S_{1} (x) + S_{2} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n!} = \exp (x) .

On a aussi

S_{0} (x) + j S_{1} (x) + j^{2} S_{2} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(j x)}^{n}}{n!} = \exp (j x)

S_{0} (x) + j^{2} S_{1} (x) + j S_{2} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(j^{2} x)}^{n}}{n!} = \exp (j^{2} x) .

En sommant ces trois relations, on obtient

	$\forall x \in ℝ, S (x)$	$= \frac{1}{3} (\exp (x) + \exp (j x) + \exp (j^{2} x))$
		$= \frac{1}{3} e^{x} + \frac{2}{3} Re (e^{j x})$
		$= \frac{1}{3} e^{x} + \frac{2}{3} \cos (\frac{\sqrt{3} x}{2}) e^{- x / 2} .$

Exercice 18 5407 Correction

Pour $x$ réel, calculer

S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!} .

On pourra simplifier $S^{''} (x) + S^{'} (x) + S (x)$ .

Solution

On vérifie que la série entière définissant $S$ est de rayon de convergence $R = + \infty$ . Pour tout $x \in ℝ$ ,

	$S^{''} (x) + S^{'} (x) + S (x)$	$= \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{3 n - 2}}{(3 n - 2)!} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{3 n - 1}}{(3 n - 1)!} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!}$
		$= \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n!} = e^{x} .$

La fonction $S$ est donc solution de l’équation différentielle linéaire à coefficient constant

y^{''} + y^{'} + y = e^{x} .

La fonction $x \mapsto \frac{1}{3} e^{x}$ est solution particulière et la solution générale s’exprime

y (x) = \frac{1}{3} e^{x} + (λ \cos (\frac{\sqrt{3} x}{2}) + μ \sin (\frac{\sqrt{3} x}{2})) e^{- x / 2} .

Les conditions initiales $S (0) = 1$ et $S^{'} (0) = 0$ déterminent les valeurs de $λ$ et $μ$ :

λ = \frac{2}{3} et μ = 0 .

On conclut

\forall x \in ℝ, S (x) = \frac{1}{3} e^{x} + \frac{2}{3} \cos (\frac{\sqrt{3} x}{2}) e^{- x / 2} .

Exercice 19 2414 CCINP (MP)Correction

Soient $\sum a_{n} x^{n}$ et $\sum b_{n} x^{n}$ deux séries entières de rayons de convergence $R$ et $R^{'}$ .

(a)

Que dire du rayon de convergence et la somme de $\sum c_{n} x^{n}$ avec $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ ?
(b)

Déterminer le rayon de convergence et la somme de

$\sum_{n \geq 1} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}) x^{n} .$

Solution

(a)

Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, pour $| x | < \min (R, R^{'})$ , $\sum c_{n} x^{n}$ est absolument convergente et

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} c_{n} x^{n} = (\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}) (\sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} x^{n}) .$

Ainsi le rayon de convergence $R^{''}$ de $\sum c_{n} x^{n}$ vérifie $R^{''} \geq \min (R, R^{'})$ .
En revanche, on ne peut facilement rien dire de plus de façon générale. Par exemple $1 - x$ et $\frac{1}{1 - x}$ se développent en série entière de rayons de convergence $+ \infty$ et 1 et leur produit de Cauchy est de rayon de convergence $+ \infty$ …
(b)

Puisque $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \sim \ln (n)$ , on obtient facilement $R = 1$ .
Si l’on pose $a_{k} = \frac{1}{k}$ pour $k \geq 1$ et $b_{k} = 1$ pour $k \geq 0$ alors

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{n - k} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} .$

Par suite, pour $| x | < 1$ ,

$\sum_{n = 1}^{+ \infty} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) x^{n} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n} \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n} = - \frac{\ln (1 - x)}{1 - x} .$

Exercice 20 5307 ENSTIM (MP)Correction

Soit $S$ la somme de la série entière

\sum_{n \geq 0} z^{n} \tan (\frac{n π}{5}) .

