[>] Calcul de rayon de convergence abstrait

 
Exercice 1  4727  

Déterminer les rayons de convergence des séries entières qui suivent:

  • (a)

    (-1)n(n+1)2n2+1zn

  • (b)

    (2nn)z2n

  • (c)

    zn2.

 
Exercice 2  971  Correction  

Déterminer le rayon de convergence des séries entières:

  • (a)

    n0n2+13nzn

  • (b)

    n0e-n2zn

  • (c)

    n1ln(n)n2z2n

  • (d)

    n0nnn!z3n

  • (e)

    n0n!zn

  • (f)

    n0(3n)!(n!)3zn

  • (g)

    n0(n+1n+1-nn)zn

Solution

  • (a)

    Posons un(z)=n2+13nzn. Pour tout z0,

    |un+1(z)un(z)|n+|z|3

    donc R=3.

  • (b)

    Posons un(z)=zne-n2.

    n2un(z)n+0pour tout z

    donc R=+.

  • (c)

    Posons un(z)=ln(n)n2z2n. Pour tout z0,

    |un+1(z)un(z)|=ln(n+1)ln(n)n2(n+1)2|z|2n+|z|2

    donc R=1.

  • (d)

    Posons un(z)=nnn!z3n. Pour tout z0,

    |un+1(z)un(z)|=(n+1)nnn|z|3=exp(nln(1+1n))n+e|z|3

    donc R=e-1/3.

  • (e)

    Posons un(z)=n!zn. Pour tout z0,

    |un+1(z)un(z)|=(n+1)|z|n++

    donc R=0.

  • (f)

    Posons un(z)=(3n)!(n!)3zn. Pour tout z0,

    |un+1(z)un(z)|=(3n+3)(3n+2)(3n+1)(n+1)3|z|n+27|z|

    donc R=1/27.

  • (g)

    On a

    n+1n+1-nn=e1n+1ln(n+1)-e1nln(n)=e1nln(n)(eln(n+1)n+1-ln(n)n-1).

    Or

    e1nln(n)n+1

    donc

    n+1n+1-nnln(n+1)n+1-ln(n)n=-ln(n)n(n+1)+ln(1+1/n)n+1n+-ln(n)n2.

    Par suite, R=1.

 
Exercice 3  3298    CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Déterminer les rayons de convergence des séries entières

    ln(n+1n)xnetsin(e-n)xn.
  • (b)

    Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de convergence?

Solution

  • (a)

    On a

    ln(n+1n)1n

    donc le rayon de convergence de la première série entière vaut 1.
    Aussi

    sin(e-n)e-n

    donc le rayon de convergence de la deuxième série entière vaut e.

  • (b)

    On sait qu’une série entière converge normalement sur tout compact inclus dans son disque ouvert de convergence, mais en revanche elle ne converge pas normalement sur ce disque. La série entière zn est un contre-exemple car

    R=1 et zzn,D(0,1)=1.
 
Exercice 4  2842     MINES (MP)Correction  

Déterminer le rayon de convergence de

πn(n+1)x2n

Solution

On remarque

πn(n+1)n+πn

Pour x0, posons un=πn2+2nx2n. Après calculs,

(un+1un)n+πx2

On en déduit

R=1π.
 
Exercice 5  3383     CCP (PSI)Correction  

Déterminer le rayon de convergence de la série entière anxn(an) est la suite déterminée par

a0=α,a1=βetan+2=2an+1-anpour tout n

avec (α,β)2.

Solution

La suite (an) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2. Son terme général est donné par

an=α+n(β-α).

Si (α,β)(0,0) alors R=1. Si (α,β)=(0,0) alors R=+.

 
Exercice 6  5317     ENSTIM (MP)Correction  

Soient r un réel strictement positif et la suite (an) déterminée par

an={rnsi n est un carré0sinon.

Déterminer le rayon de convergence de la série entière anxn.

Solution

La série entière étudiée correspond à rnxn2.

Pour x0,

|rn+1x(n+1)2rnxn2|=r|x|2n+1n+{+ si |x|<10 si |x|>1.

Pour |x|<1, la série converge absolument. Pour |x|>1, la série diverge grossièrement. Le rayon de convergence cherché vaut 1.

 
Exercice 7  4728   

Déterminer le rayon de convergence R de la série entière sin(n)zn.

