[<] Calcul de développement par équation différentielle [>] Application à la détermination du terme général d'une suite

 
Exercice 1  997  Correction  

Soit

f:xn=2+(-1)nn(n-1)xn.
  • (a)

    Déterminer l’intervalle de convergence de f.

  • (b)

    Exprimer la fonction f à l’aide des fonctions usuelles sur ]-1;1[

  • (c)

    Calculer f(1) et f(-1).

Solution

  • (a)

    Notons 𝒟 l’intervalle de convergence de cette série entière.
    Le rayon de convergence étant 1 on en déduit: ]-1;1[𝒟[-1;1].
    De plus, |(-1)nn(n-1)|1n2 donc f(1) et f(-1) existe. Ainsi 𝒟=[-1;1].

  • (b)

    Sur ]-1;1[, f est de classe 𝒞 et

    f(x)=n=2+(-1)nn-1xn-1=n=1+(-1)n+1nxn=ln(1+x).

    Donc

    ln(1+x)dx=(1+x)ln(1+x)-x+C.

    Puisque f(0)=0, on conclut

    f(x)=(1+x)ln(1+x)-x

    sur ]-1;1[.

  • (c)
    x[-1;1],|(-1)nn(n-1)xn|1n(n-1)1n2

    donc la série de fonctions définissant f converge normalement sur [-1;1] et par suite f est continue.

    f(1)=limx1-f(x)=limx1-((1+x)ln(1+x)-x)=2ln(2)-1

    et

    f(-1)=limx-1+f(x)=limx-1+((1+x)ln(1+x)-x)=1.
 
Exercice 2  5309    ENSTIM (MP)Correction  

On pose

un(x)=(-1)nn+1xnpour x et n.
  • (a)

    Étudier la convergence simple de la série de fonctions un.

On note S sa fonction somme.

  • (b)

    Préciser S(x) pour x réel convenable.

  • (c)

    Étudier la convergence normale et la convergence uniforme que la série de fonctions un.

Solution

  • (a)

    un est une série entière de rayon de convergence R=1. Celle-ci converge en 1 par application du critère spécial et diverge en -1. La série de fonctions converge simplement sur ]-1;1].

  • (b)

    Pour x]-1;1],

    xS(x)=n=0+(-1)nn+1xn+1=n=1+(-1)n-1nxn=ln(1+x).

    Pour x0,

    S(x)=ln(1+x)x

    et S(0)=1 (ce qui correspond à la valeur du prolongement par continuité).

  • (c)

    Puisqu’il s’agit d’une série entière, il y a convergence normale sur tout segment inclus dans ]-1;1[. Par le critère spécial, on peut établir la convergence uniforme sur [0;1] mais il n’y a pas convergence normale sur ce domaine car

    supx[0;1]|un(x)|=1n+1

    (il n’y a pas non plus convergence normale sur [0;1[).

    Il n’y a pas convergence uniforme (ni a fortiori convergence normale) sur ]-1;0]. En effet, si par l’absurde cette convergence normale a lieu, on peut employer le théorème de la double limite en -1 et conclure à la convergence absurde de la série

    1n+1.
 
Exercice 3  996  

Calculer le rayon de convergence et déterminer la somme de la série entière

n0(-1)n-1n-1n!x2n.
 
Exercice 4  998  Correction  

Rayon de convergence et somme de

n0(n+1)(n-2)n!xn.

Solution

Clairement R=+.

n0(n+1)(n-2)n!xn=n0n2-n-2n!xn=n0n(n-1)-2n!xn

donc

n0(n+1)(n-2)n!xn=n2xn(n-2)!-2n0xnn!=(x2-2)ex.
 
Exercice 5  3648  Correction  

Rayon de convergence et somme de

n0(-1)n+1nx2n+1.

Solution

Pour x0,

|(-1)n+2(n+1)(-1)n+1nx2n+3x2n+1|n+|x2|

donc R=1.
Pour x]-1;1[

f(x)=11+x=n=0+(-1)nxn

donc

xf(x)=-x(1+x)2=n=0+(-1)nnxn

puis

n=0+(-1)n+1nx2n+1=x×(x2(1+x2)2)=x3(1+x2)2.
 