(a)

Donner le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
(b)

On pose $a = \tan (π / 5)$ . Exprimer $\tan (n π / 5)$ en fonction de $a$ pour $n \in {2,3,4}$ .
(c)

Simplifier $S_{5 N} (z)$ pour $| z | < R$ et $N \in ℕ^{*}$ .
(d)

Calculer $S$ sur $] - R; R [$ .

Solution

(a)

La suite $(\tan (n π / 5))$ est périodique non constante égale à $0$ : les coefficients de la série entière sont bornées et ne tendent pas vers $0$ , le rayon de convergence de la série entière vaut $1$ .
(b)

Sachant

$\tan (2 x) = \frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} et \tan (π - x) = - \tan (x)$

on obtient

$\tan (\frac{2 π}{5}) = \frac{2 a}{1 - a^{2}}, \tan (\frac{3 π}{5}) = - \frac{2 a}{1 - a^{2}} et \tan (\frac{4 π}{5}) = - a .$
(c)

Pour $| z | < 1$ et $N \in ℕ^{*}$ ,

$S_{5 N} (z) = a \sum_{k = 0}^{N - 1} z^{5 k + 1} + \frac{2 a}{1 - a^{2}} \sum_{k = 0}^{N - 1} z^{5 k + 2} - \frac{2 a}{1 - a^{2}} \sum_{k = 0}^{N - 1} z^{5 k + 3} - a \sum_{k = 0}^{N - 1} z^{5 k + 4} .$

Par sommations géométriques,

$S_{5 N} (z) = \frac{1}{1 - z^{5}} (a (z - z^{5 N + 1}) + \frac{2 a}{1 - a^{2}} (z^{2} - z^{5 N + 2}) - \frac{2 a}{1 - a^{2}} (z^{3} - z^{5 N + 3}) - a (z^{4} - z^{5 N + 4})) .$
(d)

Soit $x \in] - 1; 1 [$ . Lorsque $N$ tend vers $+ \infty$ , on conclut

$S (x)$ $= \frac{1}{1 - x^{5}} (a (x - x^{4}) + \frac{2 a}{1 - a^{2}} (x^{2} - x^{3}))$

$= \frac{1}{1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4}} (a x (1 + x + x^{2}) + \frac{2 a}{1 - a^{2}} x^{2}) .$

Exercice 21 2607 ENSTIM (MP)Correction

Pour $n \in ℕ$ , on pose

a_{n} = \int_{0}^{π / 4} \tan^{n} (t) d t .

(a)

Trouver la limite de la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ .
(b)

Pour $n \in ℕ$ , calculer $a_{n + 2} + a_{n}$ .
(c)

En déduire la nature de la série $\sum a_{n}$ .

On pose $f (x)$ la somme de la série entière

\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} .

(d)

Calculer le rayon de convergence $R$ de la série entière définissant $f$ puis exprimer $f (x)$ pour tout $x \in] - R; R [$ .

Solution

(a)

Posons $f_{n} (t) = \tan^{n} (t)$ pour $t \in [0; π / 4]$ et $n \in ℕ$ . Pour tout $t \in [0; π / 4]$ ,

$f_{n} (t) \to_{n \to + \infty}^{} f_{\infty} (t) = {\begin{matrix} 0 & si t \in [0; π / 4 [ \\ 1 & si t = π / 4 . \end{matrix}$

Aussi,

$\forall n \in ℕ, \forall t \in [0; π / 4], | f_{n} (t) | \leq 1 = φ (t) .$

La fonction $φ : [0; π / 4] \to ℝ_{+}$ est intégrable sur $[0; π / 4]$ . Par convergence dominée, on obtient

$a_{n} = \int_{0}^{π / 4} f_{n} (t) d t \to_{n \to + \infty}^{} \int_{0}^{π / 4} f_{\infty} (t) d t = 0 .$
(b)

On a

$a_{n} + a_{n + 2}$ $= \int_{0}^{π / 4} (1 + \tan^{2} (t)) {(\tan (t))}^{n} d t$

$= \int_{0}^{π / 4} {(\tan (t))}^{'} {(\tan (t))}^{n} d t$

$= {[\frac{1}{n + 1} {(\tan (t))}^{n + 1}]}_{0}^{π / 4} = \frac{1}{n + 1} .$
(c)

Par l’absurde, si la série $\sum a_{n}$ converge alors $\sum a_{n + 2}$ converge aussi et, par combinaison linéaire, la série $\sum (a_{n} + a_{n + 2})$ converge. Cela est absurde car

$a_{n} + a_{n + 2} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n} .$

et donc, par équivalence de séries à termes positifs, la série $\sum (a_{n} + a_{n + 2})$ diverge.
(d)

Puisque $(a_{n})$ est de limite nulle, $R \geq 1$ . Puisque la série $\sum a_{n} x^{n}$ diverge pour $x = 1$ , on a $R \leq 1$ . On en déduit $R = 1$ .

