[<] Calcul de sommes de séries entières [>] Application à la régulatité d'un prolongement continu
En introduisant la série entière , déterminer le terme général de la suite récurrente définie par
Former le développement en série entière en 0 de
Soit vérifiant
Exprimer le terme général de la suite en fonction de ses premiers termes.
Solution
Pour ,
Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes,
avec
Analyse: Introduisons la série entière de somme et de rayon de convergence .
Pour tout ,
En sommant, on obtient pour ,
On en déduit
Synthèse: Considérons la fonction
est une fonction rationnelle donc 0 n’est pas pôle, elle est développable en série entière sur .
Puisque cette fonction vérifie la relation
les coefficients de son développement en séries entières vérifient
Par identification des coefficients de séries entières de sommes égales sur , on obtient
Ceci détermine alors entièrement la suite moyennant la connaissance des coefficients .
Pour exprimer , il ne reste plus qu’à former le développement en série entière de .
On en déduit que pour ,
avec si est impair et 0 sinon.
Former le développement en série entière sur de
En déduire une expression de
Soit une suite réelle vérifiant
Déterminer et pour lesquels pour tout .
En déduire que le rayon de convergence de la série entière est strictement positif.
En calculant la somme de la série entière pour convenable, exprimer en fonction de .
Solution
Pour et , on établit par récurrence triple car
La série entière a pour rayon de convergence . Par comparaison des coefficients, le rayon de convergence de est au moins égal à .
Pour avec , on note la somme de la série .
Pour , on remarque
En sommant, il vient
ce qui donne
et donc
Par décomposition en éléments simples,
avec
En évaluant en ,
En considérant la limite de quand tend vers l’infini,
Enfin, par développement en série entière,
Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, il vient
En particulier, la suite est périodique de période : le calcul des premiers termes de la suite aurait suffit pour constater le phénomène.
On consdère la suite déterminée par
Calculer les en utilisant la série entière de terme général .
Solution
Posons .
Notons la somme de la série entière et posons son rayon de convergence. Par récurrence, on vérifie et donc .
Sur , la relation précédente donne par produit de Cauchy
et sur un voisinage de
Sachant que , on obtient
On en tire tire
On pose et pour tout ,
En admettant que le rayon de convergence de la série entière est strictement positif, calculer
Calculer les et préciser la valeur de .
Donner un équivalent de la suite .
Solution
Si la série entière est de rayon de convergence , alors pour tout on a
Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, on obtient
Pour , on obtient, après résolution
Posons tel que
On a
La fonction est continue sur et ne prend que les valeurs ou 1. On en déduit que cette fonction est constante et puisque converge quand , on peut affirmer que est constante égale à car négative au voisinage de 0.
Finalement,
Après développement en série entière de , on obtient
avec
et . Puisque la fonction
vérifie l’équation , la reprise des calculs précédents (sachant ) assure que les coefficients vérifient
On en déduit pour tout car les conditions qui précèdent déterminent une suite de façon unique.
Par la formule de Stirling,
Soient et la suite déterminée par
Déterminer une fonction de classe telle que
(Nombres de Bell)
Soit la suite déterminée11 1 est le nombre de partitions possibles dans un ensemble fini à éléments (voir le sujet 4443.) par
Montrer que la série entière est de rayon de convergence .
Vérifier
En déduire
On note le nombre de permutations de qui ont exactement points fixes. On pose en particulier , puis
Relier et .
Justifier que est au moins définie sur et calculer sur cet intervalle.
Calculer .
Étudier la limite de la suite .
Solution
Notons que correspond au nombre de permutations de ne possédant aucun point fixe (on parle de dérangement).
Pour former une permutation de possédant exactement points fixes, on détermine ceux-ci ( possibilités) puis on considère un dérangement sur les autres éléments ( possibilités):
La fonction est la somme d’une série entière. Notons son rayon de convergence.
On remarque donc
Cela implique : la série entière définissant converge au moins sur .
En dénombrant les permutations selon le nombre de leurs points fixes, on a
On en déduit la relation
Par produit de Cauchy, on obtient alors
puis
Par produit de Cauchy,
Par unicité des coefficients d’un développement en série entière,
puis
Finalement,
Une involution sur un ensemble est une application vérifiant . Pour , on note le nombre d’involutions de . On convient: .
Montrer pour tout .
Établir la convergence pour tout de la série entière
On note sa somme.
Pour , vérifier .
En déduire une expression de puis les relations
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Édité le 08-12-2023
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