[<] Calcul de sommes de séries entières [>] Application à la régulatité d'un prolongement continu

 
Exercice 1  4737   

En introduisant la série entière anxn, déterminer le terme général de la suite récurrente (an) définie par

a0=1etan+1=ann+1+(-1)n(n+1)!pour tout n.
 
Exercice 2  1010   Correction  
  • (a)

    Former le développement en série entière en 0 de

    x1(1-x)(1-x2).
  • (b)

    Soit (un) vérifiant

    n,un+3=un+2+un+1-un.

    Exprimer le terme général de la suite (un) en fonction de ses premiers termes.

Solution

  • (a)

    Pour |x|<1,

    11-x11-x2=n=0+xnn=0+x2n.

    Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes,

    1(1-x)(1-x2)=n=0+anxn

    avec

    an=Card{(k,)2|k+2=n}=n/2+1.
  • (b)

    Analyse: Introduisons la série entière unxn de somme S et de rayon de convergence R.
    Pour tout n,

    un+3xn+3=un+2xn+3+un+1xn+3-unxn+3.

    En sommant, on obtient pour |x|<R,

    S(x)-(u0+u1x+u2x2)=x(S(x)-u0-u1x)+x2(S(x)-u0)-x3S(x).

    On en déduit

    S(x)=u0(1-x-x2)(1-x)(1-x2)+u1x1-x2+u2x2(1-x)(1-x2).

    Synthèse: Considérons la fonction

    f:xu0(1-x-x2)(1-x)(1-x2)+u1x1-x2+u2x2(1-x)(1-x2)

    f est une fonction rationnelle donc 0 n’est pas pôle, elle est développable en série entière sur ]-1;1[.
    Puisque cette fonction vérifie la relation

    f(x)-(u0+u1x+u2x2)=x(f(x)-u0-u1x)+x2(f(x)-u0)-x3f(x)

    les coefficients un de son développement en séries entières vérifient

    x]-1;1[,n=0+un+3xn+3=n=0+(un+2+un+1-un)xn+3.

    Par identification des coefficients de séries entières de sommes égales sur ]-1;1[, on obtient

    n,un+3=un+2+un+1-un.

    Ceci détermine alors entièrement la suite (un) moyennant la connaissance des coefficients u0,u1,u2.
    Pour exprimer un, il ne reste plus qu’à former le développement en série entière de f.

    (1-x-x2)(1-x)(1-x2)=1-x3(1-x)(1-x2)=1-n=0+anxn+3.
    x1-x2=n=0+x2n+1 et x2(1-x)(1-x2)=n=0+anxn+2.

    On en déduit que pour n3,

    un=-u0an-3+u1εn+u2an-1

    avec εn=1 si n est impair et 0 sinon.

 
Exercice 3  4730   
  • (a)

    Former le développement en série entière sur ]-1;1[ de

    f(x)=1(1-x)(1-x2).
  • (b)

    En déduire une expression de

    an=Card{(j,k)2|j+2k=n}.
 
Exercice 4  5906   Correction  

Soit (an)n une suite réelle vérifiant

n,an+3=an+2-an+1+an.
  • (a)

    Déterminer α>0 et M>0 pour lesquels |an|Mαn pour tout n.

  • (b)

    En déduire que le rayon de convergence de la série entière anxn est strictement positif.

  • (c)

    En calculant la somme de la série entière anxn pour x convenable, exprimer an en fonction de n.

Solution

  • (a)

    Pour M=max{|a0|,|a1|/α,|a2|/α2}+1 et α=3, on établit par récurrence triple |an|Mαn car

    |an+3||an+2|+|an+1|+|an+2|.
  • (b)

    La série entière Mαnxn a pour rayon de convergence R=1α. Par comparaison des coefficients, le rayon de convergence de anxn est au moins égal à 1/α.

  • (c)

    Pour x avec |x|<1/α, on note S(x) la somme de la série anxn.

    Pour n, on remarque

    an+3xn+3=xan+2xn+2-x2an+1xn+1+x3anxn.