Exercice 6  999   Correction  

Rayon de convergence et somme de

n0x2n2n+1.

Solution

Pour x0, posons

un=x2n2n+10.

Puisque

|un+1un|n+|x|2

on obtient R=1.
Sachant

ddx(n=0+x2n+12n+1)=n=0+x2n=11-x2

on obtient par intégration de développement en série entière

n=0+x2n+12n+1=0xdt1-t2=12ln(1+x1-x)

puis, pour x0,

n=0+x2n2n+1=12xln(1+x1-x).

Pour x=0, la somme vaut 1.

 
Exercice 7  1001   Correction  

Rayon de convergence et somme de

n0x2n4n2-1.

Solution

Clairement R=1.

Posons

S(x)=n=0+x2n4n2-1.

Par décomposition en éléments simples,

14n2-1=12(12n-1-12n+1).

Sachant

ddx(n=0+x2n+12n+1)=n=0+x2n=11-x2

on obtient par intégration de développement en série entière

n=0+x2n+12n+1=0xdt1-t2=12ln(1+x1-x).

On en déduit

S(x)=12n=0+x2n2n-1-12n=0+x2n2n+1=-12+x2-14xln(1+x1-x).

pour x0 (et S(0)=-1).

 
Exercice 8  5305     ENSTIM (MP)Correction  

Soit f la fonction réelle d’une variable réelle donnée par

f(x)=n=0+(-1)n-1x2n+14n2-1.
  • (a)

    Déterminer le domaine de définition de f et étudier sa continuité.

  • (b)

    Étudier la dérivabilité de f.

  • (c)

    Calculer f(x) pour x réel convenable.

Solution

  • (a)

    Pour |x|1, le terme général de la série est dominé par 1/n2 et, pour |x|>1, il ne tend pas vers 0. La fonction f est définie sur [-1;1].

    Posons

    un(x)=(-1)n-1x2n+14n2-1pour x[-1;1].

    Les fonctions un sont continues sur [-1;1] et la série de fonctions un converge normalement sur [-1;1] car

    |un(x)|14n2-1pour tout n1.

    On en déduit que la fonction f est continue sur [-1;1].

  • (b)

    f est la somme d’une série entière de rayon de convergence R=1 et donc dérivable sur ]-1;1[ avec

    f(x)=n=0+(-1)n-1x2n2n-1.

    Cette série satisfait le critère spécial des séries alternées et l’on peut proposer la majoration uniforme du reste

    |n=N+1+(-1)n-1x2n2n-1|12N+1N+0.

    On peut alors appliquer le théorème de la double limite et affirmer que f(x) possède une limite finie en 1- et -1+. Par le théorème de la limite de la dérivée, il vient que f est dérivable sur [-1;1].

  • (c)

    Pour x]-1;1[, on remarque

    f(x)=1+xn=0+(-1)nx2n+12n+1=1+xarctan(x).

    Sachant f(0)=0,

    f(x)=0x(-1-tarctan(t))dt==12x+12(x2+1)arctan(x)

    et cette relation est aussi vraie en ±1 par continuité.

 
Exercice 9  4733   

Déterminer le rayon de convergence et la somme de

n=0+1(2n)!xn.
 
Exercice 10  1000   Correction  

Rayon de convergence et somme de

n0(-1)nxn2n+1.

Solution

Par la règle de d’Alembert, on obtient R=1.
Posons

S(x)=n=0+(-1)nxn2n+1.

On a

xS(x2)=arctan(x).

On en déduit

S(x)=arctan(x)x pour x>0.

Sachant

ddx(n=0+x2n+12n+1)=n=0+x2n=11-x2

on obtient par intégration de développement en série entière

n=0+x2n+12n+1=0xdt1-t2=12ln(1+x1-x).

