Exercice 1 4737

En introduisant la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ , déterminer le terme général de la suite récurrente $(a_{n})$ définie par

a_{0} = 1 et a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{n + 1} + \frac{{(- 1)}^{n}}{(n + 1)!} pour tout n \in ℕ .

Exercice 2 1010 Correction

(a)

Former le développement en série entière en 0 de

$x \mapsto \frac{1}{(1 - x) (1 - x^{2})} .$
(b)

Soit $(u_{n}) \in ℂ^{ℕ}$ vérifiant

$\forall n \in ℕ, u_{n + 3} = u_{n + 2} + u_{n + 1} - u_{n} .$

Exprimer le terme général de la suite $(u_{n})$ en fonction de ses premiers termes.

Solution

(a)

Pour $| x | < 1$ ,

$\frac{1}{1 - x} \frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n} \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{2 n} .$

Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes,

$\frac{1}{(1 - x) (1 - x^{2})} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$

avec

$a_{n} = Card {(k, ℓ) \in ℕ^{2} | k + 2 ℓ = n} = ⌊ n / 2 ⌋ + 1 .$
(b)

Analyse: Introduisons la série entière $\sum u_{n} x^{n}$ de somme $S$ et de rayon de convergence $R$ .
Pour tout $n \in ℕ$ ,

$u_{n + 3} x^{n + 3} = u_{n + 2} x^{n + 3} + u_{n + 1} x^{n + 3} - u_{n} x^{n + 3} .$

En sommant, on obtient pour $| x | < R$ ,

$S (x) - (u_{0} + u_{1} x + u_{2} x^{2}) = x (S (x) - u_{0} - u_{1} x) + x^{2} (S (x) - u_{0}) - x^{3} S (x) .$

On en déduit

$S (x) = u_{0} \frac{(1 - x - x^{2})}{(1 - x) (1 - x^{2})} + u_{1} \frac{x}{1 - x^{2}} + u_{2} \frac{x^{2}}{(1 - x) (1 - x^{2})} .$

Synthèse: Considérons la fonction

$f : x \mapsto u_{0} \frac{(1 - x - x^{2})}{(1 - x) (1 - x^{2})} + u_{1} \frac{x}{1 - x^{2}} + u_{2} \frac{x^{2}}{(1 - x) (1 - x^{2})}$

$f$ est une fonction rationnelle donc 0 n’est pas pôle, elle est développable en série entière sur $] - 1; 1 [$ .
Puisque cette fonction vérifie la relation

$f (x) - (u_{0} + u_{1} x + u_{2} x^{2}) = x (f (x) - u_{0} - u_{1} x) + x^{2} (f (x) - u_{0}) - x^{3} f (x)$

les coefficients $u_{n}$ de son développement en séries entières vérifient

$\forall x \in] - 1; 1 [, \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n + 3} x^{n + 3} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (u_{n + 2} + u_{n + 1} - u_{n}) x^{n + 3} .$

Par identification des coefficients de séries entières de sommes égales sur $] - 1; 1 [$ , on obtient

$\forall n \in ℕ, u_{n + 3} = u_{n + 2} + u_{n + 1} - u_{n} .$

Ceci détermine alors entièrement la suite $(u_{n})$ moyennant la connaissance des coefficients $u_{0}, u_{1}, u_{2}$ .
Pour exprimer $u_{n}$ , il ne reste plus qu’à former le développement en série entière de $f$ .

$\frac{(1 - x - x^{2})}{(1 - x) (1 - x^{2})} = 1 - \frac{x^{3}}{(1 - x) (1 - x^{2})} = 1 - \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n + 3} .$

$\frac{x}{1 - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{2 n + 1} et \frac{x^{2}}{(1 - x) (1 - x^{2})} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n + 2} .$

On en déduit que pour $n \geq 3$ ,

$u_{n} = - u_{0} a_{n - 3} + u_{1} ε_{n} + u_{2} a_{n - 1}$

avec $ε_{n} = 1$ si $n$ est impair et 0 sinon.