L’identité

$a_{n} + a_{n + 2} = \frac{1}{n + 1}$

donne, pour $x \in] - 1; 1 [$ ,

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (a_{n + 2} x^{n + 1} + a_{n} x^{n + 1}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n} = - \ln (1 - x) .$

Or, avec convergence des séries écrites et pour $x \neq 0$ ,

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (a_{n + 2} x^{n + 1} + a_{n} x^{n + 1}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n + 2} x^{n + 1} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n + 1} = \frac{1}{x} (f (x) - a_{0} - a_{1} x) + x f (x)$

donc

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{π}{4} + \frac{\ln (2)}{2} x - x \ln (1 - x))$

Par continuité des deux membres, l’égalité vaut aussi pour $x = 0$ .

On peut aussi procéder à une permutation somme intégrale pour parvenir à

$\int_{0}^{π / 4} \frac{d t}{1 - x \tan (t)}$

ce qui conduit au même résultat en procédant ensuite au changement de variable $u = \tan (t)$ et quelques calculs un peu longs.

Exercice 22 2449 CENTRALE (MP)Correction

Soit $(a_{n})$ la suite définie par

a_{0} = 1 et a_{n} = \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} \prod_{k = 0}^{n - 1} (t - k) d t pour n \in ℕ^{*} .

(a)

Rayon de convergence de $\sum a_{n} x^{n}$ .
(b)

Somme de $\sum a_{n} x^{n}$ .

Solution

(a)

On a

$| a_{n} | = \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} t \prod_{k = 1}^{n - 1} (k - t) d t \leq \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} \prod_{k = 1}^{n - 1} k d t \leq \frac{1}{n}$

donc $R \geq 1$ .

$| a_{n} | \geq \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} t (1 - t) \times \prod_{k = 2}^{n - 1} (k - 1) d t \geq \frac{1}{4 n (n - 1)}$

donc $R \leq 1$ .

Finalement, $R = 1$ .
(b)

Soit $x \in] - 1; 1 [$ .

$S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \int_{0}^{1} \frac{1}{n!} \prod_{k = 0}^{n - 1} (t - k) x^{n} d t$

or par convergence uniforme de la suite de fonctions de la variable $t$ sur $[0; 1]$ (convergence uniforme obtenue par convergence normale grâce à $| x | < 1$ ) on peut permuter somme et intégrale.

$S (x) = \int_{0}^{1} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} \prod_{k = 0}^{n - 1} (t - k) x^{n} d t = \int_{0}^{1} {(1 + x)}^{t} d t = {[\frac{{(1 + x)}^{t}}{\ln (1 + x)}]}_{t = 0}^{t = 1} = \frac{x}{\ln (1 + x)} .$

Exercice 23 5085 MINES (PC)

Soit $A \in ℳ_{p} (ℂ)$ . Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum tr (A^{n}) z^{n}$ et exprimer sa somme en fonction du polynôme caractéristique de $A$ .

Exercice 24 2847 MINES (MP)Correction

(a)

Déterminer le rayon de convergence $R$ de

$\sum_{n \geq 0} \frac{n!}{1 \times 3 \times \dots \times (2 n + 1)} x^{n} .$
(b)

Pour $x \in] - R; R [$ calculer la somme précédente.

Solution

(a)

Posons $a_{n} = \frac{n!}{1 \times 3 \times \dots \times (2 n + 1)} \neq 0$ .

$| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = \frac{n + 1}{2 n + 3} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{2}$

$R = 2$ .
(b)

On sait

$\int_{0}^{π / 2} \sin^{2 n + 1} (t) d t = \frac{2^{n} n!}{1 \times 3 \times \dots \times (2 n + 1)}$

donc

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \int_{0}^{π / 2} \frac{x^{n}}{2^{n}} \sin^{2 n + 1} (t) d t .$

Par convergence uniforme,

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} \int_{0}^{π / 2} \frac{x^{n}}{2^{n}} \sin^{2 n + 1} (t) d t = \int_{0}^{π / 2} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{2^{n}} \sin^{2 n + 1} (t) d t = \int_{0}^{π / 2} \frac{2 \sin (t)}{2 - x \sin^{2} (t)} d t .$

Ainsi,

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin (t)}{(2 - x) + x \cos^{2} (t)} d t = \int_{0}^{1} \frac{d u}{(2 - x) + x u^{2}} .$

Cas: $x > 0$ .

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = \frac{2}{\sqrt{x (2 - x)}} \arctan (\sqrt{\frac{x}{2 - x}}) .$

Cas: $x < 0$ .

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = \frac{2}{\sqrt{- x (2 - x)}} argth (\sqrt{\frac{- x}{2 - x}})$

avec

$argth (u) = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + u}{1 - u}) .$

Exercice 25 5909 Correction

Soit $f$ la somme de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ avec $a_{n} = \frac{1}{2 n - 1} (\binom{2 n}{n})$ pour $n \in ℕ$ .

(a)

Vérifier

$\forall n \in ℕ, (n + 1) a_{n + 1} = 2 (2 n - 1) a_{n} .$
(b)

Donner le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ .
(c)

Déterminer une équation différentielle linéaire d’ordre $1$ dont $f$ est solution et en déduire une expression de $f$ .

Solution

(a)

Pour $n \in ℕ$ ,

$(n + 1) a_{n + 1} = \frac{(n + 1)}{2 n + 1} \cdot \frac{(2 n + 2)!}{{((n + 1)!)}^{2}} = \frac{(n + 1)}{2 n + 1} \cdot \frac{(2 n + 2) (2 n + 1)}{{(n + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 n)!}{{(n!)}^{2}} .$

On simplifie

$(n + 1) a_{n + 1} = 2 \cdot \frac{(2 n)!}{{(n!)}^{2}} = 2 (2 n - 1) a_{n} .$
(b)

On observe $a_{n} \neq 0$ et

$| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = \frac{2 (2 n - 1)}{n + 1} \to_{n \to + \infty}^{} 4 .$

On en déduit $R = 1 / 4$ .
(c)

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $I =] - 1 / 4; 1 / 4 [$ avec

$f^{'} (x)$ $= \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} 2 (2 n - 1) a_{n} x^{n}$

$= 4 x \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1} - 2 \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = 4 x f^{'} (x) - 2 f (x) .$

La fonction $f$ est donc solution sur $I$ de l’équation différentielle

$(1 - 4 x) y^{'} (x) + 2 y (x) = 0 .$

Après résolution, on exprime la solution générale

$y (x) = λ \sqrt{1 - 4 x} avec λ \in ℝ .$

Sachant $f (0) = a_{0} = - 1$ , on obtient

$\forall x \in I, f (x) = - \sqrt{1 - 4 x} .$

Exercice 26 5910 Correction

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ la série entière déterminée par

a_{0} = 1, a_{1} = 1 et \forall n \in ℕ, a_{n + 2} = a_{n + 1} + \frac{2 a_{n}}{n + 2} .

(a)

Prouver que le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ vaut $1$ .

On note $S$ la somme de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ .

(b)

Établir que $x \mapsto S (x)$ est solution sur $] - 1; 1 [$ de l’équation différentielle

$(1 - x) y^{'} (x) - (2 x + 1) y (x) = 0 .$
(c)

En déduire une expression de $S$ sur $] - 1; 1 [$ .

Solution

(a)

Par récurrence double, on vérifie $a_{n} \geq 1$ pour tout $n \in ℕ$ .

Par récurrence double, on vérifie aussi $a_{n} \leq {(n + 1)}^{2}$ pour tout $n \in ℕ$ .