On en déduit

xS(-x2)=n=0+x2n+12n+1=12ln(1+x1-x)

donc

S(x)=12-xln(1+-x1--x) si x<0.

Enfin, pour x=0, S(0)=1.

 
Exercice 11  2845     MINES (MP)Correction  

Rayon de convergence et somme de

n=0+x2n+13n+2.

Solution

Pour x0, posons un=x2n+13n+2.

|un+1un|n+x2

donc R=1.

La fonction somme S est impaire, on se limite alors à x>0.

xS(x3/2)=n=0+x3n+23n+2.

Or

n=0+x3n+23n+2=0xn=0+t3n+1dt=0xt1-t3dt

donc

S(x)=1x4/30x2/3t1-t3dt.

Il ne reste plus qu’à décomposer en éléments simples pour conduire le calcul

S(x)=16x4/3ln(x4/3+x2/3+1x4/3-2x2/3+1)-1x4/33(arctan(2x2/3+13)-π6).
 
Exercice 12  2565     CCP (MP)Correction  

Trouver le rayon de convergence de

n1sh(n)n(n+1)xn.

Calculer la somme dans le bon intervalle.

Solution

Par la règle de d’Alembert, R=1/e.
Sur [-1/e;1/e],

n=1+sh(n)n(n+1)xn=12(n=1+(ex)nn(n+1)-n=1+(x/e)nn(n+1)).

Or sur ]-1;1[,

n=1+ynn(n+1)=n=1+ynn-n=1+ynn+1=-ln(1-y)+1y(ln(1-y)+y).

Cette identité pouvant être prolongée en -1 et en 1 par continuité.
Cela permet alors d’expliciter la somme cherchée.

 
Exercice 13  2559     CCP (MP)
  • (a)

    Déterminer le rayon de convergence de la série entière

    n0n(-1)nxn.
  • (b)

    Exprimer sa somme à l’aide des fonctions usuelles.

 
Exercice 14  5081   

Pour α, calculer le rayon de convergence et la somme sur son intervalle ouvert de convergence de la série entière

n1cos(nα)nxn.
 
Exercice 15  75    CCP (MP)Correction  

Pour x, calculer

S(x)=n=0+x3n(3n)!.

On pourra introduire Sk(x)=n=0+x3n+k(3n+k)! pour k{0,1,2}.

Solution

Les séries entières définissant S=S0,S1 et S2 sont de rayons de convergence R=+.
Pour x,

S0(x)+S1(x)+S2(x)=n=0+xnn!=exp(x).

On a aussi

S0(x)+jS1(x)+j2S2(x)=n=0+(jx)nn!=exp(jx)

et

S0(x)+j2S1(x)+jS2(x)=n=0+(j2x)nn!=exp(j2x).

En sommant ces trois relations, on obtient

x,S(x) =13(exp(x)+exp(jx)+exp(j2x))
=13ex+23Re(ejx)
=13ex+23cos(3x2)e-x/2.
 
Exercice 16  5407  Correction  

Pour x réel, calculer

S(x)=n=0+x3n(3n)!.

On pourra simplifier S′′(x)+S(x)+S(x).

Solution

On vérifie que la série entière définissant S est de rayon de convergence R=+. Pour tout x,

S′′(x)+S(x)+S(x) =n=1+x3n-2(3n-2)!+n=1+x3n-1(3n-1)!+n=0+x3n(3n)!
=n=0+xnn!=ex.

La fonction S est donc solution de l’équation différentielle linéaire à coefficient constant

y′′+y+y=ex.

La fonction x13ex est solution particulière et la solution générale s’exprime

y(x)=13ex+(λcos(3x2)+μsin(3x2))e-x/2.

Les conditions initiales S(0)=1 et S(0)=0 déterminent les valeurs de λ et μ:

λ=23etμ=0.

On conclut

x,S(x)=13ex+23cos(3x2)e-x/2.
 
Exercice 17  2414    CCP (MP)Correction  

Soient anxn et bnxn deux séries entières de rayons de convergence R et R.