Exercice 3 4730

(a)

Former le développement en série entière sur $] - 1; 1 [$ de

$f (x) = \frac{1}{(1 - x) (1 - x^{2})} .$
(b)

En déduire une expression de

$a_{n} = Card {(j, k) \in ℕ^{2} | j + 2 k = n} .$

Exercice 4 6100 Correction

Soit ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ la suite déterminée par

a_{0} = a_{1} = 1 et \forall n \in ℕ, a_{n + 2} = a_{n + 1} + \frac{a_{n}}{n + 2}

(a)

Montrer que la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ a pour rayon de convergence $R = 1$ .
(b)

Calculer $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ pour tout $x \in] - 1; 1 [$ .
(c)

Établir

$a_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{n}{e}$

Solution

(a)

On vérifie par récurrence

$\forall n \in ℕ, 1 ⩽ a_{n} ⩽ n + 1$

Les séries entières $\sum x^{n}$ et $\sum (n + 1) x^{n}$ ont pour rayon de convergence $1$ et donc, par encadrement, $R = 1$ .
(b)

En multipliant la relation de récurrence par $n + 2$ , on obtient pour tout $n \in ℕ$ ,

$(n + 2) a_{n + 2} = (n + 1) a_{n + 1} + a_{n + 1} + a_{n}$

Soit $x \in] - 1; 1 [$ . On multiplie la relation précédente par $x^{n + 1}$ puis on somme pour tout $n \in ℕ$ . Les séries considérées étant absolument convergentes pour $x \in] - 1; 1 [$ , on peut sommer terme à terme

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 2) a_{n + 2} x^{n + 1} = x \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n + 1} x^{n + 1} + x \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$

En notant $S$ la somme de la série entière, on obtient

$S^{'} (x) - a_{1} = x S^{'} (x) + S (x) - a_{0} + x S (x)$

et donc

$(1 - x) S^{'} (x) = (1 + x) S (x)$

La fonction $S$ est alors solution de l’équation différentielle

$y^{'} = \frac{1 + x}{1 - x} y$

Après résolution, la fonction $S$ s’exprime

$S (x) = λ e^{- x - 2 \ln (1 - x)} = \frac{λ e^{- x}}{{(1 - x)}^{2}}$

Sachant $λ = S (0) = a_{0} = 1$ , on conclut

$\forall x \in] - 1; 1 [, S (x) = \frac{e^{- x}}{{(1 - x)}^{2}}$
(c)

On peut encore écrire

$\forall x \in] - 1; 1 [, S (x) = e^{- x} \times \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} = (\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n!} x^{n}) (\sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) x^{n})$

Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes,

$\forall x \in] - 1; 1 [, S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} [\sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{k!} (n + 1 - k)] x^{n}$

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière au voisinage de $0$ ,

$\forall n \in ℕ, a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{k!} (n + 1 - k)$

On réécrit

$a_{n} = (n + 1) \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{k!} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{(k - 1)!}$

Puisque

$\sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{k!} \to_{n \to + \infty}^{} e^{- 1}$

et

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{(k - 1)!} = - \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{{(- 1)}^{k}}{k!} \to_{n \to + \infty}^{} - e^{- 1}$

on conclut

$a_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{n}{e}$

Exercice 5 5906 Correction

Soit ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite réelle vérifiant

\forall n \in ℕ, a_{n + 3} = a_{n + 2} - a_{n + 1} + a_{n} .

(a)

Déterminer $α > 0$ et $M > 0$ pour lesquels $| a_{n} | \leq M α^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .
(b)

En déduire que le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ est strictement positif.
(c)

En calculant la somme de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ pour $x$ convenable, exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$ .

Solution

(a)

Pour $M = \max {| a_{0} |, | a_{1} | / α, | a_{2} | / α^{2}} + 1$ et $α = 3$ , on établit par récurrence triple $| a_{n} | \leq M α^{n}$ car

$| a_{n + 3} | \leq | a_{n + 2} | + | a_{n + 1} | + | a_{n + 2} | .$
(b)

La série entière $\sum M α^{n} x^{n}$ a pour rayon de convergence $R = \frac{1}{α}$ . Par comparaison des coefficients, le rayon de convergence de $\sum a_{n} x^{n}$ est au moins égal à $1 / α$ .
(c)

Pour $x \in ℝ$ avec $| x | < 1 / α$ , on note $S (x)$ la somme de la série $\sum a_{n} x^{n}$ .

