[<] Calcul de sommes de séries entières [>] Application à la régulatité d'un prolongement continu

 
Exercice 1  4737   

En introduisant la série entière anxn, déterminer le terme général de la suite récurrente (an) définie par

a0=1etan+1=ann+1+(-1)n(n+1)!pour tout n.
 
Exercice 2  1010   Correction  
  • (a)

    Former le développement en série entière en 0 de

    x1(1-x)(1-x2).
  • (b)

    Soit (un) vérifiant

    n,un+3=un+2+un+1-un.

    Exprimer le terme général de la suite (un) en fonction de ses premiers termes.

Solution

  • (a)

    Pour |x|<1,

    11-x11-x2=n=0+xnn=0+x2n.

    Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes,

    1(1-x)(1-x2)=n=0+anxn

    avec

    an=Card{(k,)2|k+2=n}=n/2+1.
  • (b)

    Analyse: Introduisons la série entière unxn de somme S et de rayon de convergence R.
    Pour tout n,

    un+3xn+3=un+2xn+3+un+1xn+3-unxn+3.

    En sommant, on obtient pour |x|<R,

    S(x)-(u0+u1x+u2x2)=x(S(x)-u0-u1x)+x2(S(x)-u0)-x3S(x).

    On en déduit

    S(x)=u0(1-x-x2)(1-x)(1-x2)+u1x1-x2+u2x2(1-x)(1-x2).

    Synthèse: Considérons la fonction

    f:xu0(1-x-x2)(1-x)(1-x2)+u1x1-x2+u2x2(1-x)(1-x2)

    f est une fonction rationnelle donc 0 n’est pas pôle, elle est développable en série entière sur ]-1;1[.
    Puisque cette fonction vérifie la relation

    f(x)-(u0+u1x+u2x2)=x(f(x)-u0-u1x)+x2(f(x)-u0)-x3f(x)

    les coefficients un de son développement en séries entières vérifient

    x]-1;1[,n=0+un+3xn+3=n=0+(un+2+un+1-un)xn+3.

    Par identification des coefficients de séries entières de sommes égales sur ]-1;1[, on obtient

    n,un+3=un+2+un+1-un.

    Ceci détermine alors entièrement la suite (un) moyennant la connaissance des coefficients u0,u1,u2.
    Pour exprimer un, il ne reste plus qu’à former le développement en série entière de f.

    (1-x-x2)(1-x)(1-x2)=1-x3(1-x)(1-x2)=1-n=0+anxn+3.
    x1-x2=n=0+x2n+1 et x2(1-x)(1-x2)=n=0+anxn+2.

    On en déduit que pour n3,

    un=-u0an-3+u1εn+u2an-1

    avec εn=1 si n est impair et 0 sinon.

 
Exercice 3  4730   
  • (a)

    Former le développement en série entière sur ]-1;1[ de

    f(x)=1(1-x)(1-x2).
  • (b)

    En déduire une expression de

    an=Card{(j,k)2|j+2k=n}.
 
Exercice 4  2850     MINES (PC)Correction  

On consdère la suite (an) déterminée par

a0=1etan+1=k=0n(nk)an-kakpour tout n.

Calculer les an en utilisant la série entière de terme général ann!xn.

Solution

Posons bn=ann!.

b0=1et(n+1)bn+1=k=0nbn-kbk.

Notons S la somme de la série entière bnxn et posons R son rayon de convergence. Par récurrence, on vérifie |bn|1 et donc R1.

Sur ]-R;R[, la relation précédente donne par produit de Cauchy

S(x)=S2(x).

S(0)0 et sur un voisinage de 0

0xS(t)S2(t)dt=0xdt=x.

Sachant que S(0)=1, on obtient

S(x)=11-x.

On en tire tire

an=n!  pour tout n.
 
Exercice 5  1011   Correction  

On pose a0=1 et pour tout n,

an+1=k=0nan-kak.
  • (a)

    Donner une formule permettant de calculer

    S(x)=n=0+anxn.
  • (b)

    Calculer S(x).

  • (c)

    Calculer les an.

  • (d)

    Donner un équivalent de la suite (an).

Solution

  • (a)

    Si la série entière S est de rayon de convergence R>0, alors pour tout x]-R;R[ on a

    S(x)=a0+n=0+an+1xn+1=1+xn=0+k=0nakan-kxn.

    Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, on obtient

    S(x)=1+xS2(x).
  • (b)

    Pour x0, on obtient, après résolution

    S(x)=1±1-4x2x pour x<1/4.

    Posons ε(x) tel que

    S(x)=1+ε(x)1-4x2x.

    On a

    ε(x)=2xS(x)-11-4x.

    La fonction ε est continue sur ]-R;0[]0;min(R,1/4)[ et ne prend que les valeurs -1 ou 1. On en déduit que cette fonction ε est constante et puisque S converge quand x0+/-, on peut affirmer que ε est constante égale à -1 car négative au voisinage de 0.

    Finalement,

    S(x)=1-1-4x2x et S(0)=1.
  • (c)

    Après développement en série entière de 1-4x, on obtient

    1-1-4x2x=n=0+bnxn

    avec

    bn=1n+1(2nn)

    et R=1/4. Puisque la fonction

    T:x1-1-4x2x

    vérifie l’équation xT2(x)=T(x)-1, la reprise des calculs précédents (sachant R>0) assure que les coefficients bn vérifient

    b0=1etbn+1=k=0nbn-kbkpour tout n.

    On en déduit an=bn pour tout n car les conditions qui précèdent déterminent une suite de façon unique.

  • (d)

    Par la formule de Stirling,

    ann+22nπn3/2.
 
Exercice 6  5076     MINES (PSI)

Soient (α,β)2 et (un)n la suite déterminée par

u0=α,u1=βetun+2=un+1+2(n+1)unpour tout n.

Déterminer une fonction S: de classe 𝒞 telle que

S(n)(0)=unpour tout n.
 
Exercice 7  5077      MINES (PSI)

(Nombres de Bell)

Soit (Bn)n0 la suite déterminée11 1 Bn est le nombre de partitions possibles dans un ensemble fini à n éléments (voir le sujet 4443.) par

B0=1etBn+1=k=0n(nk)Bkpour tout n.
  • (a)

    Montrer que la série entière Bnn!xn est de rayon de convergence R1.

  • (b)

    Vérifier

    n=0+Bnn!xn=eex-1pour tout x]-R;R[.
  • (c)

    En déduire

    Bn=1ek=0+knk!pour tout n.
 
Exercice 8  2451      CENTRALE (MP)Correction  

On note N(n,p) le nombre de permutations de 1;n qui ont exactement p points fixes. On pose en particulier D(n)=N(n,0), puis

f(x)=n=0+D(n)n!xn.
  • (a)

    relier N(n,p) et D(n-p).

  • (b)

    Justifier la définition de f sur ]-1;1[ puis calculer f.

  • (c)

    Calculer N(n,p).

  • (d)

    Étudier la limite de (1n!N(n,p)) quand n tend vers +.

Solution

  • (a)
    N(n,p)=(np)D(n-p).
  • (b)

    D(n)n! donc |D(n)n!|1 qui implique R1.
    On a p=0nN(n,p)=n! donc p=0n1p!(n-p)!D(n-p)=1 d’où par produit de Cauchy exf(x)=11-x puis

    f(x)=e-x1-x.
  • (c)
    e-x1-x=n=0+k=0n(-1)kk!xn

    donc

    Dn=n!k=0n(-1)kk!

    puis

    N(n,p)=n!p!k=0n-p(-1)kk!.
  • (d)

    Finalement,

    1n!N(n,p)n+1ep!.
 
Exercice 9  2849      CENTRALE (MP)

Une involution sur un ensemble E est une application f:EE vérifiant ff=IdE. Pour n1, on note In le nombre d’involutions de 1;n. On convient: I0=1.

  • (a)

    Montrer In=In-1+(n-1)In-2 pour tout n2.

  • (b)

    Montrer la convergence pour tout x]-1;1[ de la série entière

    n0Inn!xn.

On note S(x) sa somme.

  • (c)

    Pour x]-1;1[, vérifier S(x)=(1+x)S(x).

  • (d)

    En déduire une expression de S(x) puis les relations

    I2p=k=0p(2k)!2kk!(2p2k)etI2p+1=k=0p(2k)!2kk!(2p+12k)pour tout p.

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Édité le 08-11-2019

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