  • (a)

    Que dire du rayon de convergence et la somme de cnxn avec cn=k=0nakbn-k?

  • (b)

    Déterminer le rayon de convergence et la somme de

    n1(1+12+13++1n)xn.

Solution

  • (a)

    Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, pour |x|<min(R,R), cnxn est absolument convergente et

    n=0+cnxn=(n=0+anxn)(n=0+bnxn).

    Ainsi le rayon de convergence R′′ de cnxn vérifie R′′min(R,R).
    En revanche, on ne peut facilement rien dire de plus de façon générale. Par exemple 1-x et 11-x se développent en série entière de rayons de convergence + et 1 et leur produit de Cauchy est de rayon de convergence +

  • (b)

    Puisque 1+12++1nln(n), on obtient facilement R=1.
    Si l’on pose ak=1k pour k1 et bk=1 pour k0 alors

    k=1nakbn-k=k=1n1k.

    Par suite, pour |x|<1,

    n=1+(1+12++1n)xn=n=1+xnnn=0+xn=-ln(1-x)1-x.
 
Exercice 18  5307     ENSTIM (MP)Correction  

Soit S la somme de la série entière

n0zntan(nπ5).
  • (a)

    Donner le rayon de convergence R de cette série entière.

  • (b)

    On pose a=tan(π/5). Exprimer tan(nπ/5) en fonction de a pour n{2,3,4}.

  • (c)

    Simplifier S5N(z) pour |z|<R et N*.

  • (d)

    Calculer S sur ]-R;R[.

Solution

  • (a)

    La suite (tan(nπ/5)) est périodique non constante égale à 0: les coefficients de la série entière sont bornées et ne tendent pas vers 0, le rayon de convergence de la série entière vaut 1.

  • (b)

    Sachant

    tan(2x)=2tan(x)1-tan2(x)ettan(π-x)=-tan(x)

    on obtient

    tan(2π5)=2a1-a2,tan(3π5)=-2a1-a2ettan(4π5)=-a.
  • (c)

    Pour |z|<1 et N*,

    S5N(z)=ak=0N-1z5k+1+2a1-a2k=0N-1z5k+2-2a1-a2k=0N-1z5k+3-ak=0N-1z5k+4.

    Par sommations géométriques,

    S5N(z)=11-z5(a(z-z5N+1)+2a1-a2(z2-z5N+2)-2a1-a2(z3-z5N+3)-a(z4-z5N+4)).
  • (d)

    Soit x]-1;1[. Lorsque N tend vers +, on conclut

    S(x) =11-x5(a(x-x4)+2a1-a2(x2-x3))
    =11+x+x2+x3+x4(ax(1+x+x2)+2a1-a2x2).
 
Exercice 19  2607     ENSTIM (MP)Correction  

Pour n, on pose

an=0π/4tann(t)dt.
  • (a)

    Trouver la limite de la suite (an).

  • (b)

    Donner une relation simple entre an+2 et an.

On pose f(x) la somme de la série entière

n=0+anxn.
  • (c)

    Déterminer l’intervalle de définition de f.

  • (d)

    Exprimer f à l’aide des fonctions usuelles.

Solution

  • (a)

    Par convergence dominée par la fonction φ:t1, on obtient an0.

  • (b)

    On a

    an+an+2=0π/4(tan(t))(tan(t))ndt=1n+1.
  • (c)

    Par monotonie an+an+22anan+an-2. On en déduit

    an12n.

    Le rayon de convergence de la série entière anxn est donc égale à 1.
    Pour x=1, an diverge en vertu de l’équivalent précédent et par comparaison de séries à termes positifs.
    Pour x=-1, (-1)nan en vertu du critère spécial des séries alternées, la suite (an) étant notamment décroissante.
    Ainsi la fonction f est définie sur [-1;1[.