Pour $n \in ℕ$ , on remarque

$a_{n + 3} x^{n + 3} = x \cdot a_{n + 2} x^{n + 2} - x^{2} \cdot a_{n + 1} x^{n + 1} + x^{3} \cdot a_{n} x^{n} .$

En sommant, il vient

$S (x) - (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}) = x (S (x) - (a_{0} + a_{1} x)) - x^{2} (S (x) - a_{0}) + x^{3} \cdot S (x)$

ce qui donne

$(1 - x + x^{2} - x^{3}) S (x) = a_{0} + (a_{1} - a_{0}) x + (a_{2} - a_{1} + a_{0}) x^{2}$

et donc

$S (x) = \frac{a_{0} + (a_{1} - a_{0}) x + (a_{2} - a_{1} + a_{0}) x^{2}}{(1 - x) (1 + x^{2})} .$

Par décomposition en éléments simples,

$S (x) = \frac{α}{1 - x} + \frac{β x + γ}{1 + x^{2}}$

avec

$α = {\frac{a_{0} + (a_{1} - a_{0}) x + (a_{2} - a_{1} + a_{0}) x^{2}}{1 + x^{2}} |}_{x = 1} = \frac{a_{0} + a_{2}}{2} .$

En évaluant en $0$ ,

$α + γ = a_{0} donc γ = \frac{a_{0} - a_{2}}{2} .$

En considérant la limite de $x S (x)$ quand $x$ tend vers l’infini,

$- α + β = - (a_{2} - a_{1} + a_{0}) donc β = \frac{- a_{0} + 2 a_{1} - a_{2}}{2} .$

Enfin, par développement en série entière,

$S (x)$ $= \sum_{n = 0}^{+ \infty} α x^{n} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{n} (β x + γ) x^{2 n}$

$= \sum_{n = 0}^{+ \infty} (α + {(- 1)}^{n} γ) x^{2 n} + (α + {(- 1)}^{n} β) x^{2 n + 1} .$

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, il vient

$a_{2 n}$ $= α + {(- 1)}^{n} γ = \frac{1 + {(- 1)}^{n}}{2} a_{0} + \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2} a_{2}$

$a_{2 n + 1}$ $= α + {(- 1)}^{n} β = \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2} a_{0} + {(- 1)}^{n} a_{1} + \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2} a_{2} .$

En particulier, la suite est périodique de période $4$ : le calcul des premiers termes de la suite aurait suffit pour constater le phénomène.

Exercice 6 6178 CCP (MP)Correction

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 3$ et

\forall n \in ℕ, u_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) u_{k} u_{n - k} .

(a)

Montrer que

$\forall n \in ℕ, 0 ⩽ u_{n} ⩽ 4^{n + 1} n! .$
(b)

On pose

$f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{u_{n}}{n!} x^{n} .$

Montrer que $f$ est solution de $f^{'} = f^{2}$ sur un intervalle à préciser.
(c)

Exprimer $f$ à l’aide des fonctions usuelles.
(d)

Donner l’expression de $(u_{n})$ en fonction de $n$ .

Solution

(a)

Par récurrence forte sur $n \in ℕ$ .

Pour $n = 0$ , l’inégalité $0 ⩽ u_{0} ⩽ 4$ est immédiate.

Supposons la propriété vraie jusqu’au rang $n \in ℕ$ .

On a

$0 ⩽ u_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) u_{k} u_{n - k} ⩽ \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) 4^{k + 1} k! 4^{n + 1 - k} (n - k)! = \sum_{k = 0}^{n} n! 4^{n + 2} = (n + 1)! 4^{n + 2} .$

La récurrence est établie.
(b)

Pour $n \in ℕ$ ,

$0 ⩽ \frac{u_{n}}{n!} ⩽ 4^{n + 1} .$

Or $\sum 4^{n + 1} x^{n}$ a pour rayon de convergence $1 / 4$ . La série entière définissant $f$ est donc de rayon de convergence $R ⩾ 1 / 4$ .