 
Exercice 8  2843     MINES (MP)Correction  

Soit α. Déterminer le rayon de convergence de

n1cos(nα)nxn

Solution

On sait qu’une série entière et sa série entière dérivée ont le même rayon de convergence. Étudions ici le rayon de convergence de cos((n+1)α)xn. La suite (cos((n+1)α)) est bornée donc R1 et ne tend pas vers 0 donc R1. On conclut R=1.

 
Exercice 9  972   Correction  

Déterminer le rayon de convergence de la série entière

n1sin(n)n2zn.

Solution

Pour n*, posons

an=sin(n)n2.

La suite (an) est bornée car tend vers 0. On a donc R1.

Aussi, pour |z|>1, la suite (an|z|n) ne tend pas vers 0. En effet, si par l’absurde cette suite est de limite nulle, il vient

sin(n)=n2|z|n0×an|z|n0n+0

ce qui est absurde. La série anzn diverge alors grossièrement et l’on a donc R1.

Finalement, R=1.

 
Exercice 10  973   Correction  

Déterminer le rayon de convergence des séries entières

n1d(n)znetn1s(n)zn

d(n) et s(n) désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à 1 de l’entier n et la somme de ceux-ci.

Solution

La suite de terme général d(n) ne tend pas vers 0 donc Rd1.

Aussi, 0d(n)n et le rayon de convergence de n1nzn vaut 1 donc Rd1.

On peut conclure Rd=1.

De même, en exploitant que s(n) ne tend pas vers 0 et

0s(n)1+2++n=n(n+1)2

on a Rs=1.

 
Exercice 11  3483      CENTRALE (PC)Correction  

Soit α un réel irrationnel fixé. On note Rα le rayon de convergence de la série entière

n1xnsin(nπα).
  • (a)

    Démontrer que Rα1.

  • (b)

    On considère la suite (un)n1 définie par

    u1=2etun+1=(un)unpour tout n1.

    Démontrer que pour tout entier n1

    unun+11(n+1)n.

    En déduire que la série de terme général 1/un converge.
    Dans la suite, on pose

    α=n=1+1un

    et l’on admet que α est irrationnel.

  • (c)

    Démontrer qu’il existe une constante C strictement positive telle que, pour tout entier n1:

    πunk=n+1+1ukCunun-1.
  • (d)

    Démontrer que Rα=0.

  • (e)

    Question subsidiaire: Démontrer que α est effectivement irrationnel.

Énoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Solution

Soulignons que les termes sommés pour définir la série entière ont un sens car l’irrationalité de α donne

n*,sin(nπα)0.
  • (a)

    Puisque

    1|sin(nπα)|1

    la série entière n1xnsin(nπα) diverge grossièrement en 1 et donc Rα1.

  • (b)

    Par une récurrence facile, on montre unn+1 pour tout n*. On a alors

    unun+1=1unun-11(n+1)n.
  • (c)

    On a

    k=n+1+1uk=1un+1+k=n+1+1uk+11un+1+k=n+1+1(k+1)k1uk

    et puisque la suite (un) est croissante

    k=n+1+1uk1un+1+k=n+1+1(k+1)k1un+1Kun+1

    avec

    K=1+k=1+1(k+1)k.

    On en déduit

    πunk=n+1+1ukKπunun+1=Kπunun-1.
  • (d)

    Considérons m=un*. Pour x>0

    xmsin(mπα)n+-.

    En effet,

    mα=unk=1n1uk+unk=n+1+1uk.

    Or

    unk=1n1uk=k=1nunuk=1+k=1n-1unun-1un-1un-2uk+1uk1+2

    et donc

    -sin(mπα)=sin(πunk=n+1+1uk)

    d’où

    0-sin(mπα)Cunun-1

    puis

    -xmsin(mπα)C(xun)ununn++.

    On en déduit que n1xnsin(nπα) diverge pour tout x>0 et donc Rα=0.

  • (e)

    Par l’absurde, supposons α. Il existe alors un entier q* tel que qα. Pour tout n, on a alors qunα or

    qunα=qunk=1n1uk+qunk=n+1+1uk

    avec comme vu ci-dessus

    unk=1n1uk.

    On en déduit

    qunk=n+1+1uk.

    Or

    0<qunk=n+1+1uk<qKunun+1n+0.

    C’est absurde.

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Édité le 08-11-2019

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