  • (d)

    Puisque an+an+2=1n+1, on a

    n=0+(an+2xn+1+anxn+1)=n=1+xnn=-ln(1-x)

    pour x[-1;1[. Or

    n=0+(an+2xn+1+anxn+1)=1x(f(x)-a0-a1x)+xf(x)

    donc

    f(x)=1x2+1(π4+ln(2)2x-xln(1-x))

    pour x0 et aussi pour x=0 par continuité.
    On peut aussi procéder à une permutation somme intégrale pour parvenir à

    0π/4dt1-xtan(t).
 
Exercice 20  2449     CENTRALE (MP)Correction  

Soit (an) la suite définie par

a0=1etan=1n!01k=0n-1(t-k)dt pour n*.
  • (a)

    Rayon de convergence de anxn.

  • (b)

    Somme de anxn.

Solution

  • (a)

    On a

    |an|=1n!01tk=1n-1(k-t)dt1n!01k=1n-1kdt1n

    donc R1.

    |an|1n!01t(1-t)×k=2n-1(k-1)dt14n(n-1)

    donc R1.

    Finalement, R=1.

  • (b)

    Soit x]-1;1[.

    S(x)=n=0+anxn=n=0+011n!k=0n-1(t-k)xndt

    or par convergence uniforme de la suite de fonctions de la variable t sur [0;1] (convergence uniforme obtenue par convergence normale grâce à |x|<1) on peut permuter somme et intégrale.

    S(x)=01n=0+1n!k=0n-1(t-k)xndt=01(1+x)tdt=[(1+x)tln(1+x)]t=0t=1=xln(1+x).
 
Exercice 21  5085    MINES (PC)

Soit Ap(). Déterminer le rayon de convergence de la série entière tr(An)zn et exprimer sa somme en fonction du polynôme caractéristique de A.

 
Exercice 22  2551      CCP (MP)Correction  

Calculer

an=01tn(1-t)ndt

pour n*.

Calculer le rayon de convergence de la série entière anxn.
Calculer la somme de cette série entière sur l’intervalle ouvert de convergence.

Solution

Par intégration par parties successives

an=01tn(1-t)ndt=(n!)2(2n+1)!.

Puisque

|an+1an|n+14

on a R=4.

Pour |x|<4, par convergence normale,

f(x)=01dt1-t(1-t)x=01dtxt2-xt+1.

Cas: x]0;4[.

f(x)=4x(4-x)arctan(x4-x).

Cas: x]-2;0[.

f(x)=4x(x-4)argth(xx-4)

avec

argth(u)=12ln(1+u1-u).

Cas: x=0. f(x)=1.

 
Exercice 23  2847      MINES (MP)Correction  
  • (a)

    Déterminer le rayon de convergence R de

    n0n!1×3××(2n+1)xn.
  • (b)

    Pour x]-R;R[ calculer la somme précédente.

Solution

  • (a)

    Posons an=n!1×3××(2n+1)0.

    |an+1an|=n+12n+3n+12

    R=2.

  • (b)

    On sait

    0π/2sin2n+1(t)dt=2nn!1×3××(2n+1)

    donc

    n=0+anxn=n=0+0π/2xn2nsin2n+1(t)dt.

    Par convergence uniforme,

    n=0+0π/2xn2nsin2n+1(t)dt=0π/2n=0+xn2nsin2n+1(t)dt=0π/22sin(t)2-xsin2(t)dt.

    Ainsi,

    n=0+anxn=0π/2sin(t)(2-x)+xcos2(t)dt=01du(2-x)+xu2.

    Cas: x>0.

    n=0+anxn=2x(2-x)arctan(x2-x).

    Cas: x<0.

    n=0+anxn=2-x(2-x)argth(-x2-x)

    avec

    argth(u)=12ln(1+u1-u).
 
Exercice 24  5063    

Pour n, on pose

an=01(1-t2)ndt.
  • (a)

    Déterminer le rayon de convergence R de la série entière anxn.

  • (b)

    Exprimer sa somme S sur ]-R;R[ à l’aide des fonctions usuelles.

[<] Calcul de développement par équation différentielle [>] Application à la détermination du terme général d'une suite



Édité le 08-11-2019

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