Pour $x \in] - 1 / 4; 1 / 4 [$ ,

$f^{'} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{u_{n + 1}}{n!} x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{u_{k}}{k!} \cdot \frac{u_{n - k}}{(n - k)!} x^{n} .$

Par produit de Cauchy de deux séries entières,

${(f (x))}^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{u_{k}}{k!} \cdot \frac{u_{n - k}}{(n - k)!} x^{n}$

et donc $f^{'} (x) = {(f (x))}^{2}$ .
(c)

On remarque $f (0) = 3 > 0$ . Soit $] a; b [\subset] - 1 / 4; 1 / 4 [$ un intervalle voisinage de $0$ sur lequel $f (x) > 0$ . On a

$\forall x \in] a; b [, \frac{f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = 1 .$

Il existe donc $c \in ℝ$ tel que

$\forall x \in] a; b [, - \frac{1}{f (x)} = x + c .$

Puisque $f (0) = 3$ , on obtient $c = - 1 / 3$ puis

$\forall x \in] a; b [, f (x) = \frac{3}{1 - 3 x}$

(et l’on en déduit $] - 1 / 4; 1 / 4 [\subset] a; b [$ ).
(d)

Par développement en série entière,

$\forall x \in] - 1 / 3; 1 / 3 [, \frac{3}{1 - 3 x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} 3^{n + 1} x^{n} .$

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière,

$\forall n \in ℕ, u_{n} = 3^{n + 1} n! .$

Exercice 7 1011 Correction

On pose $a_{0} = 1$ et pour tout $n \in ℕ$ ,

a_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} a_{k} .

(a)

En admettant que le rayon de convergence $R$ de la série entière est strictement positif, calculer

$S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} pour x \in] - R; R [.$
(b)

Calculer les $a_{n}$ et préciser la valeur de $R$ .
(c)

Donner un équivalent de la suite $(a_{n})$ .

Solution

(a)

Si la série entière $S$ est de rayon de convergence $R > 0$ , alors pour tout $x \in] - R; R [$ on a

$S (x) = a_{0} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n + 1} x^{n + 1} = 1 + x \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} a_{n - k} x^{n} .$

Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, on obtient

$S (x) = 1 + x S^{2} (x) .$

Pour $x \neq 0$ , on obtient, après résolution

$S (x) = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 x}}{2 x} pour x < 1 / 4 .$

Posons $ε (x)$ tel que

$S (x) = \frac{1 + ε (x) \sqrt{1 - 4 x}}{2 x} .$

On a

$ε (x) = \frac{2 x S (x) - 1}{\sqrt{1 - 4 x}} .$

La fonction $ε$ est continue sur $] - R; 0 [\cup] 0; \min (R,1 / 4) [$ et ne prend que les valeurs $- 1$ ou 1. On en déduit que cette fonction $ε$ est constante et puisque $S$ converge quand $x \to 0^{+, / -}$ , on peut affirmer que $ε$ est constante égale à $- 1$ car négative au voisinage de 0.

Finalement,

$S (x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 x}}{2 x} et S (0) = 1 .$
(b)

Après développement en série entière de $\sqrt{1 - 4 x}$ , on obtient

$\frac{1 - \sqrt{1 - 4 x}}{2 x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} x^{n}$

avec

$b_{n} = \frac{1}{n + 1} (\binom{2 n}{n})$

et $R = 1 / 4$ . Puisque la fonction

$T : x \mapsto \frac{1 - \sqrt{1 - 4 x}}{2 x}$

vérifie l’équation $x T^{2} (x) = T (x) - 1$ , la reprise des calculs précédents (sachant $R > 0$ ) assure que les coefficients $b_{n}$ vérifient

$b_{0} = 1 et b_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} b_{n - k} b_{k} pour tout n \in ℕ .$

On en déduit $a_{n} = b_{n}$ pour tout $n \in ℕ$ car les conditions qui précèdent déterminent une suite de façon unique.
(c)

Par la formule de Stirling,

$a_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{2^{2 n}}{\sqrt{π} n^{3 / 2}} .$

Exercice 8 6180 CCP (MP)Correction

Soit ${(c_{n})}_{n \in ℕ}$ la suite déterminée par

c_{0} = 0, c_{1} = 1 et \forall n ⩾ 2, c_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} c_{k} c_{n - k} .