    En sommant, il vient

    S(x)-(a0+a1x+a2x2)=x(S(x)-(a0+a1x))-x2(S(x)-a0)+x3S(x)

    ce qui donne

    (1-x+x2-x3)S(x)=a0+(a1-a0)x+(a2-a1+a0)x2

    et donc

    S(x)=a0+(a1-a0)x+(a2-a1+a0)x2(1-x)(1+x2).

    Par décomposition en éléments simples,

    S(x)=α1-x+βx+γ1+x2

    avec

    α=a0+(a1-a0)x+(a2-a1+a0)x21+x2|x=1=a0+a22.

    En évaluant en 0,

    α+γ=a0 donc γ=a0-a22.

    En considérant la limite de xS(x) quand x tend vers l’infini,

    -α+β=-(a2-a1+a0) donc β=-a0+2a1-a22.

    Enfin, par développement en série entière,

    S(x) =n=0+αxn+n=0+(-1)n(βx+γ)x2n
    =n=0+(α+(-1)nγ)x2n+(α+(-1)nβ)x2n+1.

    Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, il vient

    a2n =α+(-1)nγ=1+(-1)n2a0+1-(-1)n2a2
    a2n+1 =α+(-1)nβ=1-(-1)n2a0+(-1)na1+1-(-1)n2a2.

    En particulier, la suite est périodique de période 4: le calcul des premiers termes de la suite aurait suffit pour constater le phénomène.

 
Exercice 5  2850     MINES (PC)Correction  

On consdère la suite (an) déterminée par

a0=1etan+1=k=0n(nk)an-kakpour tout n.

Calculer les an en utilisant la série entière de terme général ann!xn.

Solution

Posons bn=ann!.

b0=1et(n+1)bn+1=k=0nbn-kbk.

Notons S la somme de la série entière bnxn et posons R son rayon de convergence. Par récurrence, on vérifie |bn|1 et donc R1.

Sur ]-R;R[, la relation précédente donne par produit de Cauchy

S(x)=S2(x)

S(0)0 et sur un voisinage de 0

0xS(t)S2(t)dt=0xdt=x.

Sachant que S(0)=1, on obtient

S(x)=11-x.

On en tire tire

an=n!  pour tout n.
 
Exercice 6  1011   Correction  

On pose a0=1 et pour tout n,

an+1=k=0nan-kak.
  • (a)

    En admettant que le rayon de convergence R de la série entière est strictement positif, calculer

    S(x)=n=0+anxnpour x]-R;R[.
  • (b)

    Calculer les an et préciser la valeur de R.

  • (c)

    Donner un équivalent de la suite (an).

Solution

  • (a)

    Si la série entière S est de rayon de convergence R>0, alors pour tout x]-R;R[ on a

    S(x)=a0+n=0+an+1xn+1=1+xn=0+k=0nakan-kxn.

    Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, on obtient

    S(x)=1+xS2(x).

    Pour x0, on obtient, après résolution

    S(x)=1±1-4x2x pour x<1/4.

    Posons ε(x) tel que

    S(x)=1+ε(x)1-4x2x.

    On a

    ε(x)=2xS(x)-11-4x.

    La fonction ε est continue sur ]-R;0[]0;min(R,1/4)[ et ne prend que les valeurs -1 ou 1. On en déduit que cette fonction ε est constante et puisque S converge quand x0+/-, on peut affirmer que ε est constante égale à -1 car négative au voisinage de 0.

    Finalement,

    S(x)=1-1-4x2x et S(0)=1.
  • (b)

    Après développement en série entière de 1-4x, on obtient

    1-1-4x2x=n=0+bnxn

    avec

    bn=1n+1(2nn)

    et R=1/4. Puisque la fonction

    T:x1-1-4x2x

    vérifie l’équation xT2(x)=T(x)-1, la reprise des calculs précédents (sachant R>0) assure que les coefficients bn vérifient

    b0=1etbn+1=k=0nbn-kbkpour tout n.