En effet,

${(n + 2)}^{2} + \frac{2 {(n + 1)}^{2}}{n + 2} \leq n^{2} + 4 n + 4 + 2 (n + 1) = n^{2} + 6 n + 6 \leq {(n + 3)}^{2} .$

Puisque les séries entières $\sum x^{n}$ et $\sum n^{2} x^{n}$ sont de rayons de convergence égaux à $1$ , par encadrement, $\sum a_{n} x^{n}$ est de rayon de convergence égal à $1$ .
(b)

La fonction $S$ est dérivable (et même de classe $𝒞^{\infty}$ ) sur $] - 1; 1 [$ avec

$S^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n} .$

On a donc

$(1 - x) S^{'} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ((n + 1) a_{n + 1} - n a_{n}) x^{n} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} ((n + 1) a_{n + 1} - n a_{n}) x^{n} + a_{1} .$

Parallèlement,

$(2 x + 1) S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} 2 a_{n} x^{n + 1} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} (2 a_{n - 1} + a_{n}) x^{n} + 1 .$

Or

$\forall n \in ℕ^{*}, (n + 1) a_{n + 1} - n a_{n} = a_{n} + 2 a_{n - 1} et a_{1} = 1$

donc

$(1 - x) S^{'} (x) = (2 x + 1) S (x) .$

La fonction $S$ est solution de l’équation différentielle proposée.
(c)

Pour résoudre l’équation différentielle, on calcule une primitive de

$\frac{2 x + 1}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1} .$

On obtient la solution générale

$y (x) = \frac{λ e^{- 2 x}}{{(1 - x)}^{3}} .$

Sachant $S (0) = a_{0} = 1$ , on conclut

$\forall x \in] - 1; 1 [, S (x) = \frac{e^{- 2 x}}{{(1 - x)}^{3}} .$

Exercice 27 2551 CCINP (MP)Correction

Calculer

a_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} {(1 - t)}^{n} d t

pour $n \in ℕ^{*}$ .

(a)

Calculer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ .
(b)

Calculer la somme de cette série entière sur l’intervalle ouvert de convergence.

Solution

(a)

Par intégration par parties successives,

$a_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} {(1 - t)}^{n} d t = \frac{{(n!)}^{2}}{(2 n + 1)!} .$

Puisque

$| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{4}$

on a $R = 4$ .
(b)

Pour $| x | < 4$ , par convergence normale,

$f (x) = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 - t (1 - t) x} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{x t^{2} - x t + 1} .$

Cas: $x \in] 0; 4 [$ .

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x (4 - x)}} \arctan (\sqrt{\frac{x}{4 - x}}) .$

Cas: $x \in] - 2; 0 [$ .

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x (x - 4)}} argth (\sqrt{\frac{x}{x - 4}})$

avec

$argth (u) = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + u}{1 - u}) .$

Cas: $x = 0$ . $f (x) = 1$ .

Exercice 28 5063

Pour $n \in ℕ$ , on pose

a_{n} = \int_{0}^{1} {(1 - t^{2})}^{n} d t .

(a)

Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ .
(b)

Exprimer sa somme $S$ sur $] - R; R [$ à l’aide des fonctions usuelles.

[<] Calcul de développement par équation différentielle [>] Application à la détermination du terme général d'une suite

Édité le 03-06-2024

	$S (x)$	$= \frac{1}{1 - x^{5}} (a (x - x^{4}) + \frac{2 a}{1 - a^{2}} (x^{2} - x^{3}))$
		$= \frac{1}{1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4}} (a x (1 + x + x^{2}) + \frac{2 a}{1 - a^{2}} x^{2}) .$

	$a_{n} + a_{n + 2}$	$= \int_{0}^{π / 4} (1 + \tan^{2} (t)) {(\tan (t))}^{n} d t$
		$= \int_{0}^{π / 4} {(\tan (t))}^{'} {(\tan (t))}^{n} d t$
		$= {[\frac{1}{n + 1} {(\tan (t))}^{n + 1}]}_{0}^{π / 4} = \frac{1}{n + 1} .$

	$f^{'} (x)$	$= \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} 2 (2 n - 1) a_{n} x^{n}$
		$= 4 x \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1} - 2 \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = 4 x f^{'} (x) - 2 f (x) .$

Calcul de sommes de séries entières