On pose

f (x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} c_{k} x^{k}

et on admet que le rayon de convergence $R$ de cette série entière est strictement positif.

(a)

Montrer que pour tout $x \in] - R; R [$ , $f^{2} (x) = f (x) - x$ . Déterminer $f (0)$ .
(b)

Montrer qu’au voisinage de $0$ ,

$f (x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 x}}{2} .$
(c)

Préciser $R$ .
(d)

Développer $\sqrt{1 + x}$ au voisinage de $0$ . En déduire que:

$\forall n ⩾ 1, c_{n} = \frac{(2 n - 2)!}{(n - 1)! n!} .$

Solution

(a)

Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, on obtient pour tout $x \in] - R; R [$ ,

${(f (x))}^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} c_{k} c_{n - k} x^{n} .$

Puisque $c_{0} = 0$ , on simplifie

${(f (x))}^{2} = \sum_{n = 2}^{+ \infty} \sum_{k = 1}^{n - 1} c_{k} c_{n - k} x^{n} = \sum_{n = 2}^{+ \infty} c_{n} x^{n} = f (x) - c_{1} x .$

On obtient donc $f^{2} (x) = f (x) - x$ . Au surplus, $f (0) = c_{0} = 0$ .
(b)

Pour $x$ au voisinage de $0$ , le discriminant de l’équation $X^{2} - X + x = 0$ vaut $Δ = 1 - 4 x > 0$ cette équation possède donc deux solutions

$X_{1} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 x}}{2} et X_{2} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4 x}}{2} .$

Il existe alors $ε (x) \in {1, - 1}$ tel que, au voisinage de $0$ ,

$f (x) = \frac{1 - ε (x) \sqrt{1 - 4 x}}{2} .$

La fonction $f$ étant continue, la fonction $ε$ l’est aussi et c’est donc une fonction constante. Puisque $f (0) = 0$ , cette fonction est constante égale à $- 1$ .
(c)

La fonction $g : x \mapsto \frac{1 - \sqrt{1 - 4 x}}{2}$ est définie sur $] - \infty; 1 / 4 [$ et développable en série entière avec un rayon de convergence égale à $R^{'} = 1 / 4$ . Puisque les fonctions $f$ et $g$ co$̈\mathrm{i}$ncident au voisinage de $0$ , les coefficients de leurs développements sont égaux et donc $R = R^{'} = 1 / 4$ .
(d)

À partir du développement connu de ${(1 + x)}^{α}$ avec $α = 1 / 2$ , on obtient

$\forall x \in] - 1; 1 [, \sqrt{1 + x}$ $= 1 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sum_{n = 2}^{+ \infty} {(- 1)}^{n - 1} \frac{\frac{1}{2} \times \dots \times \frac{2 n - 3}{2}}{n!} x^{n}$

$= 1 + \frac{1}{2} x + \sum_{n = 2}^{+ \infty} {(- 1)}^{n - 1} \frac{(2 n - 2)!}{2^{2 n - 1} (n - 1)! n!} x^{n} .$

On en déduit

$\forall x \in] - 1; 1 [, f (x) = x + \sum_{n = 2}^{+ \infty} {(- 1)}^{n} \frac{(2 n - 2)!}{2^{2 n - 1} (n - 1)! n!} {(- 4 x)}^{n} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(2 n - 2)!}{(n - 1)! n!} x^{n} .$

On peut alors conclure par unicité des coefficients d’un développement en série entière.

Exercice 9 5076 MINES (PSI)

Soient $(α, β) \in ℝ^{2}$ et ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ la suite déterminée par

u_{0} = α, u_{1} = β et u_{n + 2} = u_{n + 1} + 2 (n + 1) u_{n} pour tout n \in ℕ .

Déterminer une fonction $S : ℝ \to ℝ$ de classe $𝒞^{\infty}$ telle que

S^{(n)} (0) = u_{n} pour tout n \in ℕ .