    On en déduit an=bn pour tout n car les conditions qui précèdent déterminent une suite de façon unique.

  • (c)

    Par la formule de Stirling,

    ann+22nπn3/2.
 
Exercice 7  5076     MINES (PSI)

Soient (α,β)2 et (un)n la suite déterminée par

u0=α,u1=βetun+2=un+1+2(n+1)unpour tout n.

Déterminer une fonction S: de classe 𝒞 telle que

S(n)(0)=unpour tout n.
 
Exercice 8  5077      MINES (PSI)

(Nombres de Bell)

Soit (Bn)n0 la suite déterminée11 1 Bn est le nombre de partitions possibles dans un ensemble fini à n éléments (voir le sujet 4443.) par

B0=1etBn+1=k=0n(nk)Bkpour tout n.
  • (a)

    Montrer que la série entière Bnn!xn est de rayon de convergence R1.

  • (b)

    Vérifier

    n=0+Bnn!xn=eex-1pour tout x]-R;R[.
  • (c)

    En déduire

    Bn=1ek=0+knk!pour tout n.
 
Exercice 9  2451      CENTRALE (MP)Correction  

On note N(n,p) le nombre de permutations de 1;n qui ont exactement p points fixes. On pose en particulier D(n)=N(n,0), puis

f(x)=n=0+D(n)n!xn.
  • (a)

    Relier N(n,p) et D(np).

  • (b)

    Justifier que f est au moins définie sur ]1;1[ et calculer f sur cet intervalle.

  • (c)

    Calculer N(n,p).

  • (d)

    Étudier la limite de la suite (1n!N(n,p))n.

Solution

Notons que D(n) correspond au nombre de permutations de 1;n ne possédant aucun point fixe (on parle de dérangement).

  • (a)

    Pour former une permutation de 1;n possédant exactement p points fixes, on détermine ceux-ci ((np) possibilités) puis on considère un dérangement sur les autres éléments (D(np) possibilités):

    N(n,p)=(np)D(np).
  • (b)

    La fonction f est la somme d’une série entière. Notons R son rayon de convergence.

    On remarque 0D(n)Card(𝒮n)=n! donc

    |D(n)n!|1.

    Cela implique R1: la série entière définissant f converge au moins sur ]1;1[.

    En dénombrant les permutations selon le nombre de leurs points fixes, on a

    p=0nN(n,p)=n!.

    On en déduit la relation

    p=0nDnpp!(np)!=1.

    Par produit de Cauchy, on obtient alors

    exf(x)=(n=0+1n!xn)(n=0+D(n)n!xn)=n=0+(k=0nDnkk!(nk)!)xn=n=0+xn=11x

    puis

    f(x)=ex1xpour tout x]1;1[.
  • (c)

    Par produit de Cauchy,

    ex1x=(n=0+(1)nn!xn)(n=0+xn)=n=0+k=0n(1)kk!xn.

    Par unicité des coefficients d’un développement en série entière,

    Dn=n!k=0n(1)kk!

    puis

    N(n,p)=n!p!k=0np(1)kk!.
  • (d)

    Finalement,

    1n!N(n,p)n+1ep!.
 
Exercice 10  2849      CENTRALE (MP)

Une involution sur un ensemble E est une application f:EE vérifiant ff=IdE. Pour n1, on note In le nombre d’involutions de 1;n. On convient: I0=1.

  • (a)

    Montrer In=In-1+(n-1)In-2 pour tout n2.

  • (b)

    Établir la convergence pour tout x]-1;1[ de la série entière

    n0Inn!xn.

On note S(x) sa somme.

  • (c)

    Pour x]-1;1[, vérifier S(x)=(1+x)S(x).

  • (d)

    En déduire une expression de S(x) puis les relations

    I2p=k=0p(2k)!2kk!(2p2k)etI2p+1=k=0p(2k)!2kk!(2p+12k)pour tout p.

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Édité le 08-12-2023

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