Exercice 1 4727

Déterminer les rayons de convergence des séries entières qui suivent:

(a)

$\sum \frac{{(- 1)}^{\frac{n (n + 1)}{2}}}{n^{2} + 1} z^{n}$
(b)

$\sum (\binom{2 n}{n}) z^{2 n}$
(c)

$\sum z^{n^{2}}$ .

Exercice 2 5570 Correction

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes:

(a)

$\sum_{n \geq 0} \frac{n^{2} + 1}{3^{n}} z^{n}$
(b)

$\sum_{n \geq 0} e^{- n^{2}} z^{n}$
(c)

$\sum_{n \geq 0} \ln (1 + \frac{n}{n^{2} + 1}) z^{n}$
(d)

$\sum_{n \geq 0} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + n + 1} z^{2 n}$
(e)

$\sum_{n \geq 0} \frac{n^{n}}{n!} z^{3 n}$
(f)

$\sum_{n \geq 0} (\sqrt[n + 1]{n + 1} - \sqrt[n]{n}) z^{n}$ .

Solution

(a)

Posons $a_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3^{n}}$ . Pour tout $z \neq 0$ ,

$| \frac{a_{n + 1} z^{n + 1}}{a_{n} z^{n}} | \to_{n \to + \infty}^{} \frac{| z |}{3} .$

La série $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument pour $| z | < 3$ et diverge grossièrement pour $| z | > 3$ . On a donc $R = 3$ .
(b)

Posons $a_{n} = e^{- n^{2}}$ . Pour tout $z \in ℂ$ ,

$n^{2} a_{n} z^{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 pour tout z \in ℂ .$

Cela assure la convergence absolue de $\sum a_{n} z^{n}$ . On a donc $R = + \infty$ .
(c)

Posons $a_{n} = \ln (1 + \frac{n}{n^{2} + 1}) z^{n}$ . On remarque

$a_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{n}{n^{2} + 1} = \frac{1}{n} .$

On sait que $\sum \frac{1}{n} z^{n}$ a pour rayon de convergence $R = 1$ et donc $\sum a_{n} z^{n}$ aussi.
(d)

Posons $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + n + 1}$ . Pour tout $z \neq 0$ ,

$| \frac{a_{n + 1} z^{2 n + 2}}{a_{n} z^{2 n}} | \to_{n \to + \infty}^{} {| z |}^{2} .$

La série $\sum a_{n} z^{2 n}$ converge absolument pour $| z | < 1$ et diverge grossièrement pour $| z | > 1$ . On a donc $R = 1$ .
(e)

Posons $a_{n} = \frac{n^{n}}{n!}$ . Pour tout $z \neq 0$ ,

$| \frac{a_{n + 1} z^{3 n + 3}}{a_{n} z^{3 n}} | = \frac{{(n + 1)}^{n}}{n^{n}} {| z |}^{3} = \exp (n \ln (1 + \frac{1}{n})) \to_{n \to + \infty}^{} e {| z |}^{3}$

donc $R = e^{- 1 / 3}$ .
(f)

On a

$\sqrt[n + 1]{n + 1} - \sqrt[n]{n} = e^{\frac{1}{n + 1} \ln (n + 1)} - e^{\frac{1}{n} \ln (n)} = e^{\frac{1}{n} \ln (n)} (e^{\frac{\ln (n + 1)}{n + 1} - \frac{\ln (n)}{n}} - 1) .$

Or

$e^{\frac{1}{n} \ln (n)} \to_{n \to + \infty}^{} 1$

donc

$\sqrt[n + 1]{n + 1} - \sqrt[n]{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{\ln (n + 1)}{n + 1} - \frac{\ln (n)}{n} = - \frac{\ln (n)}{n (n + 1)} + \frac{\ln (1 + 1 / n)}{n + 1} \underset{n \to + \infty}{\sim} - \frac{\ln (n)}{n^{2}} .$

Par suite, $R = 1$ .