Exercice 10 6177 CCP (MP)Correction

On pose $d_{0} = 1$ , $d_{1} = \frac{1}{2}$ et :

\forall n ⩾ 2, d_{n} = | \begin{matrix} \frac{n}{n + 1} & \frac{1}{\sqrt{n + 1}} & 0 & \dots & 0 \\ - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & \frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \dots & 0 & - \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{2} \end{matrix} | .

(a)

Calculer $d_{2}$ et $d_{3}$ .
(b)

Montrer que

$\forall n ⩾ 2, (n + 1) d_{n} = n d_{n - 1} + d_{n - 2} .$
(c)

En déduire une information sur le rayon de convergence de $\sum d_{n} x^{n + 1}$ .
(d)

On pose

$f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} d_{n} x^{n + 1} .$

On admet que $f$ vérifie l’équation :

$(E) : (1 - x) f^{'} (x) - x f (x) = 1 .$

Montrer que

$f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 - x} .$

En déduire une expression de $d_{n}$ en fonction de $n$ .

Solution

(a)

$d_{2} = | \begin{matrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ - \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{2} \end{matrix} | = \frac{2}{3} et d_{3} = | \begin{matrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & - \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{2} \end{matrix} | = \frac{3}{4} d_{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{4} = \frac{5}{8} .$
(b)

En développant le déterminant selon la démarche des déterminants tridiagonaux,

$d_{n} = \frac{n}{n + 1} d_{n - 1} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{n + 1}} d_{n - 2}$

ce qui produit la relation proposée.
(c)

Par récurrence double, on établit $0 ⩽ d_{n} ⩽ 1$ . On en déduit $R ⩾ 1$ puisque la suite des coefficients de la série entière est bornée.
(d)

On pose

$g (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 - x} pour x \in] - 1; 1 [.$

On a $(1 - x) g (x) = 1 - e^{- x}$ donc

$(1 - x) g^{'} (x) - g (x) = e^{- x} = 1 - (1 - x) g (x) .$

Ainsi, $g$ est solution de $(E)$ . Aussi $g (0) = 0 = f (0)$ .

Les fonctions $f$ et $g$ sont les solutions d’un même problème de Cauchy attaché à une équation différentielle linéaire d’ordre $1$ donc $f = g$ .

Par opérations sur les développements en série entière,

$f (x) = (\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(n + 1)!} x^{n + 1}) (\sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{(k + 1)!} x^{n + 1} .$

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on obtient

$\forall n \in ℕ, d_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{(k + 1)!} .$

Exercice 11 5077 MINES (PSI)

(Nombres de Bell)

Soit ${(B_{n})}_{n \geq 0}$ la suite déterminée¹¹ 1 $B_{n}$ est le nombre de partitions possibles dans un ensemble fini à $n$ éléments (voir le sujet 4443.) par

B_{0} = 1 et B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) B_{k} pour tout n \in ℕ .

(a)

Montrer que la série entière $\sum \frac{B_{n}}{n!} x^{n}$ est de rayon de convergence $R \geq 1$ .
(b)

Vérifier

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{B_{n}}{n!} x^{n} = e^{e^{x} - 1} pour tout x \in] - R; R [.$
(c)

En déduire

$B_{n} = \frac{1}{e} \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{k^{n}}{k!} pour tout n \in ℕ .$

Exercice 12 2451 CENTRALE (MP)Correction

On note $N (n, p)$ le nombre de permutations de $⟦ 1; n ⟧$ qui ont exactement $p$ points fixes. On pose en particulier $D (n) = N (n, 0)$ , puis

f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{D (n)}{n!} x^{n} .

(a)

Relier $N (n, p)$ et $D (n - p)$ .
(b)

Justifier que $f$ est au moins définie sur $] - 1; 1 [$ et calculer $f$ sur cet intervalle.
(c)

Calculer $N (n, p)$ .
(d)

Étudier la limite de la suite ${(\frac{1}{n!} N (n, p))}_{n \in ℕ}$ .

Solution

Notons que $D (n)$ correspond au nombre de permutations de $⟦ 1; n ⟧$ ne possédant aucun point fixe (on parle de dérangement).

(a)

Pour former une permutation de $⟦ 1; n ⟧$ possédant exactement $p$ points fixes, on détermine ceux-ci ( $(\binom{n}{p})$ possibilités) puis on considère un dérangement sur les autres éléments ( $D (n - p)$ possibilités):

$N (n, p) = (\binom{n}{p}) D (n - p) .$
(b)

La fonction $f$ est la somme d’une série entière. Notons $R$ son rayon de convergence.

On remarque $0 \leq D (n) \leq Card (𝒮_{n}) = n!$ donc

$| \frac{D (n)}{n!} | \leq 1 .$

Cela implique $R \geq 1$ : la série entière définissant $f$ converge au moins sur $] - 1; 1 [$ .

En dénombrant les permutations selon le nombre de leurs points fixes, on a

$\sum_{p = 0}^{n} N (n, p) = n! .$

On en déduit la relation

$\sum_{p = 0}^{n} \frac{D (n - p)}{p! (n - p)!} = 1 .$

Par produit de Cauchy, on obtient alors

$e^{x} f (x) = (\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} x^{n}) (\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{D (n)}{n!} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (\sum_{k = 0}^{n} \frac{D (n - k)}{k! (n - k)!}) x^{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}$

puis

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 - x} pour tout x \in] - 1; 1 [.$
(c)

Par produit de Cauchy,

$\frac{e^{- x}}{1 - x} = (\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n!} x^{n}) (\sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{k!} x^{n} .$

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière,

$D_{n} = n! \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{k!}$

puis

$N (n, p) = \frac{n!}{p!} \sum_{k = 0}^{n - p} \frac{{(- 1)}^{k}}{k!} .$
(d)

Finalement,

$\frac{1}{n!} N (n, p) \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{e \cdot p!} .$

Exercice 13 2849 CENTRALE (MP)

Une involution sur un ensemble $E$ est une application $f : E \to E$ vérifiant $f \circ f = {Id}_{E}$ . Pour $n \geq 1$ , on note $I_{n}$ le nombre d’involutions de $⟦ 1; n ⟧$ . On convient: $I_{0} = 1$ .

(a)

Montrer $I_{n} = I_{n - 1} + (n - 1) I_{n - 2}$ pour tout $n \geq 2$ .
(b)

Établir la convergence pour tout $x \in] - 1; 1 [$ de la série entière

$\sum_{n \geq 0} \frac{I_{n}}{n!} x^{n} .$

On note $S (x)$ sa somme.

(c)

Pour $x \in] - 1; 1 [$ , vérifier $S^{'} (x) = (1 + x) S (x)$ .
(d)

En déduire une expression de $S (x)$ puis les relations

$I_{2 p} = \sum_{k = 0}^{p} \frac{(2 k)!}{2^{k} k!} (\binom{2 p}{2 k}) et I_{2 p + 1} = \sum_{k = 0}^{p} \frac{(2 k)!}{2^{k} k!} (\binom{2 p + 1}{2 k}) pour tout p \in ℕ .$

[<] Calcul de sommes de séries entières [>] Application à la régulatité d'un prolongement continu

Édité le 18-06-2026

	$S (x)$	$= \sum_{n = 0}^{+ \infty} α x^{n} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{n} (β x + γ) x^{2 n}$
		$= \sum_{n = 0}^{+ \infty} (α + {(- 1)}^{n} γ) x^{2 n} + (α + {(- 1)}^{n} β) x^{2 n + 1} .$

	$a_{2 n}$	$= α + {(- 1)}^{n} γ = \frac{1 + {(- 1)}^{n}}{2} a_{0} + \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2} a_{2}$
	$a_{2 n + 1}$	$= α + {(- 1)}^{n} β = \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2} a_{0} + {(- 1)}^{n} a_{1} + \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2} a_{2} .$

	$\forall x \in] - 1; 1 [, \sqrt{1 + x}$	$= 1 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sum_{n = 2}^{+ \infty} {(- 1)}^{n - 1} \frac{\frac{1}{2} \times \dots \times \frac{2 n - 3}{2}}{n!} x^{n}$
		$= 1 + \frac{1}{2} x + \sum_{n = 2}^{+ \infty} {(- 1)}^{n - 1} \frac{(2 n - 2)!}{2^{2 n - 1} (n - 1)! n!} x^{n} .$

Application à la détermination du terme général d'une suite