Exercice 3 971 Correction

Déterminer le rayon de convergence des séries entières:

(a)

$\sum_{n \geq 1} \frac{\ln (n)}{n^{2}} z^{2 n}$
(b)

$\sum_{n \geq 0} n! z^{n}$
(c)

$\sum_{n \geq 0} \frac{(3 n)!}{{(n!)}^{3}} z^{n}$ .

Solution

(a)

Posons $a_{n} = \frac{\ln (n)}{n^{2}}$ . Pour tout $z \neq 0$ ,

$| \frac{a_{n + 1} z^{2 n + 2}}{a_{n} z^{2 n}} | = \frac{\ln (n + 1)}{\ln (n)} \cdot \frac{n^{2}}{{(n + 1)}^{2}} {| z |}^{2} \to_{n \to + \infty}^{} {| z |}^{2}$

donc $R = 1$ .
(b)

Posons $a_{n} = n!$ . Pour tout $z \neq 0$ ,

$| \frac{a_{n + 1} z^{n + 1}}{a_{n} z^{n}} | = (n + 1) | z | \to_{n \to + \infty}^{} + \infty$

donc $R = 0$ .
(c)

Posons $a_{n} = \frac{(3 n)!}{{(n!)}^{3}}$ . Pour tout $z \neq 0$ ,

$| \frac{a_{n + 1} z^{n + 1}}{a_{n} z^{n}} | = \frac{(3 n + 3) (3 n + 2) (3 n + 1)}{{(n + 1)}^{3}} | z | \to_{n \to + \infty}^{} 27 | z |$

donc $R = 1 / 27$ .

Exercice 4 3298 CCINP (MP)Correction

(a)

Déterminer les rayons de convergence des séries entières

$\sum \ln (\frac{n + 1}{n}) x^{n} et \sum \sin (e^{- n}) x^{n} .$
(b)

Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de convergence?

Solution

(a)

On a

$\ln (\frac{n + 1}{n}) \sim \frac{1}{n}$

donc le rayon de convergence de la première série entière vaut 1.
Aussi

$\sin (e^{- n}) \sim e^{- n}$

donc le rayon de convergence de la deuxième série entière vaut $e$ .
(b)

On sait qu’une série entière converge normalement sur tout compact inclus dans son disque ouvert de convergence, mais en revanche elle ne converge pas normalement sur ce disque. La série entière $\sum z^{n}$ est un contre-exemple car

$R = 1 et {∥ z \mapsto z^{n} ∥}_{\infty, D (0,1)} = 1 .$

Exercice 5 2842 MINES (MP)Correction

Déterminer le rayon de convergence de

\sum π^{\sqrt{n (n + 1)}} x^{2 n} .

Solution

On remarque

π^{\sqrt{n (n + 1)}} \underset{n \to + \infty}{\sim} π^{n} .

Pour $x \neq 0$ , posons $u_{n} = π^{\sqrt{n^{2} + 2 n}} x^{2 n}$ . Après calculs,

(\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}) \to_{n \to + \infty}^{} π x^{2} .

On en déduit

R = \frac{1}{\sqrt{π}} .

Exercice 6 3383 CCINP (PSI)Correction

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ où $(a_{n})$ est la suite déterminée par

a_{0} = α, a_{1} = β et a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n} pour tout n \in ℕ

avec $(α, β) \in ℝ^{2}$ .

Solution

La suite $(a_{n})$ est une suite récurrente linéaire d’ordre $2$ . Son terme général est donné par

a_{n} = α + n (β - α) .

Si $(α, β) \neq (0,0)$ alors $R = 1$ . Si $(α, β) = (0,0)$ alors $R = + \infty$ .

Exercice 7 5317 ENSTIM (MP)Correction

Soient $r$ un réel strictement positif et la suite $(a_{n})$ déterminée par

a_{n} = {\begin{matrix} r^{\sqrt{n}} & si n est un carré \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ .

Solution

La série entière étudiée correspond à $\sum r^{n} x^{n^{2}}$ .

Pour $x \neq 0$ ,

| \frac{r^{n + 1} x^{{(n + 1)}^{2}}}{r^{n} x^{n^{2}}} | = r {| x |}^{2 n + 1} \to_{n \to + \infty}^{} {\begin{matrix} + \infty & si | x | < 1 \\ 0 & si | x | > 1 . \end{matrix}

Pour $| x | < 1$ , la série converge absolument. Pour $| x | > 1$ , la série diverge grossièrement. Le rayon de convergence cherché vaut $1$ .

Exercice 8 4728

Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum \sin (n) z^{n}$ .

Exercice 9 2843 MINES (MP)Correction

Soit $α \in ℝ$ . Déterminer le rayon de convergence de

\sum_{n \geq 1} \frac{\cos (n α)}{n} x^{n} .

Solution

On sait qu’une série entière et sa série entière dérivée ont le même rayon de convergence. Étudions ici le rayon de convergence de $\sum \cos ((n + 1) α) x^{n}$ . La suite $(\cos ((n + 1) α))$ est bornée donc $R \geq 1$ et ne tend pas vers $0$ donc $R \leq 1$ . On conclut $R = 1$ .

Exercice 10 972 Correction

Déterminer le rayon de convergence de la série entière

\sum_{n \geq 1} \frac{\sin (n)}{n^{2}} z^{n} .

Solution

Pour $n \in ℕ^{*}$ , posons

a_{n} = \frac{\sin (n)}{n^{2}} .

La suite $(a_{n})$ est bornée car tend vers $0$ . On a donc $R \geq 1$ .

Aussi, pour $| z | > 1$ , la suite $(a_{n} {| z |}^{n})$ ne tend pas vers $0$ . En effet, si par l’absurde cette suite est de limite nulle, il vient

\sin (n) = \underset{\begin{matrix} \to 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{n^{2}}{{| z |}^{n}}}} \times \underset{\begin{matrix} \to 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{a_{n} {| z |}^{n}}} \to_{n \to + \infty}^{} 0

ce qui est absurde. La série $\sum a_{n} z^{n}$ diverge alors grossièrement et l’on a donc $R \leq 1$ .

Finalement, $R = 1$ .

Exercice 11 973 Correction

Déterminer le rayon de convergence des séries entières

\sum_{n \geq 1} d (n) z^{n} et \sum_{n \geq 1} s (n) z^{n}

où $d (n)$ et $s (n)$ désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à $1$ de l’entier $n$ et la somme de ceux-ci.

Solution

La suite de terme général $d (n)$ ne tend pas vers $0$ donc $R_{d} \leq 1$ .

Aussi, $0 \leq d (n) \leq n$ et le rayon de convergence de $\sum_{n \geq 1} n z^{n}$ vaut $1$ donc $R_{d} \geq 1$ .

On peut conclure $R_{d} = 1$ .

De même, en exploitant que $s (n)$ ne tend pas vers $0$ et

0 \leq s (n) \leq 1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

on a $R_{s} = 1$ .

Exercice 12 3483 CENTRALE (PC)Correction

Soit $α$ un réel irrationnel fixé. On note $R_{α}$ le rayon de convergence de la série entière

\sum_{n \geq 1} \frac{x^{n}}{\sin (n π α)} .

(a)

Démontrer que $R_{α} \leq 1$ .
(b)

On considère la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ définie par

$u_{1} = 2 et u_{n + 1} = {(u_{n})}^{u_{n}} pour tout n \geq 1 .$

Démontrer que pour tout entier $n \geq 1$

$\frac{u_{n}}{u_{n + 1}} \leq \frac{1}{{(n + 1)}^{n}} .$

En déduire que la série de terme général $1 / u_{n}$ converge.
Dans la suite, on pose

$α = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{u_{n}}$

et l’on admet que $α$ est irrationnel.
(c)

Démontrer qu’il existe une constante $C$ strictement positive telle que, pour tout entier $n \geq 1$ :

$π u_{n} \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{u_{k}} \leq \frac{C}{u_{n}^{u_{n} - 1}} .$
(d)

Démontrer que $R_{α} = 0$ .
(e)

Question subsidiaire: Démontrer que $α$ est effectivement irrationnel.

Énoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Solution

Soulignons que les termes sommés pour définir la série entière ont un sens car l’irrationalité de $α$ donne

\forall n \in ℕ^{*}, \sin (n π α) \neq 0 .

(a)

Puisque

$\frac{1}{| \sin (n π α) |} \geq 1$

la série entière $\sum_{n \geq 1} \frac{x^{n}}{\sin (n π α)}$ diverge grossièrement en $1$ et donc $R_{α} \leq 1$ .
(b)

Par une récurrence facile, on montre $u_{n} \geq n + 1$ pour tout $n \in ℕ^{*}$ . On a alors

$\frac{u_{n}}{u_{n + 1}} = \frac{1}{u_{n}^{u_{n} - 1}} \leq \frac{1}{{(n + 1)}^{n}} .$
(c)

On a

$\sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{u_{k}} = \frac{1}{u_{n + 1}} + \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{u_{k + 1}} \leq \frac{1}{u_{n + 1}} + \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{{(k + 1)}^{k}} \cdot \frac{1}{u_{k}}$

et puisque la suite $(u_{n})$ est croissante

$\sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{u_{k}} \leq \frac{1}{u_{n + 1}} + \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{{(k + 1)}^{k}} \cdot \frac{1}{u_{n + 1}} \leq \frac{K}{u_{n + 1}}$

avec

$K = 1 + \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{{(k + 1)}^{k}} .$

On en déduit

$π u_{n} \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{u_{k}} \leq \frac{K π u_{n}}{u_{n + 1}} = \frac{K π}{u_{n}^{u_{n} - 1}} .$
(d)

Considérons $m = u_{n} \in ℕ^{*}$ . Pour $x > 0$

$\frac{x^{m}}{\sin (m π α)} \to_{n \to + \infty}^{} - \infty .$

En effet,

$m α = u_{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{u_{k}} + u_{n} \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{u_{k}} .$

Or

$u_{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{u_{k}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{u_{n}}{u_{k}} = 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{u_{n}}{u_{n - 1}} \frac{u_{n - 1}}{u_{n - 2}} \dots \frac{u_{k + 1}}{u_{k}} \in 1 + 2 ℕ$

et donc

$- \sin (m π α) = \sin (π u_{n} \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{u_{k}})$

d’où

$0 \leq - \sin (m π α) \leq \frac{C}{u_{n}^{u_{n} - 1}}$

puis

$- \frac{x^{m}}{\sin (m π α)} \geq C \frac{{(x u_{n})}^{u_{n}}}{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .$

On en déduit que $\sum_{n \geq 1} \frac{x^{n}}{\sin (n π α)}$ diverge pour tout $x > 0$ et donc $R_{α} = 0$ .
(e)

Par l’absurde, supposons $α \in ℚ$ . Il existe alors un entier $q \in ℕ^{*}$ tel que $q α \in ℕ$ . Pour tout $n \in ℕ$ , on a alors $q u_{n} α \in ℕ$ or

$q u_{n} α = q u_{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{u_{k}} + q u_{n} \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{u_{k}}$

avec comme vu ci-dessus

$u_{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{u_{k}} \in ℕ .$

On en déduit

$q u_{n} \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{u_{k}} \in ℕ .$

Or

$0 < q u_{n} \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{u_{k}} < \frac{q K u_{n}}{u_{n + 1}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

C’est absurde.

[>] Calcul de rayon de convergence abstrait

Édité le 08-12-2023

Calcul de rayon de convergence concret